高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗課件新人教版選修3

8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗課前·基礎(chǔ)認知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.通過實例,了解分類變量、2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義.2.通過實例,了解獨立性檢驗及其應(yīng)用.3.通過學(xué)習(xí),提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).知識概覽課前·基礎(chǔ)認知1.分類變量與列聯(lián)表(1)分類變量用來區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的隨機變量稱為

分類變量

.分類變量的取值可以用實數(shù)表示.

(2)列聯(lián)表按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計,并做成表格加以保存.我們將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為

2×2列聯(lián)表

.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).

注:運用古典概型和條件概率的思路,用2×2列聯(lián)表去研究所關(guān)心對象的全體.XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d2.獨立性檢驗(1)利用隨機變量χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為

χ2獨立性檢驗

,讀作“

卡方獨立性檢驗

”,簡稱獨立性檢驗.(2)獨立性檢驗公式

(3)基于小概率值α的檢驗規(guī)則當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認為X和Y不獨立,該推斷犯錯誤的概率不超過α;當(dāng)χ2<xα?xí)r,我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,可以認為X和Y獨立.(4)χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828微思考獨立性檢驗的基本思想與反證法的思想有何相似之處?提示:反證法假設(shè)檢驗要證明結(jié)論A要確認“兩個變量有關(guān)系”在A不成立的前提下進行推理假設(shè)該結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論“兩個變量沒有關(guān)系”成立,在該假設(shè)下計算χ2推出矛盾,意味著結(jié)論A成立由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2很大,則在一定可信程度上說明假設(shè)不合理沒有找到矛盾,不能對A下任何結(jié)論,即反證不成立根據(jù)隨機變量χ2的含義,可以通過χ2的大小來判斷“兩個變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立有多大把握微訓(xùn)練下面是一個2×2列聯(lián)表:則表中a,b處的值分別為(

)A.94,96 B.52,50

C.52,54

D.54,52答案:C解析:a=73-21=52,b=100-46=54.XY合計Y=0Y=1X=0a2173X=122527合計b46100(5)應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題大致應(yīng)包括以下幾個主要環(huán)節(jié):①提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.③根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.④在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.注意,上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進行調(diào)整.課堂·重難突破一

列聯(lián)表與等高堆積條形圖的應(yīng)用典例剖析1.為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否有關(guān)系,分別對病人組和對照組的尿液作尿棕色素定性檢查,結(jié)果如下:單位:人組別陽性、陰性數(shù)合計陽性數(shù)陰性數(shù)鉛中毒病人29736對照組92837合計383573試畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖,分析鉛中毒病人和對照組的尿棕色素陽性數(shù)有無差別,鉛中毒病人與尿棕色素為陽性是否存在差異?解:等高堆積條形圖如圖所示:其中兩個白色條的高度分別代表鉛中毒病人和對照組樣本中尿棕色素為陽性的概率.由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對照組相比,尿棕色素為陽性的頻率差異明顯,根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,知鉛中毒病人與尿棕色素為陽性存在差異.規(guī)律總結(jié)判斷兩個分類變量是否有差異的兩種常用方法(1)利用數(shù)形結(jié)合思想,借助等高堆積條形圖來判斷兩個分類變量是否存在差異.(2)一般地,在等高堆積條形圖中,相差越大,兩個分類變量存在差異的可能性就越大.學(xué)以致用1.網(wǎng)絡(luò)對現(xiàn)代人的生活影響較大,尤其是對青少年.為了解網(wǎng)絡(luò)對中學(xué)生學(xué)習(xí)成績的影響,某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)初中生中隨機抽取了1000人調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人,這200人中有80人期末考試不及格,而另外800人中有120人不及格.利用等高堆積條形圖判斷學(xué)生學(xué)習(xí)成績與經(jīng)常上網(wǎng)和不經(jīng)常上網(wǎng)是否有關(guān).解:根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表:單位:人得出等高堆積條形圖如圖所示:比較圖中陰影部分的高度可以發(fā)現(xiàn)經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率,根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理,可以認為學(xué)習(xí)成績與經(jīng)常上網(wǎng)和不經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān).二

獨立性檢驗典例剖析2.甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品,為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表:單位:件機床產(chǎn)品質(zhì)量合計一級品二級品甲機床15050200乙機床12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,分析甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量是否有差異.α0.050.010.001xα3.8416.63510.828(2)零假設(shè)為H0:甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量之間無差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.互動探究(變問法)依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,分析甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量是否有差異.解:零假設(shè)為H0:甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量之間無差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到所以根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認為H0成立,即甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量無差異.規(guī)律總結(jié)1.利用χ2進行獨立性檢驗的步驟(1)零假設(shè):即先假設(shè)兩變量沒有關(guān)系.(2)列表:列出2×2列聯(lián)表.(3)求值:求出χ2.(4)判斷:與臨界值比較,作出判斷.2.獨立性檢驗的必要性列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù),它只是總體的代表,它具有隨機性,因此只能利用列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和等高堆積條形圖粗略判斷兩個分類變量是否有關(guān)系.而χ2給出了不同樣本容量的數(shù)據(jù)的統(tǒng)一評判標(biāo)準.利用它能精確判斷兩個分類變量是否有關(guān)系.學(xué)以致用2.某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:單位:人學(xué)生是否喜歡甜品合計喜歡甜品不喜歡甜品南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù),根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,分析南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面是否有差異.解:零假設(shè)為H0:南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面無差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算,得根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.三

獨立性檢驗的綜合應(yīng)用典例剖析3.某生物疫苗研究所加緊對某種疫苗進行研究,將某一型號的疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:單位:只是否注射疫苗是否感染病毒合計未感染病毒感染病毒未注射疫苗20xm注射疫苗30yn合計5050100現(xiàn)從所有感染病毒的小白鼠中隨機抽取一只,抽到注射疫苗的小白鼠的概率為

.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表:單位:只是否注射疫苗是否感染病毒合計未感染病毒感染病毒未注射疫苗20

注射疫苗30

合計5050100(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,分析注射疫苗是否對預(yù)防該病毒有效.α0.10.050.01xα2.7063.8416.635解:(1)所有感染病毒的小白鼠共有50只,其中注射疫苗的有y只,所以P=,所以y=10,x=50-10=40,m=40+20=60,n=30+10=40,所以2×2列聯(lián)表為

單位:只是否注射疫苗是否感染病毒合計未感染病毒感染病毒未注射疫苗204060注射疫苗301040合計5050100(2)零假設(shè)為H0:注射疫苗對預(yù)防該病毒無效.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為注射疫苗對預(yù)防該病毒有效,此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.規(guī)律總結(jié)獨立性檢驗綜合應(yīng)用的方法策略(1)獨立性檢驗在實際中有著廣泛的應(yīng)用,是對實際生活中數(shù)據(jù)進行分析的一種方法,通過這種分析得出的結(jié)論對實際生活或者生產(chǎn)都有一定的指導(dǎo)作用.(2)近幾年高考中較少單獨考查獨立性檢驗,與統(tǒng)計、概率等知識綜合,頻率分布表、頻率分布直方圖與獨立性檢驗融合在一起是常見的考查形式,一般需要根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,從而解決問題.學(xué)以致用3.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班48人進行了問卷調(diào)查,得到2×2列聯(lián)表如下表所示:單位:人性別是否喜愛打籃球合計喜愛打籃球不喜愛打籃球男生

6

女生10

合計

48已知在全班48人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為

.(1)請將上面的2×2列聯(lián)表補充完整(不用寫計算過程);(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗分析喜愛打籃球與性別是否有關(guān),說明你的理由;(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進一步調(diào)查,設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X,求X的分布列與均值.解:(1)列聯(lián)表補充如下:

單位:人(2)零假設(shè)為H0:喜愛打籃球與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,推斷H0不成立,即認為喜愛打籃球與性別有關(guān),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.(3)喜愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2.其概率分別為隨堂訓(xùn)練1.(多選題)在研究肥胖與高血壓的關(guān)系時,通過收集、整理、分析數(shù)據(jù)得到“高血壓與肥胖有關(guān)”的結(jié)論,并且依據(jù)小概率值α=0.01的χ2獨立性檢驗,推斷這個結(jié)論是成立的,下列說法中錯誤的是(

)A.在100個肥胖的人中至少有99人患有高血壓B.肥胖的人至少有99%的概率患有高血壓C.在100個高血壓患者中一定有肥胖的人D.在100個高血壓患者中可能沒有肥胖的人答案:ABC2.通過對χ2的統(tǒng)計量的研究得到了若干個臨界值,當(dāng)χ2<2.706時,我們認為(

)A.X與Y有差異,犯錯誤的概率不超過0.05B.X與Y有差異,犯錯誤的概率不超過0.01C.依據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗,沒有充分理由認為X與Y有差異D.不能確定答案:C解析:χ2<2.706=x0.1,根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨立性檢驗沒有充分理由認為X與Y有差異.3.(多選題)下面是某地區(qū)男、女學(xué)生喜歡物理情況的等高堆積條形圖,陰影部分表示喜歡物理的百分比.下列說法錯誤的是(

)A.性別與喜歡物理無關(guān)B.女生喜歡物理的百分比為80%C.男生喜歡物理比女生喜歡物理的可能性大些D.男生不喜歡物理的百分比為60%答案:ABD解析:由題圖知女生中喜歡物理的