積分變換第1講名師優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

積分變換第1頁(yè)1傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)展開(kāi)第2頁(yè)2在工程計(jì)算中,不論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時(shí)間而變周期函數(shù)fT(t)打交道.比如:含有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時(shí)間振動(dòng)次數(shù),單位時(shí)間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).t第3頁(yè)3最慣用一個(gè)周期函數(shù)是三角函數(shù)

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2p/T而Asin(wt+j)又能夠看作是兩個(gè)周期函數(shù)sinwt和coswt線性組合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt第4頁(yè)4人們發(fā)覺(jué),全部工程中使用周期函數(shù)都能夠用一系列三角函數(shù)線性組合來(lái)迫近.方波4個(gè)正弦波迫近100個(gè)正弦波迫近第5頁(yè)5研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中一個(gè)周期內(nèi)情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)改變情況.并非理論上全部周期函數(shù)都能夠用傅里葉級(jí)數(shù)迫近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上1,連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)2,只有有限個(gè)極值點(diǎn)這兩個(gè)條件實(shí)際上就是要確保函數(shù)是可積函數(shù).第6頁(yè)6第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)區(qū)分:第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第7頁(yè)7不滿足狄氏條件例:而在工程上所應(yīng)用函數(shù),尤其是物理量改變函數(shù),全部滿足狄氏條件.實(shí)際上不連續(xù)函數(shù)都是嚴(yán)格上講不存在,但經(jīng)慣用不連續(xù)函數(shù)來(lái)近似一些函數(shù),使得思維簡(jiǎn)單一些.0)1sin()(tg)(點(diǎn)處存在著無(wú)限多個(gè)極值在靠近存在第二類間斷點(diǎn)ttfttf==第8頁(yè)8在區(qū)間[-T/2,T/2]上滿足狄氏條件函數(shù)全體也組成一個(gè)集合,這個(gè)集合在通常函數(shù)加法和數(shù)乘運(yùn)算上也組成一個(gè)線性空間V,此空間向量就是函數(shù),線性空間一切理論在此空間上依然成立.更深入地也能夠在此線性空間V上定義內(nèi)積運(yùn)算,這么就能夠建立元素(即函數(shù))長(zhǎng)度(范數(shù)),及函數(shù)間角度,及正交概念.兩個(gè)函數(shù)f和g內(nèi)積定義為:第9頁(yè)9一個(gè)函數(shù)f(t)長(zhǎng)度為第10頁(yè)10而在區(qū)間[-T/2,T/2]上三角函數(shù)系

1,coswt,sinwt,cos2wt,sin2wt,...,

cosnwt,sinnwt,...

是兩兩正交,其中w=2p/T,這是因?yàn)?/p>

cosnwt和sinnwt都能夠看作是復(fù)指數(shù)函數(shù)ejnwt線性組合.當(dāng)n

m時(shí),第11頁(yè)11這是因?yàn)榈?2頁(yè)12由此不難驗(yàn)證第13頁(yè)13而1,coswt,sinwt,...,cosnwt,sinnwt,...函數(shù)長(zhǎng)度計(jì)算以下:第14頁(yè)14所以,任何滿足狄氏條件周期函數(shù)fT(t),可表示為三角級(jí)數(shù)形式以下:第15頁(yè)15為求an,計(jì)算[fT(t),cosnwt],即第16頁(yè)16同理,為求bn,計(jì)算[fT(t),sinnwt],即第17頁(yè)17最終可得:第18頁(yè)18而利用三角函數(shù)指數(shù)形式可將級(jí)數(shù)表示為:第19頁(yè)19如令wn=nw(n=0,1,2,...)第20頁(yè)20給定fT(t),cn計(jì)算以下:第21頁(yè)21第22頁(yè)22例定義方波函數(shù)為如圖所表示:1-1otf(t)1第23頁(yè)23現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)一周期為T(mén)周期函數(shù)fT(t),令T=4,則1-13T=4f4(t)t第24頁(yè)24則第25頁(yè)25sinc函數(shù)介紹第26頁(yè)26sinc函數(shù)圖形:sinc(x)x第27頁(yè)27前面計(jì)算出w第28頁(yè)28現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)一周期為8周期函數(shù)f8(t)1-17T=8f8(t)t第29頁(yè)29則第30頁(yè)30則在T=8時(shí),w第31頁(yè)31假如再將周期增加一倍,令T=16,可計(jì)算出w第32頁(yè)32普通地,對(duì)于周期T第33頁(yè)33當(dāng)周期T越來(lái)越大時(shí),各個(gè)頻率正弦波頻率間隔越來(lái)越小,而它們強(qiáng)度在各個(gè)頻率輪廓?jiǎng)t總是sinc函數(shù)形狀,所以,假如將方波函數(shù)f(t)看作是周期無(wú)窮大周期函數(shù),則它也能夠看作是由無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小正弦波組成,將那個(gè)頻率上輪廓即sinc函數(shù)形狀看作是f(t)各個(gè)頻率成份上分布,稱作f(t)傅里葉變換.第34頁(yè)34對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都能夠看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái).

作周期為T(mén)函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f(t)相等范圍也越大,這就說(shuō)明當(dāng)T時(shí),周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有第35頁(yè)35Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t)第36頁(yè)36第37頁(yè)37如圖{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w第38頁(yè)38第39頁(yè)39此公式稱為函數(shù)f(t)傅里葉積分公式,簡(jiǎn)稱傅氏積分公式,第40頁(yè)40傅氏積分定理若f(t)在(-,+)上滿足條件:1,