專題23一元一次方程中的新定義問題（含解析）

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專題23一元一次方程中的新定義問題

1．對(duì)于兩個(gè)非零實(shí)數(shù)、，規(guī)定，若，則的值為（）

A．B．C．D．

2．規(guī)定：能使等式成立的一對(duì)數(shù)（m，n）為“友好數(shù)對(duì)”．例如當(dāng)m=2，n=-8時(shí)能使等式成立，則（2，-8）是“友好數(shù)對(duì)”．若（a，5）是“友好數(shù)對(duì)”，則a的值為（）

A．B．-C．D．-

3．設(shè)，為實(shí)數(shù)，定義如下一種新運(yùn)算：，若關(guān)于的方程無解，則的值是（）

A．4B．－3C．4或－3D．4或3

4．新定義一種運(yùn)算“☆”，規(guī)定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，則x的值為．

5．“”表示一種運(yùn)算符號(hào)，其定義是．例如．如果，那么．

6．已知a和b兩個(gè)有理數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算“*”為：a*b＝（其中a+b≠0），若m*＝﹣，則m＝．

7．用“※”定義一種新運(yùn)算：規(guī)定，如：．

（1）求的值；

（2）若，求x的值．

8．若規(guī)定這樣一種新運(yùn)算法則：a*b＝a2﹣2ab．如3*（﹣2）＝3*﹣2×3×（﹣2）＝21．

（1）求5*（﹣3）的值；

（2）若（﹣4）*x＝﹣6﹣2x，求x的值．

9．用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)和，規(guī)定．例如：．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

10．規(guī)定一種運(yùn)算“※”，其運(yùn)算規(guī)則是：a※b＝ab＋（a－b）

(1)計(jì)算3※2的值；

(2)若3※x＝13，求x的值．

11．用“☆”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16

(1)（﹣2）☆3＝；

(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；

(3)“作差法”是常見的比較代數(shù)式大小的一種方法，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差M﹣N，若M﹣N＞0，則M＞N；若M﹣N＝0，則M＝N；若M﹣N＜0，則M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x為有理數(shù)），試比較m，n的大?。?/p>

12．定義：若關(guān)于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解與關(guān)于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解滿足|x﹣y|＝m（m為正數(shù)），則稱方程ax+b＝0（a≠0）與方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．

(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷關(guān)于x的方程2x＝5x﹣12與關(guān)于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；

(2)若關(guān)于x的方程x﹣＝n﹣1與關(guān)于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；

(3)若關(guān)于x的方程sx+t＝h（s≠0），與關(guān)于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，試用含m的式子表示k．

13．若關(guān)于的方程（a≠0）的解與關(guān)于y的方程（c≠0）的解滿足，則稱方程（a≠0）與方程（c≠0）是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因?yàn)?，方程與方程是“美好方程”．

(1)請(qǐng)判斷方程與方程是不是“美好方程”，并說明理由；

(2)若關(guān)于的方程與關(guān)于y的方程是“美好方程”，請(qǐng)求出k的值；

(3)若無論取任何有理數(shù)，關(guān)于x的方程（為常數(shù)）與關(guān)于y的方程都是“美好方程”，求的值．

14．小兵喜歡研究數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)一元一次方程后，他給出一個(gè)新定義：若是關(guān)于的一元一次方程的解，是關(guān)于的方程的所有解的其中一個(gè)解，且滿足，則稱關(guān)于的方程為關(guān)于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，當(dāng)時(shí)，，所以為一元一次方程的“友好方程”

（1）已知關(guān)于的方程：①，②，哪個(gè)方程是一元一次方程的“友好方程”？請(qǐng)直接寫出正確的序號(hào)是_________．

（2）若關(guān)于的方程是關(guān)于的一元一次方程的“友好方程”，請(qǐng)求出的值．

（3）如關(guān)于的方程是關(guān)于的一元一次方程的“友好方程”，請(qǐng)直接寫出的值．

15．定義：若整數(shù)的值使關(guān)于的方程的解為整數(shù)，則稱為此方程的“友好系數(shù)”．

(1)判斷，是否為方程的“友好系數(shù)”，寫出判斷過程；

(2)方程“友好系數(shù)”的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，還是無窮多？如果是有限個(gè)，求出此方程的所有“友好系數(shù)“；如果是無窮多，說明理由．

16．我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程為“奇異方程”．例如：的解為，則該方程是“奇異方程”．請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

(1)判斷方程______（回答“是”或“不是”）“奇異方程”；

(2)若，有符合要求的“奇異方程”嗎？若有，求b的值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

(3)若關(guān)于x的一元一次方程和都是“奇異方程”，求代數(shù)式的值．

17．我們規(guī)定：若關(guān)于的一元一次方程的解滿足，則稱該方程為“差解方程”，例如：的解為滿足，所以方程是“差解方程”．

請(qǐng)根據(jù)上邊規(guī)定解答下列問題：

(1)判斷是否是“差解方程”，說明理由；

(2)若關(guān)于的一元一次方程是“差解方程”，求的值．

參考答案：

1．D

【分析】根據(jù)題中的新定義化簡已知方程，求出解即可．

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：，

去分母得：2-2x-1＝4x+2，

解得：x＝，

經(jīng)檢驗(yàn)x＝是分式方程的解，

則x的值為，

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的運(yùn)算法則列出方程．

2．B

【分析】把代入可得，再解出方程，即可求解．

【詳解】解：根據(jù)題意得：

，即，

去分母得：，

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，

解得：．

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．

3．D

【分析】利用新定義的運(yùn)算性質(zhì)將原方程轉(zhuǎn)化為分式方程，利用解分式方程的一般步驟求得分式方程的解，依據(jù)題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可求得結(jié)論．

【詳解】解：∵，

∴，，

∴原方程為：，

去分母得：

ax=12+3x-9，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：

（a-3）x=3，

解得：，

∵關(guān)于x的方程無解，

∴原方程有增根3或a-3=0，

∴或a-3=0，

解得：解得：a=4或a=3，

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程和分式方程的解，本題是新定義型，理解新定義中的運(yùn)算性質(zhì)并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

4．2

【分析】根據(jù)題意，可得：2x+2﹣x＝2x+x﹣2，據(jù)此求出x的值為多少即可．

【詳解】解：∵a☆b＝ab+a﹣b，2☆x＝x☆2，

∴2x+2﹣x＝2x+x﹣2，

整理，可得：2x＝4，

解得x＝2．

故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了新定義下的運(yùn)算，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．

5．

【分析】根據(jù)題意定義的運(yùn)算，代入解方程即可．

【詳解】解：∵，

∴，

即：，

解得：，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題意，列出一元一次方程是解本題的關(guān)鍵．

6．

【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計(jì)算即可求出m的值．

【詳解】解：已知等式利用題中的新定義化簡得：，即

整理得：3（2m+3）＝﹣5（2m﹣3），

去括號(hào)得：6m+9＝﹣10m+15，

移項(xiàng)合并得：16m＝6，

解得：，

檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，，

∴是分式方程的解，

則．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵，還要注意要驗(yàn)根．

7．（1）-52；（2）．

【分析】（1）根據(jù)的含義，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算方法，求出的值是多少即可．

（2）首先根據(jù)的含義，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算方法，由，列出一元一次方程，然后根據(jù)解一元一次方程方法，求出的值是多少即可．

【詳解】解：（1）

；

（2）∵

∴

解得：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握，注意明確有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．

8．（1）；（2）

【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算直接求解即可；

（2）根據(jù)新定義運(yùn)算，列方程求解即可．

【詳解】解：（1）根據(jù)新定義運(yùn)算可得，；

（2）由新定義運(yùn)算可得，，

由題意可得，，解得，

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的求解以及有理數(shù)的乘方以及四則運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握新定義運(yùn)算規(guī)則，正確求解．

9．（1）-6；（2）

【分析】（1）根據(jù)題目中定義的新運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算；

（2）先算出，再列出方程進(jìn)行求解．

【詳解】解：（1）

；

（2）

，

∵，

∴

．

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次方程的解法．

10．(1)7

(2)x=5

【分析】（1）根據(jù)題意所給的新定義下的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行解答即可得；

（2）根據(jù)新定義下的運(yùn)算規(guī)則得到關(guān)于x的方程，然后求解．

【詳解】（1）解：3※2=3×2+（3－2）=7；

（2）解：∵3※x=3x+（3－x）=2x+3，

∴2x+3=13，

解得x=5；

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．

11．(1)-32

(2)1

(3)m＞n

【分析】（1）利用規(guī)定的運(yùn)算方法直接代入計(jì)算即可；

（2）利用規(guī)定的運(yùn)算方法得出方程，求得方程的解即可；

（3）利用規(guī)定的運(yùn)算方法得出m、n，再進(jìn)一步作差即可比較大?。?/p>

【詳解】（1）解：原式＝﹣2×32+2×（﹣2）×3+（﹣2）

＝﹣18﹣12﹣2

＝﹣32；

故答案為：﹣32．

（2）根據(jù)題意得：（a+1）+3（a+1）+

＝

＝8a+8

∴（8a+8）×（﹣2）2+2×（8a+8）×（﹣2）+（8a+8）＝16

整理得，8a+8＝16

解得：a＝1；

（3）已知等式整理得：m＝2x2+4x+2，n＝x++x＝4x，

∴m﹣n＝2x2+2＞0，

∴m＞n．

【點(diǎn)睛】此題考查了新定義下的運(yùn)算問題，解題的關(guān)鍵是利用規(guī)定的運(yùn)算方法進(jìn)行計(jì)算．

12．(1)是，理由見詳解

(2)或；

(3)

【分析】（1）分別解出兩個(gè)方程，再根據(jù)新定義，即可求解；

（2）分別解出兩個(gè)方程，再根據(jù)新定義，得到，再根據(jù)m為正數(shù)，即可求解；

（3）分別解出兩個(gè)方程，再根據(jù)新定義，得到，即可求解．

【詳解】（1）解：是，理由如下：

2x＝5x﹣12，

解得：，

3（y﹣1）﹣y＝1，

去括號(hào)得：，

解得：，

∴，

∴關(guān)于x的方程2x＝5x﹣12與關(guān)于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；

（2）解：x﹣＝n﹣1，

去分母得：，

解得：，

2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m

去括號(hào)得：，

解得：，

∵關(guān)于x的方程x﹣＝n﹣1與關(guān)于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，

∴，

即，

∴或，

即或

∵m為正數(shù)，

∴或；

（3）解：sx+t＝h，解得：，

s（y﹣k+1）＝h﹣t，解得：，

∵關(guān)于x的方程sx+t＝h（s≠0），與關(guān)于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，

∴，

解得：，

即．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程及其應(yīng)用，解含絕對(duì)值的方程，明確題意，理解新定義是解題的關(guān)鍵．

13．(1)不是，理由見解析

(2)或

(3)或

【分析】（1）分別求出方程的解，再判斷，即可求解；

（2）分別解出方程，再代入，求出k即可；

（3）先解出方程，再代入，求出x的值，最后代入即可求出的值．

【詳解】（1）的解為，的解為，

，

方程與方程不是“美好方程”；

（2）∵的解為，

解為

（3）的解為

∵關(guān)于x的方程（為常數(shù)）與關(guān)于y的方程都是“美好方程”，

∴

∴或

的解為或

即關(guān)于x的方程，無論為何值，方程的解都是或

代入得，，整理得

代入得，，整理得

或

或

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解，理解新定義并熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．

14．（1）②；（2）95或97；（3）16

【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根據(jù)“友好方程”的定義去判斷；

（2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分類討論，令，求出a的值；

（3）一元一次方程解得，由得，把它代入關(guān)于y的方程即可求出結(jié)果．

【詳解】解：（1）一元一次方程的解是，

方程的解是，，故不是“友好方程”，

方程的解是或，當(dāng)時(shí)，，故是“友好方程”，

故答案是：②；

（2）方程的解是或，

一元一次方程的解是，

若，，則，解得，

若，，則，解得，

綜上，a的值是95或97；

（3），解得，

∵，

∴，

∵，

∴

，

∵分母m不能為0，

∴，即，

∴，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題目中定義的“友好方程”，通過解一元一次方程的方法求解．

15．(1)是，理由見解析

(2)無窮多，理由見解析

【分析】（1）分別將和代入方程，求出方程的解，再判斷即可；

（2）解方程得，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，也是整數(shù)，由此可得方程的“友好系數(shù)”有無窮多．

【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，

解得，

為此方程的“友好系數(shù)”；

當(dāng)時(shí)，，

解得，

為此方程的“友好系數(shù)”；

（2）解：，

解得，

當(dāng)是整數(shù)時(shí)，也是整數(shù)，

方程的“友好系數(shù)”有無窮多．

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解，理解定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的解法．

16．(1)不是

(2)有，b=

(3)

【分析】（1）解方程，并計(jì)算對(duì)應(yīng)b-a的值與方程的解不相等，所以不是奇異方程；

（2）根據(jù)奇異方程的定義即可得出關(guān)于b的方程，解方程即可；

（3）根據(jù)奇異方程的概念列式得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程，聯(lián)立求解得到m、n的關(guān)系，然后代入化簡后的代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．

【詳解】（1）∵5x=-8，

∴x=-，

∵-8-5=-13，

-≠13，

∴5x=-8不是奇異方程；

故答案為：不是；

（2）∵a=3，

∴x=b-3，

∴b3＝，

∴b＝，

即b=時(shí)有符合要求