哥尼斯堡七橋問題(高級課件)

哥尼斯堡七橋問題

《數(shù)學文化》課程組1學習培訓哥尼斯堡七橋問題《數(shù)學文化》課程組1學習培訓

現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒，舊稱哥尼斯堡，是一座歷史名城。在十八、十九世紀，那里是東普魯士的首府，曾經(jīng)誕生和培育過許多偉大的人物。著名的哲學家，古典唯心主義的創(chuàng)始人康德，終生沒有離開過哥尼斯堡一步!二十世紀最偉大的數(shù)學家之一，德國的希爾伯特也出生于此地。

2學習培訓現(xiàn)今俄羅斯的加里寧格勒，舊稱哥尼斯堡

哥城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。在河的中心有一座美麗的小島。普河的兩條支流，環(huán)繞其旁匯成大河，把全城分為下圖所示的四個區(qū)域：島區(qū)(A)，東區(qū)(B)，南區(qū)(C)和北區(qū)(D)。3學習培訓哥城景致迷人，碧波蕩漾的普累格河，橫貫其境。

著名的哥尼斯堡大學，傍倚于兩條支流的河旁，使這一秀色怡人的區(qū)域，又增添了幾分莊重的韻味!有七座橋橫跨普累格河及其支流，其中五座把河岸和河心島連接起來。這一別致的橋群，古往今來，吸引了眾多的游人來此散步。

4學習培訓著名的哥尼斯堡大學，傍倚于兩條支流的河旁，使

早在十八世紀以前，當?shù)氐木用癖銦嶂杂谝韵掠腥さ膯栴}：能不能設計一次散步，使得七座橋中的每一座都走過一次，而且只走過一次?

這便是著名的哥尼斯堡七橋問題。5學習培訓早在十八世紀以前，當?shù)氐木用癖銦嶂杂谝韵掠腥?/p>

這個問題后來變得有點驚心動魄：說是有一隊工兵，因戰(zhàn)略上的需要，奉命要炸掉這七座橋。命令要求當載著炸藥的卡車駛過某座橋時，就得炸毀這座橋，不許遺漏一座！6學習培訓這個問題后來變得有點驚心動魄：說是有一隊工兵

如果有興趣，完全可以照樣子畫一張地圖，親自嘗試嘗試。不過，要告訴大家的是,想把所有的可能線路都試過一遍是極為困難的！因為各種可能的線路有=5040種。要想一一試過，真是談何容易。正因為如此，七橋問題的解答便眾說紛紜：有人在屢遭失敗之后，傾向于否定滿足條件的解答的存在；另一些人則認為，巧妙的答案是存在的，只是人們尚未發(fā)現(xiàn)而已，這在人類智慧所未及的領域，是很常見的事！7學習培訓如果有興趣，完全可以照樣子畫一張地圖，親自嘗試嘗歐拉（L.Euler,1707.4.15-1783.9.18）著名的數(shù)學家。生于瑞士的巴塞爾，卒于彼得堡。大部分時間在俄國和德國度過。他早年在數(shù)學天才貝努里賞識下開始學習數(shù)學,17歲獲得碩士學位，畢業(yè)后研究數(shù)學,是數(shù)學史上最高產(chǎn)的作家。在世發(fā)表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發(fā)表。其論著幾乎涉及所有數(shù)學分支。

問題的魔力，竟然吸引了天才的歐拉。這位年輕的瑞士數(shù)學家，以其獨具的慧眼，看出了這個似乎是趣味幾何問題的潛在意義。

8學習培訓歐拉（L.Euler,1707.4.15-1783.歐拉在數(shù)學、物理、天文、建筑以至音樂、哲學方面都取得了輝煌的成就。在數(shù)學的各個領域，常常見到以歐來命名的公式、定理、和重要常數(shù)。課本上常見的如π、i、e、sin、cos、tg、△x、Σ、f(x)等，都是他創(chuàng)立并推廣的。歐拉還首先完成了月球繞地球運動的精確理論，創(chuàng)立了分析力學、剛體力學等力學學科，深化了望遠鏡、顯微鏡的設計計算理論。關鍵詞：驚人的記憶力杰出的智慧頑強的毅力孜孜不倦的奮斗精神高尚的科學道德9學習培訓歐拉在數(shù)學、物理、天文、建筑以至音樂、哲學方面都取得了輝煌的

公元1736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學院遞交了一份題為《哥尼斯堡的七座橋》的論文。論文的開頭是這樣寫的：

“討論長短大小的幾何學分支，一直被人們熱心地研究著。但是還有一個至今幾乎完全沒有探索過的分支。萊布尼茲最先提起過它，稱之：“位置的幾何學”。這個幾何學分支討論只與位置有關的關系，研究位置的性質；它不去考慮長短大小，也不牽涉到量的計算。但是至今未有過令人滿意的定義，來刻劃這門位置幾何學的課題和方法……”10學習培訓公元1736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學院遞交了歐拉解決這個問題的方法非常巧妙.他認為：人們關心的只是一次不重復地走遍這七座橋，而并不關心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點，而橋則可以看成是連接這些點的一條線.11學習培訓歐拉解決這個問題的方法非常巧妙.他認為：11學習培訓

這樣，哥尼斯堡七橋問題就被抽象成為“一筆畫問題”：筆尖不離開紙面，一筆畫出給定圖形，不允許重復任何一條線。理論上需要解決的問題是：找到“一個圖形可以一筆畫”的充要條件。

歐拉注意到每個點都是若干條線的端點，他把圖形上的點分為兩類：奇點和偶點。要想不重復地一筆畫出某個圖形，除去起始點和終止點外，其余點，如果畫進去一條線，就一定要畫出一條線，從而必須是偶點。12學習培訓這樣，哥尼斯堡七橋問題就被抽象成為“一筆畫問題”：筆一筆畫原理：一個圖如果可以一筆畫成，那么這個圖中奇數(shù)頂點的個數(shù)不是0就是2。反之亦然。

當圖形中有兩個頂點時，以其中一個為起始點，另一個為終止點，就能一筆畫；當圖形中沒有奇點時，從任何一個起始點都可以完成一筆畫。13學習培訓一筆畫原理：當圖形中有兩個頂點時，以其中一個為起14學習培訓14學習培訓15學習培訓15學習培訓16學習培訓16學習培訓

想不到轟動一時的哥尼斯堡七橋問題，竟然與孩子們的游戲，想用一筆畫畫出“串"字和“田”字這類問題一樣，而后者并不比前者更為簡單!

事實上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，只是很可惜，長期以來，人們只把它作為一類有趣的游戲，沒有對它引起重視，也沒有數(shù)學家對它進行經(jīng)驗總結和研究，這不能不說是一種遺憾。17學習培訓想不到轟動一時的哥尼斯堡七橋問題，竟然與孩子

需要順便提到的是：既然可由一筆畫畫成的圖形，其奇點個數(shù)應不多于兩個，那么，兩筆畫或多筆畫能夠畫成的圖形，其奇點個數(shù)應有怎樣的限制呢？

一般地，我們有：

含有2n(n>0)個奇點的圖形，需要n筆劃畫成。

18學習培訓需要順便提到的是：既然可由一筆畫畫成的圖形，其奇點姜伯駒《一筆畫和郵遞員路線問題》19學習培訓姜伯駒《一筆畫和郵遞員路線問題》19學習培訓橡皮膜上的幾何學

在《哥尼斯堡七橋》問題中，讀者已經(jīng)看到了一種只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮它們尺寸大小的新幾何學。萊布尼茲(Leibniz，1646～1716)和歐拉為這種“位置幾何學”的發(fā)展奠定了基礎。如今這一新的幾何學，已經(jīng)發(fā)展成一門重要的數(shù)學分支

——拓撲學20學習培訓橡皮膜上的幾何學20學習培訓

拓撲學研究的課題是極為有趣的。

在拓撲學中人們感興趣的只是圖形的位置而不是它的大小。有人把拓撲學說成是橡皮膜上的幾何學是很恰當?shù)摹Ｒ驗橄鹌つど系膱D形，隨著橡皮膜的拉動，其長度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化。此時談論“有多長？”、“有多大？”之類的問題，是毫無意義的!

21學習培訓

拓撲學研究的課題是極為有趣的。

不過，在橡皮膜幾何里也有一些圖形的性質保持不變。例如點變化后仍然是點；線變化后依舊為線；相交的圖形絕不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交!

拓撲學正是研究諸如此類，使圖形在橡皮膜上保持不變性質的幾何學。22學習培訓不過，在橡皮膜幾何里也有一些圖形的性質保持不變

拓撲學是在19世紀末興起并在20世紀蓬勃發(fā)展的數(shù)學分支，與近世代數(shù)、近代分析共同成為數(shù)學的三大支柱。拓撲學已在物理、化學、生物一些工程技術中得到越來越廣泛的應用。拓撲學主要研究幾何圖形在一對一的雙方連續(xù)變換下不同的性質，這種性質稱為“拓撲性質”。以下我們將復雜的拓撲學知識應用到簡單的游戲中，使觀眾在游戲中了解拓撲學的特性，并學習到相關知識。

23學習培訓拓撲學是在19世紀末興起并在20世紀蓬勃“內部”與“外部”

一條頭尾相連且自身不相交的封閉曲線，把橡皮膜分成兩個部分。如果我們把其中有限的部分稱為閉曲線的“內部”，那么另一部分便是閉曲線的“外部”。從閉曲線的內部走到閉曲線的外部，不可能不通過該閉曲線。因此，無論你怎樣拉扯橡皮膜，只要不切割、不撕裂、不折疊、不穿孔，那么閉曲線的內部和外部總是保持不變的!24學習培訓“內部”與“外部”一條頭尾相連且自身不相

“內部”與“外部”是拓撲學中很重要的一組概念

以下有趣的故事，將增加你對這兩個概念的理解：25學習培訓“內部”與“外部”是拓撲學中很重要的一組概

傳說古波斯穆罕默德的繼承人哈里發(fā)，有一位才貌雙全的女兒。姑娘的智慧和美貌，使許多聰明英俊的小伙子為之傾倒，致使求婚者的車馬絡繹不絕。哈里發(fā)決定從中挑選一位才智超群的青年為婿。于是便出了一道題目，聲明說：誰能解出這道題，便將女兒嫁給誰！

26學習培訓傳說古波斯穆罕默德的繼承人哈里發(fā)，有一位才貌

哈里發(fā)的題目是這樣的：請用線把下圖中寫有相同數(shù)字的小圓圈連接起來，但所連的線不許相交，也不許與圖中的線相交。27學習培訓哈里發(fā)的題目是這樣的：請用線把下圖中寫有

上述問題的解決，似乎不費吹灰之力。但實際上求婚者們全都乘興而來，敗興而去！

據(jù)說后來哈里發(fā)終于醒悟，發(fā)現(xiàn)自己所提的問題是不可能實現(xiàn)的，因而后來又改換了題目。也有的說，哈里發(fā)固執(zhí)已見，美麗的公主因此終生未嫁。事情究竟如何，現(xiàn)在自然無從查考。

28學習培訓上述問題的解決，似乎不費吹灰之力。但實際上求婚者們29學習培訓29學習培訓

哈里發(fā)的失算，卻是可以用拓撲學的知識加以證明的。其所需之概念，只有“內部”與“外部”兩個。事實上，我們很容易用線把①一①、②一②連起來。明眼的讀者可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：我們得到了一條簡單的閉曲線，這條曲線把整個平面分為內部(陰影部分)和外部兩個區(qū)域。其中一個③在內部區(qū)域，而另一個③卻在外部區(qū)域，要想從閉曲線內部的③，畫一條弧線與外部的③相連，而與已畫的閉曲線不相交，這是不可能的！這正是哈里發(fā)悲劇之所在。

30學習培訓哈里發(fā)的失算，卻是可以用拓撲學的知識加以證明的。其點A是在內部還是外部31學習培訓點A是在內部還是外部31學習培訓19世紀中葉，法國數(shù)學家若爾當提出了一個精妙絕倫的辦法：在圖形外找一點，與需要判定的區(qū)域內的某個點連成線段，如果該線段與封閉曲線相交的次數(shù)為奇數(shù)，則所判定區(qū)域為“內部”；否則為“外部”。32學習培訓19世紀中葉，法國數(shù)學家若爾當提出了一個精妙絕倫的辦奇異的莫比烏斯帶

取一條長方形的紙帶，如果將它兩頭對齊粘合在一起，就成為一個圓圈。那么，它就有上下兩個圓形邊界，之間的是內外兩個圓柱面。現(xiàn)在將粘合處打開，重新進行粘合，與上一次不同的是，這次把其中的一頭旋轉180°之后，也就是把內面翻轉朝外之后，然后再把兩頭無縫的粘起來。這樣就制作完成了莫比烏斯帶。33學習培訓奇異的莫比烏斯帶取一條長方形的紙帶，如果將它兩頭對齊34學習培訓34學習培訓35學習培訓35學習培訓36學習培訓36學習培訓37學習培訓37學習培訓38學習培訓38學習培訓39學習培訓39學習培訓兩種不同的莫比烏斯帶40學習培訓兩種不同的莫比烏斯帶40學習培訓不分內外的“克萊茵瓶”41學習培訓不分內外的“克萊茵瓶”41學習培訓輪胎克萊茵瓶42學習培訓輪胎克萊茵瓶42學習培訓拓撲魔術奇觀43學習培訓拓撲魔術奇觀43學習培訓

紙片上有一個兩分硬幣大小的孔，問伍分硬幣能通過這個圓孔嗎？當然，紙片是不允許撕破的。大硬幣通過小圓孔

44學習培訓紙片上有一個兩分硬幣大小的孔，問伍分硬幣能通過這

紙片上有一個兩分硬幣大小的孔，問伍分硬幣能通過這個圓孔嗎？當然，紙片是不允許撕破的。大