專題7 拋物線的綜合問題

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專題7拋物線綜合問題專題7宗遠(yuǎn)功長——拋物線綜合問題無結(jié)論，不圓錐，可以看出二級結(jié)論在圓錐中是多么重要，而拋物線正是這一觀點集中體現(xiàn)，接下來我們將從垂直和定值定點兩方面來說明二級結(jié)論的重要性．第一講 拋物線中的垂直問題拋物線中與垂直有關(guān)的有以下結(jié)論1．如果拋物線弦過拋物線的焦點，那么以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，設(shè)切點為則：(1)(2) 且有以下更進(jìn)一步的結(jié)論：設(shè)兩點在準(zhǔn)線上的射影分別為和，則以線段為直徑的圓與相切，切點為(3)△的面積的最小值為．此時垂直于軸(4)過點和點分別作拋物線的切線交于點，則，且在拋物線的準(zhǔn)線上，反之過準(zhǔn)線上任一點做拋物線的兩條切線，則兩切點的連線經(jīng)過焦點(這種情況下開口朝上的拋物線考試出現(xiàn)得更多)2．若，則弦必過定點【例1】（鼓樓模擬）過拋物線的焦點的直線與拋物線交于，兩點，且，直線與的準(zhǔn)線交于點，于，若△的面積等于，則（）A． B． C． D．【例2】（山西期中）已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，其準(zhǔn)線為，過的直線交拋物線于，兩點，作，，垂足分別為，．若，且的面積為，則拋物線的方程為（）A． B． C． D．【例3】（黃岡期中）已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點，若，則（）A． B． C． D．【例4】（貴陽二模）拋物線的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足．過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（）A． B． C． D．第二講定值定點問題過拋物線焦點弦的幾何性質(zhì)圖1-3-1圖1-3-2重要結(jié)論1．． 2．．3．． 4．設(shè)，則．5．設(shè)交準(zhǔn)線于點，則；．拋物線中其他定值定點結(jié)論:1．對于拋物線上兩點，經(jīng)過焦點，則，，，推廣到更一般的形式，若經(jīng)過點則，．2．若直線與拋物線交于、兩點，為拋物線上一點，且，則直線必過定點．特別地，當(dāng)點位于拋物線頂點時，直線必過定點．3．過定點的直線與拋物線交于，兩點，與直線交于點，若，，則．【例1】（長沙模擬）已知拋物線的焦點為，是拋物線上異于坐標(biāo)原點的任意一點，過點的直線交軸的正半軸于點，且，同在一個以為圓心的圓上，另有直線，且與拋物線相切于點，則直線經(jīng)過的定點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【例2】（湖北月考）已知為拋物線的焦點，點、在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，而且為坐標(biāo)原點），若與的面積分別為和．則最小值是（）A． B． C． D．【例3】（遂寧期末）設(shè)為拋物線的焦點，、、為該拋物線上不同的三點，且，為坐標(biāo)原點，若、、的面積分別為、、，則（）A． B． C． D．【例4】（湖南長沙高三模擬題）已知點、，．是平面上一動點，且滿足．⑴求點的軌跡的方程；⑵已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦、，且、的斜率、滿足．試推斷：動直線是否過定點，證明你的結(jié)論．【例5】（渝中區(qū)月考）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點，與圓相切于點，且為線段的中點，若這樣的直線恰有2條，則的取值范圍是（）A． B． C． D．本題用到了結(jié)論：是拋物線的一條弦，弦中點為，則【例6】如圖，已知點，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．⑴求動點的軌跡的方程；⑵過點的直線交軌跡于、兩點，交直線于點，且，，求的值．推廣到更一般的結(jié)論，就是本節(jié)最開始的結(jié)論三：過定點的直線與拋物線交于，兩點，與直線交于點，若，，則．【例7】（香坊區(qū)期中）已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線，兩點，直線，分別與拋物線交于，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A． B． C． D．【例8】過點作直線，與拋物線相交，其中與拋物線相交于，兩點，與拋物線相交于，兩點，過焦點，若，的斜率，滿足，求證：第三講拋物線的最值問題拋物線里的最值多與焦點準(zhǔn)線相關(guān)，還經(jīng)常用到數(shù)形結(jié)合和函數(shù)的值域求法，一般都要代數(shù)和幾何相結(jié)合，用的方法較綜合而全面．【例1】（漢中二模）直線過拋物線的焦點且與拋物線交于，兩點，若線段，的長分別為，則的最小值是（）A． B． C． D．【例2】（重慶期末）設(shè)為坐標(biāo)原點，是以為焦點的拋物線上任意一點．是線段上的點，．則直線的斜率的最大值為（）A． B． C． D．【例3】（三明期末）已知拋物線的焦點為，過的直線與拋物線交于，，點在線段上，點在的延長線上，且．則面積的最小值為（）A． B． C． D．第四講與拋物線中點弦有關(guān)的性質(zhì)

【例1】（蘇錫常鎮(zhèn)二模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,過點且斜率大于0的直線交拋物線于兩點,過線段的中點且與軸平行的直線依次交直線于點.判斷線段與長度的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.此模型的結(jié)論還有很多:（1）過點作平行的直線,與拋物線交于兩點,則此時有過點作平行的直線,則此直線為拋物線在點處的切線;均為拋物線的切線,過直線上(拋物線外部)任意一點作拋物線的切線,

切點弦的中點均在上,且互相平行.【例2】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線,直線與拋物線交于兩點,過分別作拋物線的切線,兩切線的交點在直線上.若，求點的坐標(biāo).事實上作軸，由切點弦的性質(zhì)知平分，我們先來證明這一結(jié)論：關(guān)于拋物線中點弦的軌跡也是高考?？碱}（2016全國三卷考過大題，見本書習(xí)題部分）現(xiàn)在也和大家介紹一下：設(shè)拋物線有一條過點的弦與拋物線交于兩點，求中點的軌跡方程.解：設(shè),則①且,化簡整理有并且當(dāng)時,也滿足上述方程，故