微積分基本定理2

人教A版選修2—2精講細(xì)練微積分基本定理一、知識(shí)精講1.微積分基本定理（1）定理內(nèi)容:一般地,如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F'(x)=f(x),那么=F(b)-F(a)；這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫牛頓—萊布尼茨公式；（2）表達(dá)式=F(b)-F(a)；【注】：利用微積分基本定理求定積分eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx的關(guān)鍵是找到滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)．通常我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向求F(x).（3）作用：將積分與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái),并提供了計(jì)算定積分的有效方法.2．定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，在x軸下方的面積為S下，則當(dāng)曲邊梯形在x軸上方時(shí)，如圖①，則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝S上(2)當(dāng)曲邊梯形在x軸下方時(shí)，如圖②，則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝-S下(3)當(dāng)曲邊梯形在x軸上方、x軸下方均存在時(shí)，如圖③，則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝S－S若S上＝S下，則eq\a\vs4\al(\i\in(a,b,))f(x)dx＝0二、典例細(xì)練【題型一】：利用微積分基本定理計(jì)算定積分例題1：計(jì)算下列定積分：(1)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(x2＋2x＋3)dx；(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,π,))(sinx－cosx)dx；(3)eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))(cosx－ex)dx.【解析】(1)eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(x2＋2x＋3)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))2xdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))3dx＝eq\f(x3,3)|eq\o\al(2,1)＋x2|eq\o\al(2,1)＋3x|eq\o\al(2,1)＝eq\f(25,3).(2)eq\a\vs4\al(\i\in(0,π,))(sinx－cosx)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,π,))sinxdx－eq\a\vs4\al(\i\in(0,π,))cosxdx＝(－cosx)|eq\o\al(π,0)－sinx|eq\o\al(π,0)＝2.(3)eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))(cosx－ex)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))cosxdx－eq\a\vs4\al(\i\in(－π,0,))exdx＝sinx|eq\o\al(0,－π)－ex|eq\o\al(0,－π)＝eq\f(1,eπ)－1.【點(diǎn)評(píng)】微積分計(jì)算中常用的一些公式變式訓(xùn)練：計(jì)算下列定積分：(1)eq\i\in(0,5,)2xdx；(2)eq\i\in(0,1,)(x2－2x)dx；(3)eq\i\in(0,2,)(4－2x)(4－x2)dx；(4)eq\i\in(1,2,)eq\f(x2＋2x－3,x)dx.【解析】(1)eq\i\in(0,5,)2xdx＝x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(5,0)))＝25－0＝25.(2)eq\i\in(0,1,)(x2－2x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx－eq\i\in(0,1,)2xdx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))－x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(1,3)－1＝－eq\f(2,3).(3)eq\i\in(0,2,)(4－2x)(4－x2)dx＝eq\i\in(0,2,)(16－8x－4x2＋2x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(16x－4x2－\f(4,3)x3＋\f(1,2)x4))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,0)))＝32－16－eq\f(32,3)＋8＝eq\f(40,3).(4)eq\i\in(1,2,)eq\f(x2＋2x－3,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2－\f(3,x)))dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋2x－3lnx))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,1)))＝eq\f(7,2)－3ln2.【題型二】：分段函數(shù)的定積分運(yùn)算例題2：設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2(0≤x<1),2－x(1≤x≤2)))，則eq\i\in(0,2,)f(x)dx等于()\f(3,4) \f(4,5)\f(5,6) D．不存在【答案】C【解析】eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)(2－x)dx取F1(x)＝eq\f(1,3)x3，F(xiàn)2(x)＝2x－eq\f(1,2)x2，則F′1(x)＝x2，F(xiàn)′2(x)＝2－x∴eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝eq\f(1,3)－0＋2×2－eq\f(1,2)×22－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×1－\f(1,2)×12))＝eq\f(5,6).故應(yīng)選C.【點(diǎn)評(píng)】求分段函數(shù)的定積分時(shí),可利用定積分的性質(zhì)將其表示為幾段定積分和的形式;對(duì)于帶絕對(duì)值的解析式,先根據(jù)絕對(duì)值的意義找到分界點(diǎn),去掉絕對(duì)值號(hào),化為分段函數(shù)再求解.變式訓(xùn)練1：eq\i\in(0,3,)|x2－4|dx＝()\f(21,3) \f(22,3)\f(23,3) \f(25,3)【答案】C【解析】eq\i\in(0,3,)|x2－4|dx＝eq\i\in(0,2,)(4－x2)dx＋eq\i\in(2,3,)(x2－4)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,0)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－4x))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,2)))＝eq\f(23,3).變式訓(xùn)練2：設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,cosx－1，x>0，))(1)求eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))f(x)dx；(2)求eq\a\vs4\al(\i\in(－a,a,))eq\r(x2)dx(a>0)．【解析】(1)eq\a\vs4\al(\i\in(－1,1,))f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(cosx－1)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(0,－1)＋(sinx－x)|eq\o\al(1,0)＝sin1－eq\f(2,3).由eq\r(x2)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))得eq\a\vs4\al(\i\in(－a,a,))eq\r(x2)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,a,))xdx＋eq\a\vs4\al(\i\in(－a,0,))(－x)dx＝eq\f(1,2)x2|eq\o\al(a,0)－eq\f(1,2)x2|eq\o\al(0,－a)＝a2.【題型三】：運(yùn)用定積分求曲邊梯形面積例題3：(2022陜西理，13)從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為_(kāi)_______．【答案】eq\f(1,3)【解析】長(zhǎng)方形的面積為S1＝3，S陰＝eq\i\in(0,1,)3x2dx＝x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝1，則P＝eq\f(S1,S陰)＝eq\f(1,3).【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用定積分進(jìn)行曲邊梯形的面積計(jì)算時(shí)，需正確理解定積分的含義，以免計(jì)算時(shí)候產(chǎn)生錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練：求曲線y=sinx與直線x=,x=,y=0所圍成圖形的面積.【解析】S=【題型四】：定積分的綜合應(yīng)用例題4：已知f(a)＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．【解析】∵(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)′＝2ax2－a2x，∴eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(2ax2－a2x)dx＝(eq\f(2,3)ax3－eq\f(1,2)a2x2)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2，即f(a)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)a2＝－eq\f(1,2)(a2－eq\f(4,3)a＋eq\f(4,9))＋eq\f(2,9)＝－eq\f(1,2)(a－eq\f(2,3))2＋eq\f(2,9)，∴當(dāng)a＝eq\f(2,3)時(shí)，f(a)有最大值eq\f(2,9).變式訓(xùn)練：已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．【解析】∵f(