人教A版（2023）必修第一冊《第五章 三角函數(shù)》單元測試2(含解析)

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）關于的方程有一個根為，則一定是

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.等腰三角形

2.（5分）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象關于軸對稱，則的最小正值是

A.B.C.D.

3.（5分）已知，，則

A.B.C.D.

4.（5分）已知，，則的值是

A.B.C.D.

5.（5分）若函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關于對稱，則的值為

A.B.C.D.

6.（5分）若，且，則

A.B.C.D.

7.（5分）設，則

A.B.C.D.

8.（5分）設是定義在上周期為的函數(shù)，且對任意的實數(shù)，恒有，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）如圖是函數(shù)，的部分圖象，若在內(nèi)有且只有一個最小值點，的值可以為

A.B.C.D.

10.（5分）下列結論正確的是

A.是第三象限角

B.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為

C.

D.若角的終邊過點，則

11.（5分）已知函數(shù)，則下列結論正確的是

A.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)

B.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸

C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到

D.函數(shù)的圖象關于點對稱

12.（5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為的導函數(shù)，則

A.的最小正周期為

B.

C.的圖象關于直線對稱

D.把曲線上各點的縱坐標伸長到原來的倍，橫坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線

13.（5分）關于函數(shù)有下列命題，正確的是

A.有可得是的整數(shù)倍

B.表達式可改寫為

C.函數(shù)的圖像關于點對稱

D.函數(shù)的圖像關于直線對稱

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）若，則______．

15.（5分）已知，則的最小正周期是______．

16.（5分）如圖，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，角的終邊與單位圓交于點，記若角為銳角，則的取值范圍是______．

17.（5分）若角的終邊上有一點，則______.

18.（5分）在△ABC中，①sin(A+B)+sinC；②cos(B+C)+cosA；③；④.其中恒為定值的是____________.（填寫編號）

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）已知是第三象限角，且

求，的值；

設的終邊與單位圓交于點，求點的坐標．

20.（12分）已知角的終邊上有一點的坐標是，其中，求，，

21.（12分）A、是單位圓上的點，點是單位圓與軸正半軸的交點，點在第二象限．記且．

求點坐標；

求的值．

22.（12分）已知三角形的三個內(nèi)角，，所對邊的長分別為，，，設向量，，且．

求角的大??；

求的取值范圍．

23.（12分）已知函數(shù)

求函數(shù)的最小正周期；

求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】

該題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，二倍角公式及應用和解三角形的應用．

利用兩角和與差的三角函數(shù)公式和二倍角公式，結合三角形內(nèi)角和得，再利用解三角形的相關應用得結論．

解：關于的方程有一個根為，

，

即，

，

因此．

又，

，

因此一定是等腰三角形．

故選D．

2.【答案】C;

【解析】解：函數(shù)，

，

把函數(shù)的圖象向左平移個單位，

得到：由于函數(shù)的圖象關于軸對稱．

故：，

整理得：，

當時，．

故選：．

首先利用三角函數(shù)關系式的變換，把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)關系式的平移變換和伸縮變換的應用求出結果．

此題主要考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變變換，正弦型函數(shù)性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題型．

3.【答案】A;

【解析】

此題主要考查三角恒等變換以及同角三角函數(shù)基本關系，屬于基礎題.

解：因為解得，

又因為，，

解得

故選

4.【答案】C;

【解析】解：，，

，，

平方相加可得：，

故選：

由，，變形為，，平方相加即可得出．

此題主要考查了三角函數(shù)的平方關系、兩角和差的余弦公式，考查了平方法和計算能力，屬于基礎題．

5.【答案】C;

【解析】解：函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度后得函數(shù)的圖象，

又函數(shù)圖象關于對稱，

，

．

．

又，

時，．

故選：．

首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結果．

該題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題型．

6.【答案】A;

【解析】解：因為，

可得，兩邊平方可得，可得，

因為，可得，，，

則．

故選：．

利用誘導公式化簡已知等式，兩邊平方，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求，進而根據(jù)誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式化簡所求即可得解．

此題主要考查了誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．

7.【答案】B;

【解析】解：，

原式．

故選：．

原式利用誘導公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間基本關系變形，把的值代入計算即可求出值．

該題考查了運用誘導公式化簡求值，熟練掌握誘導公式是解本題的關鍵．

8.【答案】B;

【解析】解：由題意是定義在上周期為的函數(shù)，，可得是偶函數(shù)，當時，，其值域為，兩邊平方：可得，

可得圖象為：以原點為圓心，半徑為，軸的下半圓．

看做是兩個函數(shù)圖象的交點問題，即與函數(shù)，

，圖象在左邊有交點．在右邊圖象沒有交點．

函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為．

故選：．

由題意，是定義在上周期為的函數(shù)，，可得是偶函數(shù)，當時，，求解值域，作函數(shù)的圖象與，數(shù)形結合可得在區(qū)間上零點的個數(shù)．

這道題主要考查函數(shù)周期的應用，把零點個數(shù)問題看成圖象的交點是解決本題的關鍵．

9.【答案】BC;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

先求出，因為在有且只有一個最小值點，可得，即可求解.

解：由圖可知：，即，又，所以，

因為在有且只有一個最小值點，

可得，

解得

故選

10.【答案】BD;

【解析】解：選項，是第二象限角，錯誤；

選項，扇形的半徑為，面積為，正確；

選項，錯誤；

選項，，正確；

故選：

A.利用終邊相同的角判斷；利用扇形面積公式求解判斷；利用誘導公式求解判斷；利用三角函數(shù)的定義求解判斷．

此題主要考查了扇形面積和誘導公式的應用，屬于基礎題．

11.【答案】AB;

【解析】解：函數(shù)，

當，，單調(diào)遞增，故A正確；

令，求得，為最大值，故直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B正確；

由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，故C錯誤；

令，求得，故函數(shù)的圖象關于點對稱，故D錯誤，

故選：．

由題意利用三角恒等變換化簡的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結論．

這道題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

12.【答案】ACD;

【解析】解：由函數(shù)的部分圖象知，

，所以選項A正確；

所以，

由五點法畫圖知，，解得，所以選項B錯誤；

由，所以，

令，，，；

所以是的一條對稱軸，選項C正確；

把曲線上各點的縱坐標伸長到原來的倍，得的圖象，

再把得到的曲線向左平移個單位長度，得的圖象，

即為曲線的圖象，所以選項D正確．

故選：．

由函數(shù)的部分圖象求出、和的值，寫出的解析式，求出導函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象平移寫出對應函數(shù)的圖象，從而判斷選項中的命題是否正確．

該題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．

13.【答案】BD;

【解析】

此題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

由函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一分析求解即可.

解：對于，由題意得的周期，若可得是的整數(shù)倍，即錯誤

對于，，即正確

對于，，即函數(shù)的圖象不關于點對稱，即錯誤

對于，，即函數(shù)的圖象關于直線對稱，即正確.

所以正確的命題、

故選

14.【答案】1;

【解析】解：，

可得，

所以．

故答案為：．

利用誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關系式化簡求解即可．

該題考查誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關系式的應用，考查計算能力．

15.【答案】π;

【解析】解：函數(shù)，函數(shù)的周期為：．

故答案為：．

利用二倍角的余弦函數(shù)以及函數(shù)的周期求解即可．

該題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期的求法，考查計算能力，屬于基礎題．

16.【答案】（-，）;

【解析】解：由三角函數(shù)定義知，，，

角為銳角，

，

，

，

則的取值范圍是，

故答案為

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出函數(shù)的表達式，即可求出處函數(shù)的值域．

這道題主要考查三角函數(shù)的定義以及三角恒等變換的運用，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．

17.【答案】-;

【解析】解：角的終邊上一點，

，

，

故答案為：

利用三角函數(shù)的定義可求得即可．

此題主要考查三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．

18.【答案】②③;

【解析】略

19.【答案】解：由題意得，

又，

聯(lián)立方程可得，

在第三象限，

代入第一式可得

設，則，

，

故可得點的坐標為：;

【解析】

此題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，以及三角函數(shù)的定義和誘導公式，屬于基礎題．

由題意得，又，結合角的象限，聯(lián)立方程可得；

設，則，，由誘導公式化簡可得．

20.【答案】解：角α的終邊經(jīng)過點P（3a，4a），故|OP|=5|a|；

由三角函數(shù)的定義知

當a＞0時，r=5a，sinα=，cosα=，tanα=；

當a＜0時，r=-5a，sinα=-，cosα=-，tanα=.;

【解析】

此題主要考查三角函數(shù)的定義，知道終邊上一點的坐標，利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值是考查三角函數(shù)的定義的主要方式．

角的終邊經(jīng)過點，由三角函數(shù)的定義，先計算，再求出角正弦與余弦

21.【答案】解：（1）∵點A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B在第二象限．

設B點坐標為（x，y），

則y=sinθ=．

x=-=-，

即B點坐標為：

（2）∵===．;

【解析】

根據(jù)角的終邊與單位交點為，結合同角三角函數(shù)關系和，可得點坐標；

由中結論，結合誘導公式化簡，代入可得答案．

該題考查的知識點是同角三角函數(shù)基本關系的運用，誘導公式，難度不大，屬于基礎題．

22.【答案】解：向量，，且．

，

，

，

．

，

，

，

，

，

，

．;

【解析】

利用兩向量平行的性質(zhì)以及兩向量的左邊可求得，和的關系式，代入余弦定理中求得的值，進而求得．

根據(jù)中，可知，進而可把轉(zhuǎn)化成，展開后，利用兩角和公式化簡，