2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修4示范教案：第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（第二課時）Word版含解析

第三章第一節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第二課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計))教學(xué)分析1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的．在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對照、推得公式C(α＋β)，又如比較sin(α－β)與cos(α－β)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．2．通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解．因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義．3．本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶．本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對問題時，要注意先認(rèn)真分析條件，明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等．另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的．三維目標(biāo)1．在學(xué)習(xí)兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并通過強化題目的訓(xùn)練，加深對公式的理解，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力．2．通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用，會進(jìn)行簡單的求值、化簡、恒等證明，使學(xué)生深刻體會聯(lián)系變化的觀點，自覺地利用聯(lián)系變化的觀點來分析問題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握尋找數(shù)學(xué)規(guī)律的方法，提高學(xué)生的觀察分析能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．重點難點教學(xué)重點：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)．教學(xué)難點：靈活運用所學(xué)公式進(jìn)行求值、化簡、證明．課時安排2課時eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))第1課時導(dǎo)入新課思路1.(舊知導(dǎo)入)教師先讓學(xué)生回顧上節(jié)課所推導(dǎo)的兩角差的余弦公式，并把公式默寫在黑板上或打出幻燈片，注意有意識地讓學(xué)生寫整齊．然后教師引導(dǎo)學(xué)生觀察cos(α－β)與cos(α＋β)、sin(α－β)的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行由舊知推出新知的轉(zhuǎn)化過程，從而推導(dǎo)出C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)．本節(jié)課我們共同研究公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用．思路2.(問題導(dǎo)入)教師出示問題，先讓學(xué)生計算以下幾個題目，既可以復(fù)習(xí)回顧上節(jié)所學(xué)公式，又為本節(jié)新課作準(zhǔn)備．若sinα＝eq\f(\r(5),5)，α∈(0，eq\f(π,2))，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，β∈(0，eq\f(π,2))，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．學(xué)生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，但是如果求cos(α＋β)的值就得想法轉(zhuǎn)化為公式C(α－β)的形式來求，此時思路受阻，從而引出新課題，并由此展開聯(lián)想探究其他公式．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題))①還記得兩角差的余弦公式嗎？請一位同學(xué)到黑板上默寫出來．②在公式C(α－β)中，角β是任意角，請學(xué)生思考角α－β中β?lián)Q成角－β是否可以？此時觀察角α＋β與α－(－β)之間的聯(lián)系，如何利用公式C(α－β)來推導(dǎo)cos(α＋β)＝？③分析觀察C(α＋β)的結(jié)構(gòu)有何特征？④在公式C(α－β)、C(α＋β)的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(α＋β)＝？sin(α－β)＝？⑤公式S(α－β)、S(α＋β)的結(jié)構(gòu)特征如何？⑥對比分析公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)，能否推導(dǎo)出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？⑦分析觀察公式T(α－β)、T(α＋β)的結(jié)構(gòu)特征如何？⑧思考如何靈活運用公式解題？活動：對問題①，學(xué)生默寫完后，教師打出課件，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察兩角差的余弦公式，點撥學(xué)生思考公式中的α，β既然可以是任意角，是怎樣任意的？你會有些什么樣的奇妙想法呢？鼓勵學(xué)生大膽猜想，引導(dǎo)學(xué)生比較cos(α－β)與cos(α＋β)中角的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生有的會發(fā)現(xiàn)α－β中的角β可以變?yōu)榻牵?，所以α?－β)＝α＋β〔也有的會根據(jù)加減運算關(guān)系直接把和角α＋β化成差角α－(－β)的形式〕．這時教師適時引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)移到公式C(α－β)上來，這樣就很自然地得到cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.所以有如下公式：eq\x(cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ)我們稱以上等式為兩角和的余弦公式，記作C(α＋β)．對問題②，教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(α＋β)的結(jié)構(gòu)特征，可知“兩角和的余弦，等于這兩角的余弦積減去這兩角的正弦積”，同時讓學(xué)生對比公式C(α－β)進(jìn)行記憶，并填空：cos75°＝cos(__________)＝__________＝__________.對問題③，上面學(xué)生推得了兩角和與差的余弦公式，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式(5)(6)來化余弦為正弦(也有的想到利用同角的平方和關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1來互化，此法讓學(xué)生課下進(jìn)行)，因此有sin(α＋β)＝cos[eq\f(π,2)－(α＋β)]＝cos[(eq\f(π,2)－α)－β]＝cos(eq\f(π,2)－α)cosβ＋sin(eq\f(π,2)－α)sinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.在上述公式中，β用－β代之，則sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.因此我們得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為S(α＋β)、S(α－β)．sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ.對問題④⑤，教師恰時恰點地引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征并結(jié)合推導(dǎo)過程進(jìn)行記憶，同時進(jìn)一步體會本節(jié)公式的探究過程及公式變化特點，體驗三角公式的這種簡潔美、對稱美．為強化記憶，教師可讓學(xué)生填空，如sin(θ＋φ)＝____________________，sineq\f(2π,7)coseq\f(5π,7)＋coseq\f(2π,7)sineq\f(5π,7)＝__________.對問題⑥，教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后，自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導(dǎo)出tan(α－β)＝？，tan(α＋β)＝？呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到．在學(xué)生探究推導(dǎo)時很可能想不到討論，這時教師不要直接提醒，讓學(xué)生自己悟出來．當(dāng)cos(α＋β)≠0時，tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0時，分子、分母同除以cosαcosβ得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，據(jù)角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，則有tan(α－β)＝eq\f(tanα＋tan－β,1－tanαtan－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(α－β)、T(α＋β)．tanα＋β＝，tanα－β＝.對問題⑥，讓學(xué)生自己聯(lián)想思考，兩角和與差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的嗎？學(xué)生回顧自己的公式探究過程可知，α、β、α±β都不能等于eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，并引導(dǎo)學(xué)生分析公式結(jié)構(gòu)特征，加深公式記憶．T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由學(xué)生歸納總結(jié)以上六個公式的推導(dǎo)過程，從而得出以下邏輯聯(lián)系圖．可讓學(xué)生自己畫出這六個框圖．通過邏輯聯(lián)系圖，深刻理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，借以理解并靈活運用這些公式．同時教師應(yīng)提醒學(xué)生注意：不僅要掌握這些公式的正用，還要注意它們的逆用及變形用．如兩角和與差的正切公式的變形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化簡求值中就經(jīng)常應(yīng)用到，使解題過程大大簡化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美．對于兩角和與差的正切公式，當(dāng)tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在時，不能使用T(α±β)處理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡tan(eq\f(π,2)－β)，因為taneq\f(π,2)的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式tan(eq\f(π,2)－β)＝eq\f(sin\f(π,2)－β,cos\f(π,2)－β)＝eq\f(cosβ,sinβ)來處理等．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例))思路1例1已知sinα＝－eq\f(3,5)，α是第四象限角，求sin(eq\f(π,4)－α)，cos(eq\f(π,4)＋α)，tan(eq\f(π,4)－α)的值．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，在面對問題時要注意認(rèn)真分析條件，明確要求．再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要有什么準(zhǔn)備，準(zhǔn)備工作怎么進(jìn)行等．例如本題中，要先求出cosα，tanα的值，才能利用公式得解，本題是直接應(yīng)用公式解題，目的是為了讓學(xué)生初步熟悉公式的應(yīng)用，教師可以完全讓學(xué)生自己獨立完成．解：由sinα＝－eq\f(3,5)，α是第四象限角，得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f(4,5).∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).于是有sin(eq\f(π,4)－α)＝sineq\f(π,4)cosα－coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(3,5))＝eq\f(7\r(2),10)，cos(eq\f(π,4)＋α)＝coseq\f(π,4)cosα－sineq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)－eq\f(\r(2),2)×(－eq\f(3,5))＝eq\f(7\r(2),10)，tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(－\f(3,4)－1,1＋－\f(3,4))＝－7.點評：本例是運用和差角公式的基礎(chǔ)題，安排這個例題的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣．變式訓(xùn)練1．不查表求cos75°，tan105°的值．解：cos75°＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，tan105°＝tan(60°＋45°)＝eq\f(tan60°＋tan45°,1－tan60°tan45°)＝eq\f(\r(3)＋1,1－\r(3))＝－(2＋eq\r(3))．2．設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，若sinα＝eq\f(3,5)，則eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))等于()A.eq\f(7,5)B.eq\f(1,5)C.eq\f(7,2)D．4答案：A例2已知sinα＝eq\f(2,3)，α∈(eq\f(π,2)，π)，cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈(π，eq\f(3π,2))．求sin(α－β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)．活動：教師可先讓學(xué)生自己探究解決，對探究困難的學(xué)生教師給以適當(dāng)?shù)狞c撥，指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中已知條件和所求值的內(nèi)在聯(lián)系．根據(jù)公式S(α－β)、C(α＋β)、T(α＋β)應(yīng)先求出cosα、sinβ、tanα、tanβ的值，然后利用公式求值，但要注意解題中三角函數(shù)值的符號．解：由sinα＝eq\f(2,3)，α∈(eq\f(π,2)，π)，得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(2,3)2)＝－eq\f(\r(5),3)，∴tanα＝－eq\f(2\r(5),5).又由cosβ＝－eq\f(3,4)，β∈(π，eq\f(3π,2))，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r(1－－\f(3,4)2)＝－eq\f(\r(7),4)，∴tanβ＝eq\f(\r(7),3).∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(2,3)×(－eq\f(3,4))－(－eq\f(\r(5),3))×(－eq\f(\r(7),4))＝eq\f(－6－\r(35),12).∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－eq\f(\r(5),3))×(－eq\f(3,4))－eq\f(2,3)×(－eq\f(\r(7),4))＝eq\f(3\r(5)＋2\r(7),12).∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－\f(2\r(5),5)＋\f(\r(7),3),1－－\f(2\r(5),5)×\f(\r(7),3))＝eq\f(－6\r(5)＋5\r(7),15＋2\r(35))＝eq\f(－32\r(5)＋27\r(7),17).點評：本題仍是直接利用公式計算求值的基礎(chǔ)題，其目的還是讓學(xué)生熟練掌握公式的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生的運算能力.變式訓(xùn)練引導(dǎo)學(xué)生看章頭圖，利用本節(jié)所學(xué)公式解答課本章頭題，加強學(xué)生的應(yīng)用意識．解：設(shè)電視發(fā)射塔高CD＝x米，∠CAB＝α，則sinα＝eq\f(30,67)，在Rt△ABD中，tan(45°＋α)＝eq\f(x＋30,30)tanα.于是x＝eq\f(30tan45°＋α,tanα)－30，又∵sinα＝eq\f(30,67)，α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα≈eq\f(60,67)，tanα≈eq\f(1,2).tan(45°＋α)＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)≈eq\f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3，∴x＝eq\f(30×3,\f(1,2))－30＝150(米)．答：這座電視發(fā)射塔的高度約為150米.例3在△ABC中，sinA＝eq\f(3,5)(0°<A<45°)，cosB＝eq\f(5,13)(45°<B<90°)，求sinC與cosC的值．活動：本題是解三角形問題，在必修5中還作專門的探究，這里用到的僅是與三角函數(shù)誘導(dǎo)公式與和差公式有關(guān)的問題，難度不大，但應(yīng)是學(xué)生必須熟練掌握的．同時也能加強學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教師可讓學(xué)生自己閱讀、探究、討論解決，對有困難的學(xué)生教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意和找清三角形各角之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出解決問題的路子．教師要提醒學(xué)生注意角的范圍這一隱含條件．解：∵在△ABC中，A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－(A＋B)．又∵sinA＝eq\f(3,5)且0°<A<45°，∴cosA＝eq\f(4,5).又∵cosB＝eq\f(5,13)且45°<B<90°，∴sinB＝eq\f(12,13).∴sinC＝sin[180°－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65)，cosC＝cos[180°－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝eq\f(3,5)×eq\f(12,13)－eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(16,65).點評：本題是利用兩角和差公式，來解決三角形問題的典型例子，培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識，也使學(xué)生更加認(rèn)識了公式的作用，解決三角形問題時，要注意三角形內(nèi)角和等于180°這一隱含條件.變式訓(xùn)練在△ABC中，已知sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1，則△ABC是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．等腰非直角三角形答案：C思路2例1若sin(eq\f(3π,4)＋α)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(π,4)－β)＝eq\f(3,5)，且0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，求cos(α＋β)的值．活動：本題是一個典型的變角問題，也是一道經(jīng)典例題，對訓(xùn)練學(xué)生的運算能力以及邏輯思維能力很有價值．盡管學(xué)生思考時有點難度，但教師仍可放手讓學(xué)生探究討論，教師不可直接給出解答．對于探究不出的學(xué)生，教師可恰當(dāng)點撥引導(dǎo)，指導(dǎo)學(xué)生解決問題的關(guān)鍵是尋找所求角與已知角的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生理清所求的角與已知角的關(guān)系，觀察選擇應(yīng)該選用哪個公式進(jìn)行求解，同時也要特別提醒學(xué)生注意：在求有關(guān)角的三角函數(shù)值時，要特別注意確定準(zhǔn)角的范圍，準(zhǔn)確判斷好三角函數(shù)符號，這是解決這類問題的關(guān)鍵．學(xué)生完全理清思路后，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生的規(guī)范書寫，并熟練掌握它．對于程度比較好的學(xué)生可讓其擴(kuò)展本題，或變化條件，或變換所求的結(jié)論等．如教師可變換α，β角的范圍，進(jìn)行一題多變訓(xùn)練，提高學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力，因此教師要充分利用好這個例題的訓(xùn)練價值．解：∵0<α<eq\f(π,4)<β<eq\f(3π,4)，∴eq\f(3π,4)<eq\f(3π,4)＋α<π，－eq\f(π,2)<eq\f(π,4)－β<0.又sin(eq\f(3π,4)＋α)＝eq\f(5,13)，cos(eq\f(π,4)－β)＝eq\f(3,5)，∴cos(eq\f(3π,4)＋α)＝－eq\f(12,13)，sin(eq\f(π,4)－β)＝－eq\f(4,5).∴cos(α＋β)＝sin[eq\f(π,2)＋(α＋β)]＝sin[(eq\f(3π,4)＋α)－(eq\f(π,4)－β)]＝sin(eq\f(3π,4)＋α)cos(eq\f(π,4)－β)－cos(eq\f(3π,4)＋α)sin(eq\f(π,4)－β)＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)－(－eq\f(12,13))×(－eq\f(4,5))＝－eq\f(33,65).本題是典型的變角問題，即把所求角利用已知角來表示，實際上就是化歸思想．這需要巧妙地引導(dǎo)，充分讓學(xué)生自己動手進(jìn)行角的變換，培養(yǎng)學(xué)生靈活運用公式的能力.變式訓(xùn)練已知α，β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13).求cos(α＋eq\f(π,4))的值．解：∵α，β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(12,13)，∴eq\f(3π,2)<α＋β<2π，eq\f(π,2)<β－eq\f(π,4)<eq\f(3π,4).∴cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，cos(β－eq\f(π,4))＝－eq\f(5,13).∴cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)－(β－eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)cos(β－eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β－eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)×(－eq\f(5,13))＋(－eq\f(3,5))×eq\f(12,13)＝－eq\f(56,65).例2化簡eq\f(sinα－β,sinαsinβ)＋eq\f(sinβ－θ,sinβsinθ)＋eq\f(sinθ－α,sinθsinα).活動：本題是直接利用公式把兩角的和、差化為兩單角的三角函數(shù)的形式，教師可以先讓學(xué)生自己獨立地探究，然后進(jìn)行講評．解：原式＝eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,sinαsinβ)＋eq\f(sinβcosθ－cosβsinθ,sinβsinθ)＋eq\f(sinθcosα－cosθsinα,sinθsinα)＝eq\f(sinαcosβsinθ－cosαsinβsinθ,sinαsinβsinθ)＋eq\f(sinαsinβcosθ－sinαcosβsinθ,sinαsinβsinθ)＋eq\f(sinθsinβcosα－cosθsinβsinα,sinθsinβsinα)＝eq\f(0,sinθsinβsinα)＝0.點評：本題是一個很好的運用公式進(jìn)行化簡的例子，通過學(xué)生獨立解答，培養(yǎng)學(xué)生熟練運用公式的運算能力.變式訓(xùn)練化簡eq\f(sinα＋β－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosα＋β).解：原式＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ－2sinαcosβ,2sinαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ)＝eq\f(cosαsinβ－sinαcosβ,sinαsinβ＋cosαcosβ)＝eq\f(sinβ－α,cosβ－α)＝tan(β－α).eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))課本本節(jié)練習(xí)1～4.1．(1)eq\f(\r(6)－\r(2),4)，(2)eq\f(\r(6)－\r(2),4)，(3)eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，(4)2－eq\r(3).2.eq\f(4－3\r(3),10).3.eq\f(12－5\r(3),26).4．－2.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))已知0<β<eq\f(π,4)，eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，cos(eq\f(π,4)－α)＝eq\f(3,5)，sin(eq\f(3π,4)＋β)＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．解：∵eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴－eq\f(π,2