2022屆中考典型解答題練習(xí)：二次函數(shù)與四邊形綜合（一）

中考典型解答題專題練習(xí)：二次函數(shù)與四邊形綜合（一）

1.如圖，已知ZMBC中，BC=a,8c邊上的高AH=/i；矩形DEFG的頂點D,E在邊BC上，頂

點G,F分別在AB,AC邊上.設(shè)矩形的邊DE的長為x,面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,

并指出這個函數(shù)的定義域.

2.如圖，二次函數(shù)丫=/+2血％+小2一4的圖象與芯軸的負半軸相交于力，B兩點（點力在左

側(cè)），■—次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過點B,與y軸相交于點C.

Q）求A,B兩點的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）；

（2）如果平行四邊形力BCD的頂點0在上述二次函數(shù)的圖象上，求m的值.

3.已知拋物線y=ax2+bx+c（a40）與x軸交于A,B兩點（點4在點B的左邊），與y軸交

于點C（0,-3）,頂點。的坐標(biāo)為（1,-4）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在y軸上找一點E,使得AEac為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標(biāo);

（3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P,Q,使得以點P,Q,B,

。為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出點P,Q坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

4.如圖，把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖

（1））,且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點0重合，現(xiàn)將三角板EFG繞

點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：0。＜戊＜90。），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三

角板的重疊部分（如圖（2））.

（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中,BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系?四邊形CHGK的面積有何變化?證明你發(fā)

現(xiàn)的結(jié)論.

（2）連接HK,在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x,AGKH的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系

式，寫出自變量x的取值范圍.

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使AGKH的面積恰好等于△4BC面積的。?若存

16

在，求出此時尤的值；若不存在，說明理由.

5.已知拋物線y=（x-一4與x軸交于點4B（點4在點B的左邊），與y軸交于點C頂點

為點D,求四邊形ABCC的面積.

6.某農(nóng)場擬建三間矩形牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面全部靠現(xiàn)有墻（墻長為40m）,飼養(yǎng)室之間用一道

用建筑材料做的墻隔開（如圖）.已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為60m,設(shè)三間飼養(yǎng)

室合計長久（m）,總占地面積為y（m2）.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達式和自變量的取值范圍.

（2）x為何值時，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大?最大為多少？

7.如圖，對稱軸為直線x=1的拋物線y=/+入+c與％軸交于4,B兩點，與y軸交于點C,

連接AC,AD,其中4點坐標(biāo)（一1,0）.

(2)直線y=|%-3與拋物線交于點C,D,與x軸交于點E,求AACD的面積；

(3)在直線CD下方拋物線上有一點Q,過Q作QP_Ly軸交直線CD于點P,四邊形PQBE為

平行四邊形，求點Q的坐標(biāo).

8.在直角坐標(biāo)系xOy中(如圖)，拋物線丁=。/一2以一3(￡1芋0)與丫軸交于點4(一1,0)和點8,

與y軸交于點C.

OX

(1)求該拋物線的開口方向、頂點。的坐標(biāo)；

(2)求證：乙CBD=乙ACO；

(3)已知點M在x軸上，點N在該拋物線的對稱軸上，如果以點C,D,M,N為頂點的四邊

形是平行四邊形，請直接寫出點N的坐標(biāo).

9.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+bx+c與x軸交于點4(一1,0)和點B,與y軸交于點C,

頂點D的坐標(biāo)為(1,-4).

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點P在拋物線上且滿足NPCB=乙CBD,求點P的坐標(biāo)；

fy

.4\|。/Bx

D

圖1

(3)如圖2,M是直線BC上一個動點，過點M作MNlx軸交拋物線于點N,Q是直線AC

上一個動點，當(dāng)AQMN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點M及其對應(yīng)點Q的坐標(biāo).

圖2備用圖

10.如圖，拋物線y=a/一28x+c(a大0)過點。(0,0)和4(6,0).點8是拋物線的頂點，點0

是支軸下方拋物線上的一點，連接。B,OD.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，當(dāng)乙8。。=30。時，求點。的坐標(biāo)；

(3)如圖②，在(2)的條件下，拋物線的對稱軸交x軸于點C,交線段。。于點E,點F是

線段。B上的動點(點F不與點。和點B重合)，連接EF,將沿EF折疊，點B的

對應(yīng)點為點"，AE尸反與AOBE的重疊部分為AEFG,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點H,使

以點E,F,G,H為頂點的四邊形是矩形?若存在，請直接寫出點H的坐標(biāo)，若不存在，請

說明理由.

11.如圖，拋物線了=。/+"+￡：經(jīng)過點力(一1,0),點。(0,3),且。B=OC.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;

(2)點D,E是在直線x=1上的兩個動點，且0E=1,點D在點E的上方，求四邊形

ACDE的周長的最小值.

(3)點P為拋物線上一點，連接CP,直線?！赴阉倪呅巍?。4的面積分為3:5兩部分，求點P

的坐標(biāo).

12.如圖①，在平面直角坐標(biāo)系工。y中，批物線y=/-4x+a(a<0)與y軸交于點A,與久軸

交于E,F兩點(點E在點F的右側(cè))，頂點為M.直線y=gx-a與x軸、y軸分別交于B,

(1)求拋物線的對稱軸.

(2)在y軸右側(cè)的拋物線上存在點P,使得以P,4C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求

a的值.

(3)如圖②，過拋物線頂點M作MNJ.X軸于N,連接ME,點Q為拋物線上任意一點，過點

Q作QGlx軸于G,連接QE.當(dāng)a=-5時，是否存在點Q,使得以Q,E,G為頂點的三

角形與^MNE相似(不含全等)？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

13.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線曠=以工+1)(%-9)經(jīng)過4,B兩點,四邊形04BC矩

(1)求拋物線解析式:

(2)點E在線段AC上移動(不與C重合)，過點E作EFJ.BE,交x軸于點F.請判斷警

EF

的值是否變化；若不變，求出它的值；若變化，請說明理由.

(3)在(2)的條件下，若E在直線4c上移動，當(dāng)點E關(guān)于直線BF的對稱點？在拋物線對

稱軸上時，請求出8E的長度.

14.如圖，已知拋物線y=-*2+bx+c與一直線相交于力(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交于點

N.其頂點為D.

(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B,E為直線AC上的任意一點，過點E作

EF〃8D交拋物線于點F,以8,D,E,F為頂點的四邊形能否為平行四邊形?若能，求點

E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；

(3)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求的面積的最大值.

15.如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象交x軸于點4(一3,0),5(1,0),交y軸于點C,點

P(m,0)是x軸上的一動點，PM_Lx軸，交直線4C于點M,交拋物線于點N.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)①若點P僅在線段4。上運動，如圖，求線段MN的最大值；

②若點P在x軸上運動，則在y軸上是否存在點Q,使以M,N,C,Q為頂點的四邊形為

菱形，若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

16.如圖，二次函數(shù)丁=一/+3%+巾的圖象與方軸的一個交點為8(4,0),另一個交點為4且與

y軸相交于C點.

(2)在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M,使得它與B,C兩點構(gòu)成的三角形面積最大,

若存在，求出此時M點坐標(biāo)；若不存在，請簡要說明理由.

(3)P為拋物線上一點，它關(guān)于直線BC的對稱點為Q.

①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(biāo)；

②點P的橫坐標(biāo)為t(0<t<4),當(dāng)t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由.

17.如圖，拋物線y=a/+bx-3交y軸于點C,直線Z為拋物線的對稱軸，點P在第三象限且

為拋物線的頂點.P到x軸的距離為三，到y(tǒng)軸的距離為1.點C關(guān)于直線，的對稱點為4連

接4c交直線[于B.

(1)求拋物線的表達式；

(2)直線y=[x+7n與拋物線在第一象限內(nèi)交于點0,與y軸交于點F,連接BD交y軸于

點、E,且DE:BE=4:1.求直線y=[x+m的表達式；

(3)若N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點，在直線y=3%+血上是否存在點M,使得以點。，F(xiàn),

M,/V為頂點的四邊形是菱形?若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-：x+6與x軸、y軸分別交于4B兩點，P,Q分別

是線段08,4B上的兩個動點，點P從。出發(fā)一每秒2個單位長度的速度向終點8運動，同時

Q從B出發(fā)，以每秒5個單位的速度向終點力運動，當(dāng)其中一點到達終點時整個運動結(jié)束，設(shè)

運動時間為t秒.

|D

(1)求出點Q的坐標(biāo)(用t的代數(shù)式表示)；

(2)若C為。4的中點，連接尸Q,CQ,以PQ,CQ為鄰邊作平行四邊形PQCD.

①是否存在時間3使得坐標(biāo)軸剛好將平行四邊形PQCD的面積分為1:5的兩個部分，若存

在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

②直接寫出整個運動過程中，四邊形PQCD對角線DQ的取值范圍________.

19.定義：對于拋物線y=a/+bx+c(a,b,c是常數(shù)，awO),若人2=加，則稱該拋物線為

(1)請再寫出一個與上例不同的黃金拋物線的解析式.

(2)將黃金拋物線y=x2-x+l沿對稱軸向下平移3個單位.

①直接寫出平移后的新拋物線的解析式.

②新拋物線如圖所示，與x軸交于4,B(4在B的左側(cè))，與y軸交于C,點P是直線BC

下方的拋物線上一動點，連接P。，PC,并把APOC沿C。翻折，得到四邊形POP￡,那么

是否存在點P,使四邊形POP'C為菱形?若存在，請求出此時點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說

明理由.

③當(dāng)直線BC下方的拋物線上動點P運動到什么位置時，四邊形OBPC的面積最大并求出此

時P點的坐標(biāo)和四邊形OBPC的最大面積.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4,B的坐標(biāo)分別為(1,1),(1,2),過點4B分別作y軸的垂

線，垂足為。，C,得到正方形ABCD,拋物線丫=產(chǎn)+以+?經(jīng)過4,C兩點，點P為第一象

限內(nèi)拋物線上一點(不與點A重合)，過點P分別作x軸，y軸的垂線，垂足為E,F,設(shè)點P

的橫坐標(biāo)為m,矩形PFOE與正方形ABCD重疊部分圖形的周長為I.

(1)直接寫出拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(2)當(dāng)矩形PFOE的面積被拋物線的對稱軸平分時，求m的值;

(3)當(dāng)m<2時，求，與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）設(shè)線段8D與矩形PFOE的邊交于點Q,當(dāng)AFDQ為等腰直角三角形時，求血的取值范

圍.

答案

1.矩形的一邊0E=x,另一邊EF=h-，x,所求函數(shù)的解析式為y=-?/+九%,定義域為0<

x<a.

2.(1)4(-2-m,0),B(2-m,0).

(2)m的值為8.

3.(1)因為拋物線的頂點為(1,一4),

所以設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)2-4,

將點C(0,—3)代入拋物線y=a(x-一4中，

得a—4=-3?

所以a=1,

所以拋物線的解析式為y=(%—I)2—4=%2-2%—3；

(2)滿足所有條件的點E的坐標(biāo)為(0,3),(0,—3+，歷)，(0,-3-V10),

【解析】由(1)知，拋物線的解析式為y=M-2x-3,

令y=0,則/-2x—3=0,

所以x=-1或x=3,

所以4(-1,0),8(3,0),

所以AC=y/OA2+OC2=Vlz+32=V10,

設(shè)點E(0,m),則4E=Wn2+i,

CE—\m+3

因為△ACE是等腰三角形，

所以

①當(dāng)AC=AE時，V10=Vm2+l,

所以m=3或血=一3(點C的縱坐標(biāo)，舍去)，

所以E(0,3),

②當(dāng)AC=CE時，V10=|m+3|,

所以?n=-3±V1U,

所以E(0,-3+V10)或(0,—3-同)，

③當(dāng)4E=CE時，Vm2+1=|m+3|,

所以m=

所以E(0,—3，

即滿足所有條件的點E的坐標(biāo)為(0,3),(0,—3+V10),(0,—3—V10),—1)?

(3)如圖，存在，

所以0（1,-4）.

所以將線段8。向上平移4個單位，再向右（或向左）平移適當(dāng)?shù)木嚯x，使點B的對應(yīng)點落在拋物線

上，這樣便存在點Q,此時點D的對應(yīng)點就是點P,

點Q的縱坐標(biāo)為4,

設(shè)QQ4）,

將點Q的坐標(biāo)代入拋物線y=/一2x-3中

得嚴(yán)—2t—3—41

解得t=l+2&或t=l-2vL

所以<2'（1+272,4）或Q（1-272,4）,

分別過點D,Q,Q'作x軸的垂線，垂足分別為F,G,G,,

因為拋物線丁=產(chǎn)一2%-3與％軸的右邊的交點B的坐標(biāo)為（3,0）,且0（1,-4）,

所以F8=PG=3-1=2,

所以點P的橫坐標(biāo)為（1+2魚）-2=-1+2或或（1一2V2）-2=-1-2近,

即P（—1+2企,0）,Q（1+2魚,4）或P（-1一2四,0）,<2（1-272,4）.

4.（1）???Z.ACG=Z.B=45",4BGH與乙CGK均為4CGH的余角，CG=BG,

???△BGH^△CGK.

,1?BH=CK,SABGH=SACGK-

"$四邊形CHGK=S&CHG+S&CGK

=^SAABC

11..

=-x-x4x4

22

=4.

因此，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK,四邊形CHGK的面積不變，值為4.

(2)AC=BC=4,BH=x,CH=4—x,CK=x,

S&GKH=S四邊形CHGK-ShCHK'

故y=4—|x(4—x),

y=^x2-2x+4(0<x<4).

(3)令，2-2%+4=_LX8,

216

解得=1,X2=3,

即當(dāng)x=l或x=3時，△GHK的面積均等于△ABC面積的—.

16

5.9.

6.(1)根據(jù)題意得y=x,：(60—x)=—+15x,

自變量的取值范圍為：0<xW40.

(2)因為y=-(M+i5x=-Xx-30)2+225,

所以當(dāng)x=30時，三間飼養(yǎng)室占地總面積最大，最大為225(m2).

7.(1)；?拋物線的對稱軸x=l,

?*.1=----,

2

???b=—2,

vy=x2-2%+c經(jīng)過點-4(-1,0),

?,?1+2+c=0,

???c=-3,

???拋物線的解析式為y=x2-2%-3.

,2no(7

fy=xz-2x-3,(x=ox=",

⑵由3_解得j二％或；

(y=-x-3,(y--3v=-

???直線CO交x軸于E(2,0),

S"CD=SNAEC+SAAEO

191

=-x3x-+-x3x3

242

_63

—■

8

2

(3)設(shè)Q(jnfm—2m—3).

???四邊形PQBE是平行四邊形，

:?PQ〃BE,PQ=BE,

:.P—2m—3),

72r2

.?.PQ=-M——m,

<33

由題意8(3,0),E(2,0),

???BE=1,

/.-m--m2=1,解得m=工或3(舍棄)，

332

8.(1)由題意，得a+2a-3=0.解得a=l.

拋物線的表達式為y=x2-2%-3.

拋物線的開口方向向下，D(l,-4).

(2)由題意和(1),可得>(0,-3),8(3,0).

AAO=1,CO=3.

:.-A-O-=1

CO3

BC=3V2,CD=V2.BD=2V5.

???BC2+CD2=20=BD2.

BCZ)是直角三角形，其中NBCD=90°.

乂靛一遠一天

tAO_CD

,?而一訪.

XZ.AOC=Z.BCD=90°,

??.△AOCs△BCD.

???乙CBD=Z-ACO.

(3)可(1,一1)或「(1,1)或《(1,一7).

【解析】有兩種情況考慮：

r當(dāng)CD是平行四邊形的邊時，得N(1，-1)或NCM)；

2。當(dāng)CD是平行四邊形的對角線時，得N(1,-7).

綜合1。，2°,當(dāng)以點C,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形時，N(l,-1)或或N(l,-7).

9.(1)y=x2-2x—3.

【解析】頂點D的坐標(biāo)為(1,一4),

???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-l)2-4,將點力(一1,0)代入，

得0=a(—1—l)?—4,解得：a=1,

y=(x—I)2—4—x2—2x—3,

該拋物線的解析式為y=x2-2x-3.

(2)?.,拋物線對稱軸為直線光=1,4(一1,0),

?-■8(3,0),

設(shè)直線BD解析式為y=kx+e,

?；8(3,0),0(1,-4),

啜箕U解得：憶：

直線BD解析式為y=2x—6,

過點C作CPi//BD,交拋物線于點Pi，

圖1

設(shè)直線CP】的解析式為y=2x+d,將C(0,-3)代入，得一3=2xO+d,解得：d=-3,

直線CP1的解析式為y=2x—3,

結(jié)合拋物線y=x2-2x-3,可得/-2x-3=2x-3,

解得：與=0(舍)，x2=4,

故Pi(4,5),

過點B作y軸平行線，過點C作x軸平行線交于點G,

■：OB=OC,Z.BOC=Z.OBG=乙OCG=90°,

???四邊形OBGC是正方形，

設(shè)CP1與x軸交于點E,則2x—3=0,解得：x=|,

???￡,(1,0),

在x軸下方作乙BCF=4BCE交BG于點F,

???四邊形OBGC是正方形，

AOC=OG=BG=3,乙COE=/G=90°,乙OCB=4GCB=45°,

???乙OCB-4BCE=&GCB-乙BCF,即NOCE=乙GCF,

???△OCE^△GCF(ASA),

??.FG=OE=

2

BF=BG-FG=3--=-

22f

???43,-1),

設(shè)直線CF解析式為y=kxx+?i，

???C(0,-3),43,一|),

3解得邛仁

13kl+e[=藍，L=-3,

?,?直線CF解析式為y=-3,

結(jié)合拋物線y=x2—2x—3,可得%2—2%—3=i%—3,

解得：%1=0（舍），%2=|，

"P2(P-9

綜上所述，符合條件的P點坐標(biāo)為：Pi（4,5）,Pf5_r

22l4,

⑶“I管3?！浚ㄗT，9；

“2仔一》）22（/-I

%(5,2),(23(-5,12)；

川式2,-1),QMO,-3);

“5(7,4),Q5(-7,18)；

“6(1，-2),(?6(0,-3).

【解析】設(shè)直線4c解析式為y=相6+n/直線BC解析式為y=租2%+電，

V>1(-1,0),C(0,-3),

，「恤+7=0,解得:'mr=—3,

El=-3,AL=T

???直線AC解析式為y=—3%—3,

???B(3,0),C(0,-3),

.H。，解得:m2=L

n2=-3

：,直線BC解析式為y=%—3,

設(shè)M(t,t—3),則NQ,/—2t—3)?

MN——2t—3—(t—3)|=|嚴(yán)—3t\.

①當(dāng)△QMN是以NQ為斜邊的等腰直角三角形時，此時ZJVMQ=90。，MN=MQ,如圖2,

???MQ〃x軸，

Q（-*-3）,

\t2-3tl=|t-（-9），

c4

At2—3t=±-t,

解得：￡=0（舍）或或￡=',

33

Qi（一學(xué)3；加2（|,-3,<?2（W）；

②當(dāng)△QMN是以MQ為斜邊的等腰直角三角形時，此時NMNQ=90。，MN=NQ,如圖3,

???NQ//x軸，

NQ=|t-z￡y^￡|=i|t2+t|,

|t2-3t|=1|t2+t|,

解得：t=0(舍)或t=5或t=2,

???M3(5,2),Q3(-5,12)；M4(2,-l),Q4(0,-3)；

③當(dāng)△QMN是以MN為斜邊的等腰直角三角形時，此時/MQN=90。，MQ=NQ,如圖4,

??.QH=|-R=W+5t|,

???MQ=NQ,

???MN=2QH,

/.|t2-3t|=2xi|t2+5t|,解得：t=7或1,

6

??M5(7,4),Q5(-7,18)；M6(l,-2),Q6(0,-3)；

綜上所述，點M及其對應(yīng)點Q的坐標(biāo)為：

弧(岸)Q】(WW)；

%仔-3'Q2(W)；

M3(5,2),Q3(-5,12)；

M4(2,-l),(24(0,-3);

(7,4),Qs(-7,18);

M6(l,-2),(?6(0,-3).

10.(1)把點0(0,0)和4(6,0)代入y=ax2-2恁+c中，

得到。后,n

(36a—12V3+c=0,

解得\a=g,

(c=0,

???拋物線的解析式為y=苧/一2V3X.

(2)如答圖①中，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于M,與。。交于點N.

y=yx2-2\[3x=y(x-3)2-3-73,

頂點B(3,-3⑸，M(3,0),

???OM=3,BM=3百，

???tan/MOB=^=俗

???4MOB=60°,

???(BOD=30°,

???乙MON=(MOB-乙BOD=30°,

???MN=OM?tan30°=V3,

???N(3,一⑹，

???直線ON的解析式為y=—gx,

由P一~TX，

y=號%之一2A/3X,

解得[鼠’或kx，

⑶(|,卑或住一苧)或g-嶗.

【解析】如答圖②中,

答圖②

當(dāng)NEFG=90。時，點”在第一象限，此時G,B',0重合，尸（一|，一苧），E（3,-V5）,可得

嗚務(wù)

答圖③

當(dāng)NEGF=90。時，點H在對稱軸右側(cè)，可得口6,一手）.

如答圖④中，

當(dāng)NFGE=90。H寸，點”在對稱軸左側(cè)，點反在對稱軸上，可得”（|,一學(xué)）.

綜上所述，滿足條件的點H的坐標(biāo)為（|片）或（|,-罷）或g-手）

11.（1）???OB=OC,

???點8（3,0）,

設(shè)拋物線的表達式為：

y—a(x+l)(x—3)

=a(x2—2x—3)

=ax2—2ax—3a

將點C(0,3)代入得—3a=3,

解得a=—1,

故拋物線的表達式為y=-/+2%+3……①

函數(shù)的對稱軸為：x=-^—=1；

(2)四邊形4CDE的周長=4C+0E+CD+4E,

其中AC=V10,DE=1,

故C0+AE最小時，周長最小.

取點C關(guān)于直線x=1的對稱點。(2,3),如答圖1

則CO=C'D,取點4(一1,1),

則4'D=2E,故：CO+AE=A'D+CC',

則當(dāng)4',D,C'三點共線時，

CD+4E=/TD+DC'最小，周長也最小，

A'C=J(2+I/+(3-1產(chǎn)=713

四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=V10+1+A'D+DC'=V10+1+A'C

V10+1+V13；

(3)如答圖2,設(shè)直線CP交x軸于點E,

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3:5兩部分，

又"S“cB；SAPCA=：EBx(先一yp)弓AEx-yP)=BE-.AE,

:.BE:AE=3:5或5:3,

vAEBE=AB=4,

4E=三或三，

22

即點E的坐標(biāo)為(|,0)或(i,0),

將點E的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式：

y=fcx4-3,

解得：k=—6或—2,

故直線CP的表達式為：y=-2%+3……②

或y=-6x+3...③

聯(lián)立①②并解得：片二復(fù)或(不合題意，舍去)，

聯(lián)立①③并解得：｛；1+45,或(不合題意，已舍去)，

故點P的坐標(biāo)為(4,-5)或(8,-45).

12.(1)vy=x2-4%4-a=(%-2)2+a—4,

???拋物線的對稱軸為直線x=2.

(2)由y=(%—2)2+a—4得：A(0,a)?M(2,CL-4),

由y=|x—Q得C(0,-Q),

設(shè)直線AM的解析式為y=kx+a,

將M(2,a—4)代入y=k%+a中，得2Z+Q=Q-4,

解得k=-2,

直線AM的解析式為y=-2x+a,

(y=-2x+a,\x=-a,

聯(lián)立方程組得2解得14.

U=/-a,[y=-ia.

va<0,

???點D在第二象限，

又點4與點C關(guān)于原點對稱，

??.AC是以P,A,C,。為頂點的平行四邊形的對角線，則點P與點。關(guān)于原點對稱,

即P(-河a)，

將點P(-；W代入拋物線y=/-4%+a,解得Q=-言或Q=0(舍去)，

56

???a=一丁

(3)存在.

理由如下：當(dāng)。=-5時，y=%2-4%—5=(%-2)2—9,止匕時M(2,—9),

令y=0,即(%—2)2—9=0,解得%]二-1,%2=5,

???點尸(-1,0),E(5,0),

??.EN=FN=3,MN=9,

設(shè)點Q(m,m2-4m-5),則G(m,0),

EG=\m-5\QG=\m2—4m-5|,

又△QEG與△MNE都是直角三角形，且乙MNE=乙QGE=90°,

如圖所示，需分兩種情況進行討論：

解得m=2或m=—4或m=5(舍去)；

當(dāng)巾=2時點Q與點M重合，不符合題意，舍去,

當(dāng)血=一4時，此時Q坐標(biāo)為點Qi(-4,27)；

ii)當(dāng)竺=空=三=工時，即|金3|=工，

EGMN93Im-5I3

解得m=一；或m=-：或m=5(舍去)，

33

當(dāng)血=一|時，Q坐標(biāo)為點(?2(—|,一￡)，

當(dāng)m=時，Q坐標(biāo)為點(?3(/弓)，

綜上所述，點Q的坐標(biāo)為(—4,27)或(一或：母).

13.(1)將4(0,6)代入y=a(x+l)(x-9),得：a=-|.

???拋物線解析式為y=-|(x+l)(x-9),

整理得：y=—12+苫X+6.

(2)警的值不變.

EF

如圖所示：過點E作。G1AB交AB于點。，交x軸于點G.

???四邊形0ABe為矩形，

???DG10C,BD=GC,

vBE1EFJ

???(DEB+Z.GEF=90°,

vZ.GEF+Z.EFG=90°,

???(DEB=Z.EFG.

又???乙EDB=乙EGF=90°,

BDEs△EGF,

:.—BE=—BD.

EFEG

.BE_CG_PC

“EF-GE-4。?

將％=o代入拋物線的解析式得：y=6,

OA=6.

由4(0,6),拋物線對稱軸為直線x=4,得8(8,6),

??.OC=6.

tBE_4

**EF3,

(3)過點？作PQ〃力FP1PQ,CQ1PQ.

可知QE'=4,

FP=3.則CQ=3,BQ=9,

???BE=BE'=V97.

14.(1)由拋物線丫=一X2+6彳+(:過點？1(一1,0)及。(2,3)得，

(―1—b+c=0,

[-4+2b+c=3,

解得P=I

(c=3,

故拋物線為y=-/+2彳+3；

又設(shè)直線為y=kx+n過點4(—1,0)及C(2,3),

得]”U'

12k+九=3,

解得\k=:

(n=1,

故直線AC為y=x+L

(2)y=-x2+2x+3=—(x—l)2+4,

???0(1,4),

當(dāng)x=l時，y=x+1=2,

???B(l,2),

???點E在直線AC上，設(shè)E(x,x+1).

①如圖2,當(dāng)點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F(x,x+3),

?,?％+3=—x2+2%+3,

解得，%=0或％=1（舍去），

???F（O,1）；

②當(dāng)點E在線段4c（或。4）延長線上時，點尸在點E下方，則F（居％-1）,

???尸在拋物線上,

％-1=—X2+2%+3,

解得％=上咨或》=手，

.“（三,手）或（手,岑）

綜上，滿足條件的點E的坐標(biāo)為（0,1）或（上/，手）或（當(dāng)4平）.

（3）方法一：如圖3,過點P作PQlx軸交4C于點Q,交x軸于點H；過點C作CG_Lx軸于

設(shè)Q(x,x+1),則P[x,—x2+2%+3),

??.PQ=(-%2+2x4-3)-(x+1)

=-x2+%+2,

又

IS4APC~

=1PQ-AG

—~(-%2+%+2)x3

【解析】方法二：過點P作PQ，x軸交AC于點Q,交匯軸于點”；過點C作CG1%軸于點G,如

圖3,

設(shè)Q(x,x+1),則P(x,-x2+2%+3),

又

S^APC=S^APH+S直角梯形PHGC—S^AGC

=[(%+1)(——+2%+3)+[(—x2+2,x+3+3)(2—x)—￡X3x3

32?3.

=--xz+-%+o3

22

15.(1)把4(一3,0),B(1,O)代入y=X2+bx+c中,得《1漢+。二仇解得f=2，

(JL十。十C=U,(C=—D,

???y=%24-2%-3.

(2)①設(shè)直線AC的表達式為y=-+b,把/(一3,0),C(0,—3)代入y=依+b得

[b=-3,

I—3k+/?=0,

解得憶2

???y=-%—3,

???點P(m,0)是％軸上的一動點，且PM_L%軸，

???M(jn,—m—3),N(m,m2+2m—3),

???MN=(—m—3)—(m2+2m—3)=—m2—3m=-(巾+1)+￡

va=—1<0,

???此函數(shù)有最大值.

又?.?點P在線段。力上運動，且一3<一|<0,

.?.當(dāng)血=一：時，MN有最大值：.

24

②滿足條件的點Q的坐標(biāo)為(0,-3V2-1)或(0,-1)或(0,372-1).

【解析】②如圖2—1中，

當(dāng)點M在線段AC上，MN=MC,四邊形MNQC是菱形時,

vMN=-m2-3m,MC=

：■—m2—3m=—y/2m,

解得血=一3+或或0(舍棄)，

???MN=3V2-2,

CQ=MN=3^2-2,

.，.OQ=3V2+1,

(?(0,-3V2-1),

如圖2-2中，

當(dāng)NC是菱形的對角線時，四邊形MNCQ是正方形，此時CN=MN=CQ=2,可得Q(0,-1),

如圖2—3中，

當(dāng)點M在C4延長線上時，MN=CM,四邊形MNQC是菱形時，

則有：m2+3m=-V2m,解得m=-3-或或0(舍棄)，

MN=CQ=3五+2,

0Q=CQ-0C=3或一1,

A<2(0,372-1),

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為(0,-3四一1)或(0,-1)或(0,3/一1).

16.(1)4；0；4

【解析】將8(4,0)代入y=+3x+解得，m=4,

???二次函數(shù)解析式為y=-x2+3x+4,

令x=0,得y=4,

???C(0,4).

(2)存在，理由：

過點M作y軸的平行線交BC于點H,

由點B,C的坐標(biāo)得，直線BC的表達式為：y=—x+4.

設(shè)點+3%+4),則點H(x,-%+4),

BCM的面積

S=S^MHC+S&MHB

=-MNxOB

2

=1x4x(—x2+3x+4+x-4)

=-2x2+8x.

v-2<0,故S有最大值，此時x=2,故點M(2,6).

???點P在拋物線上，

???設(shè)P(m,-m2+3m+4),

當(dāng)四邊形PBQC是菱形時，點P在線段BC的垂直平分線上,

vB(4,0),C(0,4),

???線段BC的垂直平分線的解析式為y=X,

???m=-m2+3m+4,

m=1+V5,

???P(1+遙,1+而)或P(1-遙,1一遍).

②如圖2,設(shè)點P(t,T2+3t+4),過點P作y軸的平行線/交BC與D,交x軸與E；

過點C作/的垂線交，與F,

???點D在直線BC上，

D(t,—t+4),

C(0,4),

直線BC解析式為y--x+4,

?；P￡,=-t2+3t+4-(-t+4)=-t2+4t,BE+CF=4,

S四邊形p8Qc=2sApcB=2(SAPCO+SAPBD)

=20PZ)xCF+^PDxBE)

=4PD

=-4t2+16t.

0<t<4,

.,.當(dāng)t=2時，S四邊形PBQC最大=16，

故當(dāng)t為2時，四邊形PBQC的面積最大.

17.(1)：?拋物線y=a/+bx-3交y軸于點C,

C(0,-3),則。C=3.

?；P到x軸的距離為三，P到y(tǒng)軸的距離是1,且在第三象限,

???C關(guān)于直線［的對稱點為4

*,?力(—2,-3).

將點4(—2,—3),P(—1,—三)代入丫=Q"?+bx—3,

拋物線的表達式為y=1x2+|x-3.

DEGs△BEC.

vDE:BE=4:1,

A—=—=i,則0G=4.

BCBE1

將％=4代入y—1x2+|x—3,得y=5,則。(4,5).

vy=|x4-m過點0(4,5),

3

5=-x4+m,則m=2.

4

???所求直線的表達式為y=；x+2.

⑶存在，Mi厚費),“2(-輔,"3(-?i)，M/-盤技).

18.(1)如圖1.

???B(0,6),

.?.OB=6；

令y=0,則一：x+6=o,

%=8,

???4(8,0),

???OA=8.

根據(jù)勾股定理得，AB=y/OA2+OB2=10,

由運動知，BQ=5t,過點Q作QE_Ly軸于E,

QE//AO,

BEQs△BOA,

tBQ=EQ=BQ

OB~OA-ABf

.BQ_EQ_5t

"6?8.10，

.?.BQ=3t,EQ=

??.OE=OB—BE=6—3t,

:.Q(4t,6—3t).

(2)連接DQ,CP,由運動知，0P=2t.

AP(0,2t),

??,點C是OA的中點，

???C(4,0),

???四邊形CQPD是平行四邊形，

???DQ與CP互相平分，

設(shè)D(m,九),由(1)知，Q(4t,6-3t).

A4t+m=4,6—3t+n=2t,

???m=4—43n=5t—6,

???D(4-4t,5t-6).

①I.當(dāng)％軸將平行四邊形PQCO的面積分為1:5的兩個部分時，如圖2,

Av

???PC是平行四邊形PQCD的對角線,

*'?S?pcQ=S“cD，

???S&C0F：S四邊形CFPQ=1：5,

A

S〉CDF：S>CPF=1：2，

???DF'.PF=1:2,

??.PF'.DF=2:1,

過點。作OGIy軸于G,

.?.OG—6—5t,

??.DG//FO,

PO_PF

,t,—r

OGDF

2t2

----=一,

6-5t---1

???t=l；【注：點。本身在y軸上，為了解決問題，沒將點。放在y軸上】

H.當(dāng)y軸將平行四邊形PQCD的面積分為1:5的兩個部分時，

如圖3,過點D作DN_Lx軸于N,

A.V

同I的方法得，t=1.5,

即：坐標(biāo)軸剛好將平行四邊形PQCD的面積分為1