人教A版（2023）必修第一冊《第五章 三角函數(shù)》單元測試2(含解析)

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）關(guān)于的方程有一個根為，則一定是

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等腰三角形

2.（5分）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小正值是

A.B.C.D.

3.（5分）已知，，則

A.B.C.D.

4.（5分）已知，，則的值是

A.B.C.D.

5.（5分）若函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則的值為

A.B.C.D.

6.（5分）若，且，則

A.B.C.D.

7.（5分）設(shè)，則

A.B.C.D.

8.（5分）設(shè)是定義在上周期為的函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)，恒有，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)為

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）如圖是函數(shù)，的部分圖象，若在內(nèi)有且只有一個最小值點(diǎn)，的值可以為

A.B.C.D.

10.（5分）下列結(jié)論正確的是

A.是第三象限角

B.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為

C.

D.若角的終邊過點(diǎn)，則

11.（5分）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

A.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)

B.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸

C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到

D.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

12.（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為的導(dǎo)函數(shù)，則

A.的最小正周期為

B.

C.的圖象關(guān)于直線對稱

D.把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，橫坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線

13.（5分）關(guān)于函數(shù)有下列命題，正確的是

A.有可得是的整數(shù)倍

B.表達(dá)式可改寫為

C.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱

D.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）若，則______．

15.（5分）已知，則的最小正周期是______．

16.（5分）如圖，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，記若角為銳角，則的取值范圍是______．

17.（5分）若角的終邊上有一點(diǎn)，則______.

18.（5分）在△ABC中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③；④.其中恒為定值的是____________.（填寫編號）

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）已知是第三象限角，且

求，的值；

設(shè)的終邊與單位圓交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

20.（12分）已知角的終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，求，，

21.（12分）A、是單位圓上的點(diǎn)，點(diǎn)是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限．記且．

求點(diǎn)坐標(biāo)；

求的值．

22.（12分）已知三角形的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設(shè)向量，，且．

求角的大??；

求的取值范圍．

23.（12分）已知函數(shù)

求函數(shù)的最小正周期；

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】

該題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應(yīng)用和解三角形的應(yīng)用．

利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式，結(jié)合三角形內(nèi)角和得，再利用解三角形的相關(guān)應(yīng)用得結(jié)論．

解：關(guān)于的方程有一個根為，

，

即，

，

因此．

又，

，

因此一定是等腰三角形．

故選D．

2.【答案】C;

【解析】解：函數(shù)，

，

把函數(shù)的圖象向左平移個單位，

得到：由于函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．

故：，

整理得：，

當(dāng)時，．

故選：．

首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)關(guān)系式的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果．

此題主要考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．

3.【答案】A;

【解析】

此題主要考查三角恒等變換以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

解：因?yàn)榻獾茫?/p>

又因?yàn)?，?/p>

解得

故選

4.【答案】C;

【解析】解：，，

，，

平方相加可得：，

故選：

由，，變形為，，平方相加即可得出．

此題主要考查了三角函數(shù)的平方關(guān)系、兩角和差的余弦公式，考查了平方法和計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】C;

【解析】解：函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度后得函數(shù)的圖象，

又函數(shù)圖象關(guān)于對稱，

，

．

．

又，

時，．

故選：．

首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．

該題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．

6.【答案】A;

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

可得，兩邊平方可得，可得，

因?yàn)椋傻?，，?/p>

則．

故選：．

利用誘導(dǎo)公式化簡已知等式，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求即可得解．

此題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

7.【答案】B;

【解析】解：，

原式．

故選：．

原式利用誘導(dǎo)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，把的值代入計算即可求出值．

該題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．

8.【答案】B;

【解析】解：由題意是定義在上周期為的函數(shù)，，可得是偶函數(shù)，當(dāng)時，，其值域?yàn)椋瑑蛇吰椒剑嚎傻茫?/p>

可得圖象為：以原點(diǎn)為圓心，半徑為，軸的下半圓．

看做是兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，即與函數(shù)，

，圖象在左邊有交點(diǎn)．在右邊圖象沒有交點(diǎn)．

函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)為．

故選：．

由題意，是定義在上周期為的函數(shù)，，可得是偶函數(shù)，當(dāng)時，，求解值域，作函數(shù)的圖象與，數(shù)形結(jié)合可得在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)．

這道題主要考查函數(shù)周期的應(yīng)用，把零點(diǎn)個數(shù)問題看成圖象的交點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．

9.【答案】BC;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

先求出，因?yàn)樵谟星抑挥幸粋€最小值點(diǎn)，可得，即可求解.

解：由圖可知：，即，又，所以，

因?yàn)樵谟星抑挥幸粋€最小值點(diǎn)，

可得，

解得

故選

10.【答案】BD;

【解析】解：選項(xiàng)，是第二象限角，錯誤；

選項(xiàng)，扇形的半徑為，面積為，正確；

選項(xiàng)，錯誤；

選項(xiàng)，，正確；

故選：

A.利用終邊相同的角判斷；利用扇形面積公式求解判斷；利用誘導(dǎo)公式求解判斷；利用三角函數(shù)的定義求解判斷．

此題主要考查了扇形面積和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

11.【答案】AB;

【解析】解：函數(shù)，

當(dāng)，，單調(diào)遞增，故A正確；

令，求得，為最大值，故直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B正確；

由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，故C錯誤；

令，求得，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故D錯誤，

故選：．

由題意利用三角恒等變換化簡的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．

這道題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

12.【答案】ACD;

【解析】解：由函數(shù)的部分圖象知，

，所以選項(xiàng)A正確；

所以，

由五點(diǎn)法畫圖知，，解得，所以選項(xiàng)B錯誤；

由，所以，

令，，，；

所以是的一條對稱軸，選項(xiàng)C正確；

把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，得的圖象，

再把得到的曲線向左平移個單位長度，得的圖象，

即為曲線的圖象，所以選項(xiàng)D正確．

故選：．

由函數(shù)的部分圖象求出、和的值，寫出的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象平移寫出對應(yīng)函數(shù)的圖象，從而判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．

該題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．

13.【答案】BD;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

由函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一分析求解即可.

解：對于，由題意得的周期，若可得是的整數(shù)倍，即錯誤

對于，，即正確

對于，，即函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，即錯誤

對于，，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即正確.

所以正確的命題、

故選

14.【答案】1;

【解析】解：，

可得，

所以．

故答案為：．

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可．

該題考查誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．

15.【答案】π;

【解析】解：函數(shù)，函數(shù)的周期為：．

故答案為：．

利用二倍角的余弦函數(shù)以及函數(shù)的周期求解即可．

該題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】（-，）;

【解析】解：由三角函數(shù)定義知，，，

角為銳角，

，

，

，

則的取值范圍是，

故答案為

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出函數(shù)的表達(dá)式，即可求出處函數(shù)的值域．

這道題主要考查三角函數(shù)的定義以及三角恒等變換的運(yùn)用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．

17.【答案】-;

【解析】解：角的終邊上一點(diǎn)，

，

，

故答案為：

利用三角函數(shù)的定義可求得即可．

此題主要考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

18.【答案】②③;

【解析】略

19.【答案】解：由題意得，

又，

聯(lián)立方程可得，

在第三象限，

代入第一式可得

設(shè)，則，

，

故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為：;

【解析】

此題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．

由題意得，又，結(jié)合角的象限，聯(lián)立方程可得；

設(shè)，則，，由誘導(dǎo)公式化簡可得．

20.【答案】解：角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3a，4a），故|OP|=5|a|；

由三角函數(shù)的定義知

當(dāng)a＞0時，r=5a，sinα=，cosα=，tanα=；

當(dāng)a＜0時，r=-5a，sinα=-，cosα=-，tanα=.;

【解析】

此題主要考查三角函數(shù)的定義，知道終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值是考查三角函數(shù)的定義的主要方式．

角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，由三角函數(shù)的定義，先計算，再求出角正弦與余弦

21.【答案】解：（1）∵點(diǎn)A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B在第二象限．

設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

則y=sinθ=．

x=-=-，

即B點(diǎn)坐標(biāo)為：

（2）∵===．;

【解析】

根據(jù)角的終邊與單位交點(diǎn)為，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和，可得點(diǎn)坐標(biāo)；

由中結(jié)論，結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡，代入可得答案．

該題考查的知識點(diǎn)是同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，誘導(dǎo)公式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．

22.【答案】解：向量，，且．

，

，

，

．

，

，

，

，

，

，

．;

【解析】

利用兩向量平行的性質(zhì)以及兩向量的左邊可求得，和的關(guān)系式，代入余弦定理中求得的值，進(jìn)而求得．

根據(jù)中，可知，進(jìn)而可把轉(zhuǎn)化成，展開后，利用兩角和公式化簡，