高中數(shù)學第6章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件新人教版選修3

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課前·基礎認知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標定位隨堂訓練素養(yǎng)?目標定位目標素養(yǎng)1.通過實例,了解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,能應用它們解決簡單的實際問題.2.正確理解“完成一件事情”的含義;根據(jù)問題特征,正確地區(qū)分“分類”或“分步”.3.通過兩個計數(shù)原理的學習,提升數(shù)學抽象及數(shù)學建模的核心素養(yǎng).知識概覽課前·基礎認知1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=

m+n

種不同的方法.

微思考1分類加法計數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方案”如何理解?提示:分類加法計數(shù)原理中的“完成一件事有兩類不同方案”,是指完成這件事的所有方法可以分為兩類,即任何一類中的任何一種方法都可以完成任務,兩類中沒有相同的方法,且完成這件事的任何一種方法都在某一類中.微訓練1從A地到B地,可乘汽車、火車、輪船三種交通工具,如果一天內(nèi)汽車有3個班次,火車有4個班次,輪船有2個班次,那么一天內(nèi)從A地到B地不同的方法種數(shù)為(

)A.1+1+1=3 B.3+4+2=9C.3×4×2=24 D.以上都不對答案:B解析:分三類:第1類,乘汽車,從3個班次中選1個班次有3種方法;第2類,乘火車,從4個班次中選1個班次有4種方法;第3類,乘輪船,從2個班次中選1個班次有2種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有3+4+2=9種不同的方法.2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=

m×n

種不同的方法.

微思考2(1)分步乘法計數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個步驟”如何理解?提示:分步乘法計數(shù)原理中的“完成一件事需要兩個步驟”,是指完成這件事的任何一種方法,都需要分成兩個步驟.在每一個步驟中任選一種方法,然后相繼完成這兩個步驟就能完成這件事,即各個步驟是相互依存的,每個步驟都要做完才能完成這件事.(2)如何區(qū)分一個問題是“分類”還是“分步”?提示:若完成這件事,可以分幾種情況,每種情況中任何一種方法都能完成任務,則是分類;若從其中一種情況中任取一種方法只能完成任務的一部分,且只有依次完成各種情況,才能完成這件事,則是分步.微訓練2已知x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},則xy可表示不同的值的個數(shù)為(

)A.10 B.6 C.8

D.9答案:D解析:求xy的值分兩步取值:第1步,x的取值有3種;第2步,y的取值有3種.故有3×3=9個不同的值,且經(jīng)檢驗計算結(jié)果均不相同.課堂·重難突破一

分類加法計數(shù)原理典例剖析1.所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?解:(方法一)按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有8個、7個、6個、5個、4個、3個、2個、1個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)是8+7+6+5+4+3+2+1=36.(方法二)按個位上的數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)是1+2+3+4+5+6+7+8=36.規(guī)律總結(jié)

利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程學以致用1.某校高三年級(1)班、(2)班和(3)班的人數(shù)如表所示:班級男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班301545高三(3)班321850(1)從三個班中選1名學生任學生會主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學生任學生會生活部部長,有多少種不同的選法?解:(1)從三個班中選1名學生任學生會主席,可以分為三類:第1類,從高三(1)班中選出1名學生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學生,有45種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學生,有50種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為50+45+50=145.(2)由題意可知共有三類方案:第1類,從高三(1)班男生中任選1名學生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中任選1名學生,有30種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中任選1名學生,有18種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為30+30+18=78.二

分步乘法計數(shù)原理典例剖析2.從-2,-1,0,1,2,3這六個數(shù)字中任選3個不重復的數(shù)字作為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的系數(shù)a,b,c,則可以組成多少條不同的拋物線?解:第1步選系數(shù)a(a不能為0),有5種選法.第2步選系數(shù)b,有5種選法.第3步選系數(shù)c,有4種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得組成拋物線的條數(shù)為5×5×4=100.規(guī)律總結(jié)

利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程學以致用2.從1,2,3,4中選三個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的三位數(shù),則滿足下列條件的數(shù)有多少個?(1)三位數(shù);(2)三位偶數(shù).解:(1)分三步完成:第1步,排個位,有4種方法;第2步,排十位,從剩下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法;第3步,排百位,從剩下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,三位數(shù)共有4×3×2=24(個).(亦可從最高位排起)(2)分三步完成:第1步,排個位,只能從2,4中選1個,有2種方法;第2步,排十位,從剩下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法;第3步,排百位,從剩下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,三位偶數(shù)共有2×3×2=12(個).三

兩個計數(shù)原理的綜合應用典例剖析3.現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解:(1)分為三類:第1類,從國畫中選,有5種不同的選法;第2類,從油畫中選,有2種不同的選法;第3類,從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5+2+7=14種不同的選法.(2)國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×2×7=70種不同的選法.(3)分為三類:第1類是一幅選自國畫,一幅選自油畫,有5×2=10種不同的選法;第2類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7=35種不同的選法;第3類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7=14種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有10+35+14=59種不同的選法.規(guī)律總結(jié)

兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

內(nèi)容計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系兩個計數(shù)原理都是計算完成某件事的方法種數(shù),目標都是必須完成這件事區(qū)別一完成一件事,共有n類方法,關鍵詞是“分類”完成一件事,共分n個步驟,關鍵詞是“分步”內(nèi)容計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別二每類方法中的每一種方法都能獨立完成這件事,只需一種方法即可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類方法之間是互斥的、并列的、獨立的,即“分類互斥”各步之間是關聯(lián)的、獨立的,“關聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復,即“分步互依”學以致用3.在7名學生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,另2名既會下象棋又會下圍棋,現(xiàn)從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選法?解:選參加象棋比賽的學生有兩種方法:一種方法是從只會下象棋的3人中選,另一種方法是從既會下象棋又會下圍棋的2人中選;選參加圍棋比賽的學生也有兩種選法:一種方法是從只會下圍棋的2人中選,另一種方法是從既會下象棋又會下圍棋的2人中選.互相搭配,可得四類不同的選法.第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽有3×2=6種選法;第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽有3×2=6種選法;第3類,從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加象棋比賽有2×2=4種選法;第4類,2名既會下象棋又會下圍棋的學生分別參加象棋比賽和圍棋比賽有2種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有6+6+4+2=18種選法.四涂色與種植問題典例剖析4.(1)若將3種作物全部種植在5塊試驗田中,如圖所示,每塊試驗田種植一種作物,且相鄰的試驗田不能種植同一種作物,則不同的種植方法共有

種.

答案:42解析:分別用a,b,c代表3種作物,先安排第1塊田,有3種方法,不妨設放入a,再安排第2塊田,有2種方法,不妨設放入b,第3塊田也有2種方法,可種作物a或c.①若第3塊田放c:第4,5塊田分別有2種方法,共有2×2=4種方法.abc②若第3塊田放a:第4塊有2種方法,可種作物b或c,若第4塊放c:第5塊有2種方法;若第4塊放b:第5塊只能種作物c,共1種方法.故共有3×2×(4+2+1)=42種方法.abaabacabab(2)用紅、黃、藍、白、黑5種顏色給“田”字形的4個小方格涂色,如圖所示,每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以重復使用,那么共有多少種不同的涂色方法?解:第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.①當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時,有4×3=12種不同的涂法,第4個小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計數(shù)原理可知,有5×12×3=180種不同的涂法.②當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時,有4種不同的涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計數(shù)原理可知,有5×4×4=80種不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得,共有180+80=260種不同的涂法.規(guī)律總結(jié)

解決涂色、種植問題的一般思路(1)涂色問題一般是綜合利用兩個計數(shù)原理求解,有幾種常用方法:①按區(qū)域的不同,以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理分析.②以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點、線段”等問題,用分類加法計數(shù)原理分析.③將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.(2)種植問題按種植的順序分步進行,用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當選取情況分類,用分類加法計數(shù)原理計數(shù).學以致用4.如圖所示,將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩個頂點顏色不同,若只有5種顏色可供使用,且顏色可重復使用,則不同染色方法的總數(shù)為

.

答案:420解析:按照S→A→B→C→D的順序進行染色,按照A,C是否同色分為兩類:第1類,A,C同色,有5×4×3×1×3=180種不同的染色方法;第2類,A,C不同色,有5×4×3×2×2=240種不同的染色方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有180+240=420種不同的染色方法.隨堂訓練1.某一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明,有5名同學只會用綜合法證明,有3名同學只會用分析法證明,現(xiàn)從這些同學中任選1名同學證明這一數(shù)學問題,不同的選法種數(shù)為(

)A.8 B.15

C.18

D.30答案:A解析:依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5+3=8種不同的選法.2.用0,1,…,9這10個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(

)A.243 B.252

C.261

D.648答案:B解析:0,1,2,…,9共能組成9×10×10=900(個)三位數(shù),其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8=648(個),因此有重復數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252(個).3.有5名乒乓球隊員,其中2名是老隊員,其他3名是新隊員.現(xiàn)從中選出3名隊員參加團體比賽,則入選的3名隊員中至少有一名老隊員的選法有

種.

答案:9解析:分為兩類:第1類,入選的3名隊員,有2名老隊員、1名新隊員,有3種選法;第2類,入選的3名隊員,有2名新隊員、1名老隊員,有2×3=6種選法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有6+3