2017年高中數(shù)學人教A版選修4-1學案：第一講三相似三角形的判定及性質(zhì)1Word版含解析

三相似三角形的判定及性質(zhì)1．相似三角形的判定1．了解三角形相似的定義，掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法．2．會證明三角形相似，并能解決有關問題．1．相似三角形(1)定義：對應角____，對應邊成____的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形______的比值叫做相似比(或相似系數(shù))．(2)記法：兩個三角形相似，用符號“∽”表示，例如△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′.①三角形相似與三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．②三角形相似定義中的“對應邊成比例”是三組對應邊分別成比例．③相似三角形對應頂點的字母必須寫在相應的位置上，這一點與全等三角形是一致的；例如△ABC和△DEF相似，若點A與點E對應，點B與點F對應，點C與點D對應，則記為△ABC∽△EFD．【做一做1】已知△ABC∽△A′B′C′，下列選項中的式子，不一定成立的是()A．∠B＝∠B′B．∠A＝∠C′C．eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)D．eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)2．相似三角形的判定定理內(nèi)容簡述作用預備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)____，所構(gòu)成的三角形與原三角形____判定兩個三角形相似判定定理1對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應____，那么這兩個三角形____兩角對應相等，兩個三角形相似判定定理2對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成____，并且夾角______，那么這兩個三角形相似兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似判定兩個三角形相似引理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成____，那么這條直線平行于三角形的______判定兩條直線平行判定定理3對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成____，那么這兩個三角形相似三邊對應成比例，兩個三角形相似判定兩個三角形相似判定三角形相似的三種基本圖形(1)平行線型：(2)相交線型：(3)旋轉(zhuǎn)型：【做一做2－1】如圖所示，在△ABC中，F(xiàn)D∥GE∥BC，則與△AFD相似的三角形有()A．1個B．2個C．3個D．4個【做一做2－2】如圖所示，DE與BC不平行，當eq\f(AB,AC)＝__________時，△ABC∽△AED．3．直角三角形相似的判定定理(1)如果兩個直角三角形有一個____對應相等，那么它們相似；(2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應成____，那么它們相似．(3)如果一個直角三角形的____和一條____邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形分別與原三角形相似．在證明直角三角形相似時，要特別注意利用直角這一條件．【做一做3】在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)，∠B＝35°，則∠C′＝__________.答案：1．(1)相等比例對應邊【做一做1】B很明顯選項A，C，D均成立．因為∠A和∠C′不是對應角，所以∠A＝∠C′不一定成立．2．相交相似相等相似比例相等比例第三邊比例【做一做2－1】B∵FD∥GE∥BC，∴△AFD∽△AGE∽△ABC，故與△AFD相似的三角形有2個．【做一做2－2】eq\f(AE,AD)△ABC與△ADE有一個公共角∠A，當夾∠A的兩邊對應成比例，即eq\f(AB,AC)＝eq\f(AE,AD)時，這兩個三角形相似．3．(1)銳角(2)比例(3)斜邊直角【做一做3】55°∵∠A＝∠A′＝90°，∴△ABC和△A′B′C′均是直角三角形．又eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′.∴∠C′＝∠C，又∠B＝35°，∴∠C＝90°－∠B＝90°－35°＝55°，∴∠C′＝55°.同一法證明幾何問題剖析：當直接證明一個幾何問題比較困難時，往往采用間接證明的方法．“同一法”就是一種間接證明的方法．應用同一法證明問題時，往往先作出一個滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題的已知條件，確定所作圖形與題設條件所指的圖形相同，從而證明命題成立.例如，如圖所示，已知PQ，TR為⊙O的切線，P，R為切點，PQ∥RT.證明PR為⊙O的直徑．證明：如圖，延長PO交RT于點R′，∵PO⊥PQ，∴PR′⊥PQ.∵PQ∥RT，∴PR′⊥RT，即OR′⊥RT.又∵TR為⊙O的切線，R為切點，∴OR⊥RT，∴點R′與點R重合，∴PR為⊙O的直徑．由上例可以看出，同一法證明幾何問題的步驟：(1)先作出一個符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；(2)根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的；(3)說明已知圖形符合結(jié)論．題型一判定三角形相似【例題1】如圖，已知eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，求證：△ABD∽△ACE.分析：由于已知eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，得eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)，則要證明△ABD∽△ACE，只需證明∠DAB＝∠EAC即可．反思：(1)本題中，∠DAB與∠EAC的相等關系不易直接找到，這里用∠BAC＝∠EAD，在∠BAC和∠EAD中分別減去同一個角∠DAC，間接證明．(2)判定兩個三角形相似時，關鍵是分析已知哪些邊對應成比例，哪些角對應相等，根據(jù)三角形相似的判定定理，還缺少什么條件就能推導出結(jié)論．題型二判定直角三角形相似【例題2】如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP.分析：由于這兩個三角形都是直角三角形，且已知條件是線段間的關系，故考慮證明對應邊成比例，即只需證明eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP)即可．反思：直角三角形相似的判定方法很多，既可根據(jù)一般三角形相似的判定方法判定，又有其獨特的判定方法，在求證、識別的過程中，可由已知條件結(jié)合圖形特征，確定合適的方法．題型三證明線段成比例【例題3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(CD,BC).分析：所要證明的等式中的四條線段AB，AC，CD，BC分別在△ABC和△BCD中，但這兩個三角形不相似，由題意可得BD＝CD，這樣AB，AC，BD，BC分別在△ABC和△ABD中，只需證明這兩個三角形相似即可．反思：證明線段成比例，常把等式中的四條線段分別看成兩個三角形的兩條邊，再證明這兩個三角形相似即可，若這四條線段不能分別看成兩個三角形的兩邊，則利用相等線段進行轉(zhuǎn)化，如本題中把CD轉(zhuǎn)化為BD．題型四證明兩直線平行【例題4】如圖，△ABC中，D是BC的中點，M是AD上一點，BM，CM的延長線分別交AC，AB于F，E兩點．求證：EF∥BC．分析：要證明EF∥BC，想通過角之間的關系達到目的顯然是不可能的，而要利用成比例線段判定兩條直線平行的判定定理，圖中又沒有平行條件，因此要設法作出平行線，以便利用判定定理．在作平行線時，要充分考慮到中點D的應用．反思：常利用引理來證明兩條直線平行，如本題中的三種證法，其關鍵是證明其對應線段成比例，這樣又轉(zhuǎn)化為證明線段成比例，其證明方法有：利用中間量，如本題證法一；轉(zhuǎn)化為線段成比例，如本題證法二；既用中間量，又轉(zhuǎn)化為線段成比例，如本題證法三．答案：【例題1】證明：因為eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，所以△ABC∽△ADE.所以∠BAC＝∠EAD，∠BAC－∠DAC＝∠EAD－∠DAC，即∠DAB＝∠EAC.又eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，即eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)，所以△ABD∽△ACE.【例題2】證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點，∴eq\f(AD,QC)＝2.∵eq\f(BP,PC)＝3，∴eq\f(BC,PC)＝4.又BC＝2DQ，∴eq\f(DQ,CP)＝2.在△ADQ和△QCP中，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP)＝2，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.【例題3】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBA＝eq\f(1,2)∠ABC，又∠ABC＝2∠C，∴∠DBA＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD.在△ABD和△ACB中，∠A＝∠A，∠DBA＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,BC)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(CD,BC).【例題4】證法一：延長AD至G，使DG＝MD，連接BG，CG，如下圖所示．∵BD＝DC，MD＝DG，∴四邊形BGCM為平行四邊形．∴EC∥BG，F(xiàn)B∥CG.∴，，∴.∴EF∥BC.證法二：過點A作BC的平行線，與BF，CE的延長線分別交于G，H兩點，如圖所示．∵AH∥DC，AG∥BD，∴eq\f(AH,DC)＝eq\f(AM,MD)，eq\f(AG,BD)＝eq\f(AM,MD)，∴eq\f(AH,DC)＝eq\f(AG,BD).∵BD＝DC，∴AH＝AG.∵HG∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,BC)，eq\f(AF,FC)＝eq\f(AG,BC).∵AH＝AG，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC).∴EF∥BC.證法三：過點M作BC的平行線，分別與AB，AC交于G，H兩點，如下圖所示．則eq\f(GM,BD)＝eq\f(AM,AD)，eq\f(MH,DC)＝eq\f(AM,AD)，∴eq\f(GM,BD)＝eq\f(MH,DC).∵BD＝DC，∴GM＝MH.∵GH∥BC，∴eq\f(EM,EC)＝eq\f(GM,BC)，eq\f(FM,FB)＝eq\f(MH,BC).∵GM＝MH，∴eq\f(EM,EC)＝eq\f(FM,FB).∴EF∥BC.1如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，點F是BC上一點，AF交DE于G，則與△ADG相似的是()A．△AEGB．△ABFC．△AFCD．△ABC2如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AB，垂足為E，則圖中與Rt△ADE相似的三角形個數(shù)為()A．1B．2C．3D．43如圖所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝b.則BD＝__________(用a，b表示)．4如圖所示，O是△ABC內(nèi)一點，且AB∥A′B′，BC∥B′C′.求證：AC∥A′C′.5如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分線，求證：AD2＝DC·AC．答案：1．B在△ABF中，DG∥BF，則△ADG∽△ABF.2．D題圖中Rt△CBA，Rt△CAD，Rt△ABD，Rt△DBE均與Rt△ADE相似．3．eq\f(b2,a)由題意，可得△ABC∽△CDB，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)，∴BD＝eq\f(BC2,AC)＝eq\f(b2,a).4．證明：∵AB∥A′B′，∴eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB).又∵BC∥B′C′，∴eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC