23.解直角三角形及其應(yīng)用A

一、選擇題1.(2016湖南益陽(yáng)，8，5分）小明利用測(cè)角儀和旗桿的拉繩測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，旗桿PA的高度與拉繩PB的長(zhǎng)度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測(cè)得∠（為水平線），測(cè)角儀的高度為1米，則旗桿PA的高度為（）A． B．C． D．【答案】A2.（2016四川巴中，8，3分）一個(gè)公共房門前的臺(tái)階高出地面1.2米，臺(tái)階拆除后，換成供輪椅行走的斜坡，數(shù)據(jù)如圖所示，則下列關(guān)系或說(shuō)法正確的是（）A．斜坡AB的坡度是10° B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米【答案】C3．（2016湖南長(zhǎng)沙，11，3分）如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球A處與樓的水平距離為120m，則這棟樓的高度為（） A．160m B．120m C．300m D．160m【答案】A4.(2016山東泰安，16，3分)如圖，輪船沿正南方向以30海里/時(shí)的速度勻速航行，在M處觀測(cè)到燈塔P在西偏南68°方向上；航行2小時(shí)后到達(dá)N處，觀測(cè)燈塔P在西偏南46°方向上，若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置，則此時(shí)輪船離燈塔的距離約為(由科學(xué)計(jì)算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947)()A.22.48B.41.68C.43.16D.55.63答案：B.5.(2016重慶A卷，11，4分）某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng)，如圖在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36°，然后沿同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處，然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點(diǎn)D處，斜面AB的坡度（或坡比）i=1:2.4，那么大樹CD的高度約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.95，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米【答案】A6、（2016重慶B卷，11，4分）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED，從辦公大樓頂端A測(cè)得旗桿頂端E的俯角α是45°，旗桿底端D到大樓大樓前梯坎底邊的距離DC是20米，梯坎坡長(zhǎng)是12米，梯坎坡度i=1：，則大樓AB的高度約為（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：）A. 30.6 B. 32.1 C. 37.9 D. 39.4思路分析：作EF⊥AB，由圖示知：AB=AF+FB.∵α=45°，∴∠FAE=45°，∴AF=EF.又∵，BC=12，∴∴BG=6，.∵FG=ED=15,DC=20,∴,(米).答案：D.7.（2016聊城，12,3分）聊城“水城之眼”摩天輪是亞洲三大摩天輪之一，也是全球首座建筑與摩天輪相結(jié)合的城市地標(biāo)，如圖，點(diǎn)O是摩天輪的圓心，長(zhǎng)為110米的AB是其地面的直徑，小瑩在地面C點(diǎn)處利用測(cè)角儀測(cè)得摩天輪的最高的A的仰角為33°，測(cè)得圓心O的仰角為21°，則小瑩所在C點(diǎn)到直徑AB所在直線的距離為（）（）A、169米B、204米C、240米D、407米【答案】Ｂ11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空題1.（2016山東棗莊，14，4分）如圖是矗立在高速公路邊水平地面上的交通警示牌，經(jīng)測(cè)量得到如下數(shù)據(jù)：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，則警示牌的高CD為米（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：=1.41，=1.73）．第14題圖第14題圖【答案】2.92．（2016浙江寧波，16，4分）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，小聰在距離旗桿10m的A處測(cè)得旗桿頂端B的仰角為60°，測(cè)角儀高AD為1m，則旗桿高BC為10+1m（結(jié)果保留根號(hào)）．【解答】10+1．3.（2016湖北黃石，13，3分）如圖所示，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔4海里的處，該海輪沿南偏東方向航行__________海里后，到達(dá)位于燈塔的正東方向的處.【答案】45.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答題18．（2016山東青島，18，6分）如圖，AB是長(zhǎng)為10m，傾斜角為37°的自動(dòng)扶梯，平臺(tái)BD與大樓CE垂直，且與扶梯AB的長(zhǎng)度相等，在B處測(cè)得大樓頂部C的仰角為65°，求大樓CE的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈）解：作BF⊥AE于點(diǎn)F．則BF=DE．在直角△ABF中，sin∠BAF=，則BF=AB?sin∠BAF=10×=6（m）．在直角△CDB中，tan∠CBD=，則CD=BD?tan65°=10×≈27（m）．則CE=DE+CD=BF+CD=6+27=33（m）．答：大樓CE的高度是33m．22.（2016湖北黃石，22，8分）如圖，為測(cè)量一座山峰的高度，將此山的某側(cè)山坡劃分為和兩段，每一段山坡近似是“直”的，測(cè)得坡長(zhǎng)米，米，坡角，.（1）求段山坡的高度；（2）求山峰的高度.（，結(jié)果精確到米）（1）（2）答：段山坡高度為400米，山峰的高度約為541米.4.（2016蘭州，24，7分）如圖，一垂直于地面的燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成450夾角（∠CDB=450），在C點(diǎn)上方2米處加固定另一條鋼纜ED，ED與地面成530夾角（∠EDB=530），那么鋼纜ED的長(zhǎng)度約為多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin530≈0.80，cos530≈0.60，tan530≈1.33）【答案】10解：設(shè)BD=xm,則BC=xm,BE=(x+2)m在RtΔBDE中：=tan∠EDB∴=1.33，x=6.06∵=SIN===sin∠EDB∴ED===10.1≈10答：鋼纜ED的長(zhǎng)度約為10米.1．(2016年湖北荊門，21，10分)如圖，天星山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋)米，小軍和小明同學(xué)分別從A處和B處向山頂勻速行走．已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為米/秒．若小明與小軍同時(shí)到達(dá)山頂C處，則小明的行走速度是多少？CBCBA30°45°第21題圖CBA30°45°答案圖D解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則CD＝x米，則AC＝＝x，BC＝＝2x．設(shè)小明行走的速度為v米/少，因?yàn)樾∶骱托≤娡瑫r(shí)到達(dá)山頂，所以＝．解得v＝1．答：小明的行走速度是1米/秒．20．（2016臺(tái)州，20，8分）保護(hù)視力要求人寫字時(shí)眼睛和筆端的距離應(yīng)超過(guò)30cm，圖1是一位同學(xué)的坐姿，把他的眼睛B，肘關(guān)節(jié)C和筆端A的位置關(guān)系抽象成圖2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm,∠ACB=53°，他的這種坐姿符合保護(hù)視力的要求嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°0.8，cos53°0.6，tan53°1.3）解：該同學(xué)的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求。理由，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在Rt△BDC中BD=BCsin53°CD=BCcos53°AB=AC-CD=4在Rt△ABD中AB=(cm)＜30cm∴該同學(xué)的這種坐姿不符合保護(hù)視力的要求.1.(2016廣東廣州，22，12分）如圖，某無(wú)人機(jī)于空中處探測(cè)到目標(biāo)的俯角分別是,此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛行高度為，隨后無(wú)人機(jī)從處繼續(xù)水平飛行m到達(dá)處.求之間的距離求從無(wú)人機(jī)上看目標(biāo)的俯角的正切值.解：（1）∵∠BAC=90°-30°=60°，AC=60m∴在Rt△ABC中，有（2）作DE⊥于點(diǎn)E，連結(jié)∵∠DAC=90°-60°=30°，AC=60m∴在Rt△ADC中，有CD=AC×tan∠DAC=60×tan30°=m∵∠AED=∠EAC=∠C=90°∴四邊形ACDE是矩形?！逧D=AC=60m，EA=CD=m∴在Rt△中，有即從無(wú)人機(jī)上看目標(biāo)D俯角正切值為。2.（2016山東臨沂，22，7分）一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向，距離燈塔20海里的A處，它向東航行多少海里到達(dá)燈塔P南偏西45方向上的B處（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結(jié)果精確到0.1）？（第22題圖）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可得∠BPD=45°,∠APD=60°.AP=20.…1分在Rt△APD中，∠APD=60°，AD=APsin60°=20×=。PD=.…3分在Rt△BPD中，∠BPD=60°，BD=PD=10.…5分∴AB=AD=BD=-10≈7.3.答：它向東航行7.3海里一達(dá)燈塔P南偏本45°方向的B處.（2016四川巴中，30，10分）如圖，隨著我市鐵路建設(shè)進(jìn)程的加快，現(xiàn)規(guī)劃從A地到B地有一條筆直的鐵路通過(guò)，但在附近的C處有一大型油庫(kù)，現(xiàn)測(cè)得油庫(kù)C在A地的北偏東60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距離為250（+1）米．已知在以油庫(kù)C為中心，半徑為200米的范圍內(nèi)施工均會(huì)對(duì)油庫(kù)的安全造成影響．問(wèn)若在此路段修建鐵路，油庫(kù)C是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∴AD=CD/tan45°=CD，BD=CD/tan30°=CD，∵BD+AD=AB=250（+1）（米），即CD+CD=250（+1），∴CD=250，250米＞200米．答：在此路段修建鐵路，油庫(kù)C是不會(huì)受到影響．（2016浙江紹興，20，8分）如圖1，某社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量?jī)砂痘ハ嗥叫械囊欢魏拥膶挾?，在河的南岸邊點(diǎn)A處，測(cè)得河的北岸邊點(diǎn)B在其北偏東450方向，然后向西走60m到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)B在點(diǎn)C的北偏東60。方向，如圖2．(l)求∠CBA的度數(shù)．(2)求出這段河的寬（結(jié)果精確到1m，備用數(shù)據(jù)：QUOTE≈l41，QUOTE≈1.73）．21．（2016·山西，21，10分）太陽(yáng)能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點(diǎn)，已成為世界各國(guó)普遍關(guān)注和重點(diǎn)發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)，如圖是太陽(yáng)能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽(yáng)能電池板與支撐角鋼AB的長(zhǎng)度相同，均為300cm，AB的傾斜角為，BE=CA=50cm，支撐角鋼CD，EF與底座地基臺(tái)面接觸點(diǎn)分別為D，F(xiàn)，CD垂直于地面，于點(diǎn)E．兩個(gè)底座地基高度相同（即點(diǎn)D，F(xiàn)到地面的垂直距離相同），均為30cm，點(diǎn)A到地面的垂直距離為50cm，求支撐角鋼CD和EF的長(zhǎng)度各是多少cm（結(jié)果保留根號(hào)）

解答：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為G．…………（1分）則，在Rt中，．…………（2分）

由題意，得．…………（3分）

（cm）．…（4分）

連接FD并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H．…（5分）

由題意，得．在Rt中，

．……（6分）

．………（7分）

在Rt中，（cm）．……………（9分）

答：支撐角鋼CD的長(zhǎng)為45cm，EF的長(zhǎng)為cm．……（10分）

3.（2016山東德州，20，8分）2016年2月1日，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，用長(zhǎng)征三號(hào)丙運(yùn)載火箭成功將第5顆新一代北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入預(yù)定軌道.如圖，火箭從地面L處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于地面R處雷達(dá)站測(cè)得AR的距離是6km，仰角為42.4°；1秒后火箭到達(dá)B點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得仰角是45.5°.（1）求發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR；（2）求這枚火箭從A到B的平均速度是多少？（結(jié)果精確到0.01）解：（1）在Rt△ALR中，AR=6，∠ARL=42.4°,由得，LR=ARcos∠ARL=6×cos42.4°≈4.44.故發(fā)射臺(tái)與雷達(dá)站之間的距離LR為4.44km.（2）在Rt△BLR中，LR=4.44，∠BRL=45.5°,由得，BL=LRtan∠BRL=4.44×tan45.5°≈4.44×1.02=4.5288.又,∴AL=ARsin∠ARL=6×sin42.4≈4.02,∴AB=BL-AL=4.5288-4.02=0.5088≈0.51,∴這枚火箭從A到B的平均速度是0.51km/s.4.(2016四川樂(lè)山，22,10分）如圖11，禁止捕魚期間，某海上稽查隊(duì)在某海域巡邏，上午某一時(shí)刻在處接到指揮部通知，在他們東北方向距離海里的處有一艘捕魚船，正在沿南偏東方向以每小時(shí)海里的速度航行，稽查隊(duì)員立即乘坐巡邏船以每小時(shí)海里的速度沿北偏東某一方向出發(fā)，在處成功攔截捕魚船，求巡邏船從出發(fā)到成功攔截捕魚船所用的時(shí)間.解析：設(shè)巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為小時(shí).如圖1所示，由題得，…（1分），，過(guò)點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，，∴.∴.…（3分）在中，由勾股定理得：…………（7分）解此方程得（不合題意舍去）.答：巡邏船從出發(fā)到成功攔截所用時(shí)間為2小時(shí)…………（10分）5.6.（2016山東菏澤，17，6分）南沙群島是我國(guó)固有領(lǐng)土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè)，當(dāng)漁船航行至B處時(shí)，測(cè)得該島位于正北方向20（1+）海里的C處，為了防止某國(guó)還巡警干擾，就請(qǐng)求我A處的魚監(jiān)船前往C處護(hù)航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離．解：如圖，作AD⊥BC，垂足為D，由題意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°．設(shè)CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，可得BD=x，又∵BC=20（1+），CD+BD=BC，即x+x=20（1+），解得：x=20，∴AC=x=20（海里）．答：A、C之間的距離為20海里．7.（2016四川成都，17，8分）在學(xué)習(xí)完“利用三角函數(shù)測(cè)高”這節(jié)內(nèi)容之后，某興趣小組開展了測(cè)量學(xué)校旗桿高度的實(shí)踐活動(dòng)，如圖，在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，量出高度AB=1.5m，測(cè)得旗桿頂端D的仰角∠DBE=32°，量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部C的水平距離AC=20m，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，求旗桿CD的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）解：由題意得AC=20米，AB=1.5米，∵∠DBE=32°，∴DE=BEtan32°≈20×0.62=12.4米，∴CD=DE+CE=DE+AB=12.4+1.5≈13.9（米）．答：旗桿CD的高度約13.9米．8.(2016江西，21，8分）如圖1是一副創(chuàng)意卡通圓規(guī)，圖2是其平面示意圖，OA是支撐臂，OB是旋轉(zhuǎn)臂，使用時(shí)，以點(diǎn)A為支撐點(diǎn)，鉛筆芯端點(diǎn)B可以繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)作出圓.已知OA=OB=10cm.(1)當(dāng)∠AOB=18o時(shí)，求所作圓的半徑；（結(jié)果精確到0.01cm）(2)保持∠AOB=18o不變，在旋轉(zhuǎn)臂OB末端的鉛筆芯折斷了一截的情況下，作出的圓與(1)中所作圓的大小相等，求鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.01cm)(參考數(shù)據(jù)：sin9o≈0.1564,com9o≈0.9877o,sin18o≈0.3090,com18o≈0.9511,可使用科學(xué)計(jì)算器)圖1圖2【解析】(1)圖1，作OC⊥AB，∵OA=OB,OC⊥AB，∴AC=BC,∠AOC=∠BOC=∠AOB=9°,在Rt⊿AOC中，sin∠AOC=,∴AC≈0.1564×10=1.564,∴AB=2AC=3.128≈3.13.∴所作圓的半徑是3.13cm.圖1(2)圖2，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交OB于點(diǎn)C,作AD⊥BC于點(diǎn)D;∵AC=AB,AD⊥BC，∴BD=CD,∠BAD=∠CAD=∠BAC,∵∠AOB=18°,OA=OB,AB=AC,∴∠BAC=18°,∴∠BAD=9°,在Rt⊿BAD中，sin∠BAD=,∴BD≈0.1564×3.128≈0.4892,∴BC=2BD=0.9784≈0.98∴鉛筆芯折斷部分的長(zhǎng)度約為0.98cm.圖225．（2016江蘇連云港，25，10分）如圖，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=（1）求BC的長(zhǎng)； （2）利用此圖形求tan15°的值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：=1.4，=1.7，=2.2） 【解答】解：（1）過(guò)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，如圖1所示： 在Rt△ADC中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD=AC=2， CD=ACcos30°=4×=2， 在Rt△ABD中，tanB===， ∴BD=16， ∴BC=BD﹣CD=16﹣2； （2）在BC邊上取一點(diǎn)M，使得CM=AC，連接AM，如圖2所示： ∵∠ACB=150°， ∴∠AMC=∠MAC=15°， tan15°=tan∠AMD===≈≈0.27≈0.3．

22．（2016山東煙臺(tái)，22，9分）某中學(xué)廣場(chǎng)上有旗桿如圖1所示，在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量了旗桿的高度．如圖2，某一時(shí)刻，旗桿AB的影子一部分落在平臺(tái)上，另一部分落在斜坡上，測(cè)得落在平臺(tái)上的影長(zhǎng)BC為4米，落在斜坡上的影長(zhǎng)CD為3米，AB⊥BC，同一時(shí)刻，光線與水平面的夾角為72°，1米的豎立標(biāo)桿PQ在斜坡上的影長(zhǎng)QR為2米，求旗桿的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）【解答】解：如圖作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由題意=，即=，CM=，在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，∴tan72°=，∴AN≈12.3，∵M(jìn)N∥BC，AB∥CM，∴四邊形MNBC是平行四邊形，∴BN=CM=，∴AB=AN+BN=13.8米．9.（2016四川廣安，23，8分）如圖，某城市市民廣場(chǎng)一入口處有五級(jí)高度相等的小臺(tái)階，已知臺(tái)階總高1.5米，為了安全現(xiàn)要做一個(gè)不銹鋼扶手AB及兩根與FG垂直且長(zhǎng)為1米的不銹鋼架桿AD和BC（桿子的底端分別為D、C），且∠DAB＝66.5°．（參考數(shù)據(jù)：cos66.5°≈0.40，sin66.5°≈0.92）（1）求點(diǎn)D與點(diǎn)C的高度差DH；（2分）（2）求所有不銹鋼材料的總長(zhǎng)度（即AD＋AB＋BC的長(zhǎng)，結(jié)果精確到0.1米）．（6分）【答案】解：（1）DH＝1.5×eq\F(4,5)＝1.2米．…………2分（2）過(guò)B作BM⊥AH，垂足為M，在矩形BMHC中，HM＝BC＝1米AM＝DH＋AD－BC＝1.2米．…………4分在Rt△CDF中cosA＝eq\F(AM,AB)∴AB＝eq\F(AM,cosA)≈eq\F(1.2,0.40)＝3.00米…………7分總長(zhǎng)度＝AD＋AB＋BC＝1＋3.00＋1＝5.0米答：總長(zhǎng)度為5.0米…………8分10.（2016山東濟(jì)寧，18，7分）某地一人行天橋如圖所示，天橋高6