數(shù)學北師大版必修4學案1.3弧度制

§3弧度制學習目標重點難點1．理解弧度的意義，能正確進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)．2．掌握弧度制下的弧長公式和扇形的面積公式，并解決一些實際問題．3．了解角的集合與實數(shù)集建立了一一對應的關系，培養(yǎng)學生學會用函數(shù)的觀點分析、解決問題.重點：弧度的意義，能正確進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)．利用弧長公式和扇形的面積公式解決一些實際問題．難點：弧度的意義、弧長公式和扇形的面積公式的應用．疑點：弧度的理解、弧度與角度的換算.1．度量角的單位制(1)角度制規(guī)定周角的______為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫角度制．(2)弧度制在以單位長為半徑的圓中，單位長度的弧所對的圓心角稱為__________，它的單位符號是______，讀作______．這種以______作單位度量角的單位制，叫作弧度制．預習交流1角α＝3這種表達方式正確嗎？2．弧度數(shù)的計算預習交流2(1)扇形弧長為18cm，半徑為12(2)一條弦的長度等于圓半徑的，則這條弦的圓心角的弧度數(shù)是()．A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(1,2)D．以上都不對3．角度與弧度的互化預習交流3填空．(記住下面一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互化)度0°15°________60°75°90°____135°弧度________eq\f(π,6)eq\f(π,4)________eq\f(π,2)eq\f(2π,3)____度150°180°210°225°240°270°300°315°360°弧度____πeq\f(7π,6)____eq\f(4π,3)____eq\f(5π,3)eq\f(7π,4)2π4．扇形的弧長及面積公式設扇形的半徑為r，弧長為l，α為其圓心角，則預習交流4(1)在弧度制下的扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr可類比哪種圖形的面積公式加以記憶？(2)圓的半徑為6cm，則15°的圓心角與圓弧圍成的扇形的弧長為______cm，面積為______cm答案：1．(1)eq\f(1,360)(2)1弧度的角rad弧度弧度預習交流1：提示：正確．角α＝3表示3弧度的角，這里將“弧度”省略了．2．正數(shù)負數(shù)0預習交流2：(1)eq\f(3,2)(2)D預習交流3：30°45°120°0eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(5π,12)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)eq\f(5π,4)eq\f(3π,2)4.eq\f(|α|πr,180)|α|req\f(|α|πr2,360)eq\f(1,2)lreq\f(1,2)|α|r2預習交流4：(1)提示：此公式可類比三角形的面積公式來記憶．(2)eq\f(π,2)eq\f(3π,2)在預習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關注？請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點1．角度制與弧度制的互化(1)把112°30′化成弧度；(2)把－eq\f(5π,12)化成度；(3)將8化成度．思路分析：(1)先把112°30′化成度，再利用1°＝eq\f(π,180)rad進行換算；(2)直接利用1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°進行換算．把下列各角從度化成弧度或從弧度化成度．(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－eq\f(5π,2)；(7)eq\f(23π,4)；(8)－eq\f(4π,5).．(1)原則：牢記180°＝πrad，充分利用1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°進行換算．(2)方法：設一個角的弧度數(shù)為α，角度數(shù)為n，則αrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α·\f(180,π)))°；n°＝n·eq\f(π,180)rad.2．將角度制化為弧度制，當角度制中含有“分”“秒”單位時，應先將它們統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為“度”，再利用1°＝eq\f(π,180)rad化為弧度即可．以弧度為單位表示角時，常把弧度寫成多少π的形式．如無特殊要求，不必把π寫成小數(shù)．2．用弧度表示終邊相同的角及區(qū)域角已知角α＝2005°，(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在區(qū)間[－5π，0)上找出與α終邊相同的角．思路分析：(1)先將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，再根據(jù)β與α的終邊相同來判斷．(2)由－5π≤β＋2kπ＜0求出k的取值再代入．已知角α的終邊與eq\f(π,3)的終邊相同，求角eq\f(α,3)在[0,2π)內(nèi)的值．(1)用弧度表示終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，構(gòu)成的集合用弧度可表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，這里α應為弧度數(shù)．(2)在某個區(qū)間內(nèi)尋找與α終邊相同的角β①首先表示β的一般形式．②然后根據(jù)區(qū)間范圍討論k的值．③最后把k的值代入β的一般形式求出．(3)判斷角所在的象限對于含有π的弧度數(shù)表示的角，我們先將它化為2kπ＋α(k∈Z，α∈[0,2π))的形式，再根據(jù)α角終邊所在的位置進行判斷．對于不含有π的弧度數(shù)表示的角，取π＝3.14，化為k×6.28＋α，k∈Z，|α|∈[0,)的形式，通過比較α與eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)的大小估計出角所在的象限．用弧度表示頂點在原點，始邊重合于x軸的非負半軸，終邊落在圖中的陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界)．思路分析：先把角度化成弧度，然后分析邊界角的大小，寫出陰影區(qū)域的不等式關系，最后寫成集合的形式．用弧度表示頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合，如圖所示，包括邊界．解答此類題目的關鍵在于正確識圖，以動態(tài)的觀點分析陰影區(qū)域是由哪些角所圍成(其中不等關系的表示是分析此類題目的重要方式，應正確給出角的不等關系)，是否包含邊界．3．弧長公式及扇形面積公式的應用已知扇形的周長為30，當它的半徑R和圓心角α各取何值時，扇形的面積最大？并求出扇形面積的最大值．思路分析：根據(jù)S＝eq\f(1,2)lR建立扇形面積S與R之間的函數(shù)關系，利用二次函數(shù)求最大值．如圖所示，已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長為6，求：(1)的長；(2)弓形ACB的面積．(1)在弧度制下的弧長公式及扇形面積公式中，由α，R，l，S中的兩個量可以求出另外的兩個量，即用方程的思想“知二求二”．(2)求扇形的面積關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量．相反，也可由扇形的面積結(jié)合其他條件，求扇形的圓心角、半徑、弧長．解題時要注意公式的靈活變形及方程思想的運用．答案：活動與探究1：解：(1)112°30′×eq\f(π,180)＝eq\f(225,2)×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,8)；(2)－eq\f(5π,12)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°；(3)8≈8×57.30°＝458.40°.遷移與應用：解：(1)67°30′×eq\f(π,180)rad＝eq\f(3π,8)rad；(2)810°＝810×eq\f(π,180)rad＝eq\f(9π,2)rad；(3)108°＝108×eq\f(π,180)rad＝eq\f(3π,5)rad；(4)135°＝135×eq\f(π,180)rad＝eq\f(3π,4)rad；(5)7πrad＝7×180°＝1260°；(6)－eq\f(5π,2)rad＝－eq\f(5,2)×180°＝－450°；(7)eq\f(23π,4)rad＝eq\f(23,4)×180°＝1035°；(8)－eq\f(4π,5)rad＝－eq\f(4,5)×180°＝－144°.活動與探究2：解：(1)2005°＝2005×eq\f(π,180)＝eq\f(401π,36)＝5×2π＋eq\f(41,36)π.又π＜eq\f(41π,36)＜eq\f(3π,2)，所以α與eq\f(41π,36)終邊相同，是第三象限角．(2)與α角終邊相同的角為2kπ＋eq\f(41π,36)，k∈Z.由－5π≤2kπ＋eq\f(41π,36)＜0，可得－eq\f(5,2)－eq\f(41,72)≤k＜－eq\f(41,72).∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1.∴在區(qū)間[－5π，0)上，與角α終邊相同的角是－eq\f(31π,36)，－eq\f(103π,36)，－eq\f(175π,36).遷移與應用：解：∵角α的終邊與eq\f(π,3)的終邊相同，∴α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．∴eq\f(α,3)＝eq\f(2,3)kπ＋eq\f(π,9)(k∈Z)．又∵0≤eq\f(α,3)＜2π，∴0≤eq\f(2,3)kπ＋eq\f(π,9)＜2π(k∈Z)．當k＝0時，eq\f(α,3)＝eq\f(π,9)，在[0,2π)內(nèi)；當k＝1時，eq\f(α,3)＝eq\f(7π,9)，在[0,2π)內(nèi)；當k＝2時，eq\f(α,3)＝eq\f(13π,9)，在[0,2π)內(nèi)．∴在[0,2π)內(nèi)，角eq\f(α,3)的值有三個，即eq\f(π,9)，eq\f(7π,9)，eq\f(13π,9).活動與探究3：解：(1)圖①中以OB為終邊的角為330°，可看成是－30°，化為弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，∴{θ|2kπ－eq\f(π,6)＜θ＜2kπ＋eq\f(5π,12)，k∈Z}．(2)圖②中以OB為終邊的角為225°，可看成是－135°，化為弧度，即－eq\f(3π,4)，而135°＝135×eq\f(π,180)＝eq\f(3π,4)，∴{θ|2kπ－eq\f(3π,4)＜θ＜2kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z}．遷移與應用：解：(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)≤α≤2kπ＋\f(5π,4)，k∈Z)))).(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).(3)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).活動與探究4：解：設扇形的弧長為l，半徑為R，則l＋2R＝30.∴l(xiāng)＝30－2R.由0＜l＜2πR，得0＜30－2R＜2πR，∴eq\f(15,π＋1)＜R＜15.∴S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(30－2R)R＝－R2＋15R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(15,2)))2＋eq\f(225,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,π＋1)<R<15)).∴當R＝eq\f(15,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,π＋1)，15))時，S最大＝eq\f(225,4).此時l＝30－2R＝15，α＝eq\f(l,R)＝eq\f(15,\f(15,2))＝2.故當R＝eq\f(15,2)，α＝2rad時，扇形面積最大為eq\f(225,4).遷移與應用：解：(1)因為120°=，所以l=6×=4π，即的長為4π.(2)S扇形OAB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，取AB中點D，連接OD，則S△OAB＝eq\f(1,2)×AB×OD＝eq\f(1,2)×2×6cos30°×6sin30°＝9eq\r(3).所以S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9eq\r(3).所以弓形ACB的面積為12π－9eq\r(3).1．下列說法中，錯誤的是()．A．用角度制和弧度制度量任一角，單位不同，量數(shù)也不同B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑無關2．半徑為πcm，圓心角為120°的弧長為()．A.eq\f(π,3)cmB.eq\f(π2,3)cmC.eq\f(2π,3)cmD.eq\f(2π2,3)cm3．把－1485°寫成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式是()．A．－8π＋eq\f(π,4) B．－8π－eq\f(7π,4)C．－10π－eq\f(π,4) D．