遞推數(shù)列的特征方程法的創(chuàng)新機制

第第頁遞推數(shù)列的特征方程法的創(chuàng)新機制數(shù)列問題在高考中有著非常重要的地位,其中數(shù)列求通項公式,通常作為各省市的高考壓軸題出現(xiàn)。而遞推數(shù)列的通項公式求解,往往令師生最為頭疼。那么,什么是遞推數(shù)列,包含哪些類型.一般而言,數(shù)列求通項公式,都有哪些方法策略?下面,我對這幾方面做些研究、探索不足之處,敬請同行批評指正。

一、遞推數(shù)列的分類

遞推數(shù)列,顧名思義是指可以通過遞推找出其規(guī)律的數(shù)列。用通俗的一句話來解釋“遞推”就是:知道他的過去,就知道他的現(xiàn)在.知道他的過去和現(xiàn)在,就知道他的將來。

根據(jù)遞推式不同,一般可將遞推數(shù)列分為以下4類:

■

二、遞推數(shù)列的特征方程法引理

(一)一階線性遞推數(shù)列

引理1.已知數(shù)列{an}滿足a1=b,an+1=pan+q(p≠0且p≠1,p,q是常數(shù)),稱方程x=px+q為數(shù)列{an}的特征方程,設(shè)特征方程的根為x0,則①當(dāng)x0=a1時,數(shù)列{an}為常數(shù)列;②當(dāng)x0≠a1時,數(shù)列{an-x0}是以p(p≠0)為公比的等比數(shù)列.

簡證:設(shè)特征方程x=px+q,得根為x0=■,

又an+1=pan+q(1)x0=px0+q(2),由(1)-(2)得,an+1-x0=p(an-x0),

若a1=x0=■,則a1=a2=a3=……=an=■,即數(shù)列{an}為常數(shù)列;

若a1≠x0,則■=■=p(非零常數(shù)),即數(shù)列{an-x0}是以p為公比的等比數(shù)列,證畢。

(二)二階線性遞推數(shù)列

引理2.已知數(shù)列{an}滿足an+2=pan+1+qan(p≠1,p,q是常數(shù)),a1=a,a2=b,稱方程x2=px+q為數(shù)列{an}的特征方程,設(shè)特征方程的根為x1,x2。則①當(dāng)x1≠x2時,數(shù)列{an}的通項為an=c1x1n+c2x2n,其中c1,c2由初始值決定;②當(dāng)x1=x2時,數(shù)列{an}的通項為an=(c1+c2n)x1n,其中c1,c2由初始值決定。

簡證:設(shè)特征方程x2=px+q有兩個根為x1,x2,則

x1+x2=px1·x2=-q,故由an+2=pan+1+qan得,an+2=(x1+x2)an+1-(x1·x2)an,

即an+2-x1an+1=x2(an+1-x1an)。所以,an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)

利用迭代得:

an-x1an-1=x2(an-1-x1an-2)所以an-x1an-1=x2n-2(a2-x1a1)

=x22(an-2-x1an-3)■=■

=……

=x2n-2(a2-x1a1)即■-■=■(a2-x1a1)

再次利用迭代得:

■=■+■(a2-x1a1)

=■+■(a2-x1a1)+■(a2-x1a1)

=……

=■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)

若x1≠x2,則■=■+(a2-x1a1)■

整理得,an=■x1n+■x2n

設(shè)c1=■,c2=■,則an=c1x1n+c2x2n。

若x1=x2,則由■=■+(a2-x1a1)(■+■+■+……+■)得,

an=[(■+x1a1-a2)+(a2-x1a1)n]x1n

設(shè)c1=■+x1a1-a2,c2=a2-x1a1,an=(c1+c2n)x1n,證畢。

(三)一次分式遞推數(shù)列

引理3.已知數(shù)列{an}滿足an+1=■(p,q,r,h∈R,且ph≠qr,r≠0,a1≠-■),則稱方程x=■為數(shù)列{an}的特征方程,設(shè)特征方程的根為x1,x2。則①當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時,則數(shù)列{■}為等比數(shù)列.②當(dāng)x1=x2時,若a1=x1,則數(shù)列{an}為常數(shù)列;若a1≠x1,則數(shù)列{■}為等差數(shù)列。

簡證:設(shè)特征方程x=■有兩個根為x1,x2,

特征方程整理為rx2+(h-p)x-q=0,故x1+x2=■x1x2=-■

當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時,不妨設(shè)■=k■(其中k為待定系數(shù))

由■=k■,解得:an+1=■

與an+1=■比較可得:

x1-kx2=p,(k-1)x1x2=q,1-k=r,kx1-x2=h

上面四個等式再結(jié)合x1+x2=■x1x2=-■進行驗證,得出結(jié)論是正確的。

所以■=k■是存在的,并且k=1-r。

所以,當(dāng)x1≠x2且x1≠a1時,則數(shù)列{■}為等比數(shù)列得證。

同理易證當(dāng)x1=x2時,若a1=x1,則數(shù)列{an}為常數(shù)列;

若a1≠x1,則數(shù)列{■}為等差數(shù)列.

(四)二元一階線性遞推數(shù)列

引理4.已知數(shù)列{an},{bn}滿足an+1=pan+qbnbn+1=ran+hbn,則數(shù)列{an},{bn}的通項公式求解,可轉(zhuǎn)化為二階線性遞推數(shù)列來進行通項公式的求解。

簡證:由于an+2=pan+1+qbn+1

=pan+1+q(ran+hbn)

=pan+1+q(ran+h■)

=(p+h)an+1+(qr-hp)an

同理,bn+2=(p+h)bn+1+(qr-hp)bn

所以,二元一階線性遞推數(shù)列可轉(zhuǎn)化為二階線性遞推數(shù)列解決。

三、遞推數(shù)列在高考中的考查

遞推數(shù)列綜合性試題,頻繁出現(xiàn)在高考壓軸題的位置。譬如下面幾道數(shù)列高考題,可用特征方程解答:

題目1.(2008年廣東文)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,an=■(an-1+2an-2)(n=3,4,…)。數(shù)列{bn}滿足b1=1,bn(n=2,3,…)是非零整數(shù),且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k,都有-1≤bm+bm+1+…+bm+k≤1。

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;

(2)[第一論文網(wǎng)提供論文代寫和代寫論文的服務(wù),歡迎光臨]記cn=nanbn(b=1,2,…),求數(shù)列{cn}的前n項和Sn。

解:(1)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

數(shù)列{an}的特征方程為x2-■x-■=0,解得特征根x1=1,x2=-■,

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

題目2.(2009年陜西文)已知數(shù)列{an}滿足,a1=1,a2=2,an+2=■,n∈N*。

(1)令bn=an+1-an,證明:{bn}是等比數(shù)列;

(2)求{an}的通項公式。

解:(2)問中,二階線性遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

數(shù)列{an}的特征方程為x2=■,

解得特征根x1=1,x2=-■

故可設(shè)an=c1x1n+c2x2n=c1+c2(-■)n

再由a1=1,a2=2代入得1=c1-■c22=c1+■c2,

所以c1=■,c2=■。

所以an=■+■(-■)n。

題目3.(2008年陜西理)已知數(shù)列{an}的首項a1=■,an+1=■,n=1,2,…。

(1)求{an}的通項公式;

(2)證明:對任意的x>0,an≥■-■(■-x),n=1,2,…;

(3)證明:a1+a2+…+an>■。

解:(1)問中,一次分式遞推數(shù)列{an}通項公式的求解:

數(shù)列{an}的特征方程為x=■,

解得特征根x1=1,x2=0,

所以數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■,a2=■解得:等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

所以■=-■·■,從而解出an=■。

題目4.(2009年江西理)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an},a1=a,a2=b,且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)m,n,p,q,都有■=■。

(1)當(dāng)a=■,b=■時,求通項an;

(2)證明:對任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù)λ,使得對于每個正整數(shù)a,都有■≤an≤λ。

解:(1)由■=■得

■=■將a1=■,a2=■代入化簡得an=■。

所以數(shù)列{an}為一次分式遞推數(shù)列,

其特征方程為x=■,

求解出特征根是x1=1,x2=-1,

故數(shù)列{■}為等比數(shù)列。

再由a1=■,a2=■,得等比數(shù)列{■}的首項是-■,公比是■,

所以■=-■·■=-(■)n,從而解出an=■。

通過上面4個高考題目,可以看出,特征方程法用于求解遞推數(shù)列的通項公式非常簡便。不論什么樣基礎(chǔ)的學(xué)生,也完全可以用該方法解決高考中相對較難的遞推數(shù)列壓軸題.若能結(jié)合實際情況,有選擇地教會學(xué)生使用特征方程法,解決相關(guān)數(shù)列問題,一定能使學(xué)生獲益匪淺,決勝高考。

四、數(shù)列求通項公式之想法

關(guān)于數(shù)列求通項公式的方法、策略,在各類數(shù)學(xué)教育雜志上層出不窮.筆者整理,歸納主要有如下幾種類型及應(yīng)對的策略:

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關(guān)于如何求解數(shù)列求通項公式問題,并不能窮盡所有方法。高三復(fù)習(xí)也不應(yīng)該采取題海戰(zhàn)術(shù)來應(yīng)對高考,否則事倍功半.萬變不離其宗,還是應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸概念。教材當(dāng)中只介紹了等差數(shù)列(an+1-an=d)和等比數(shù)列(■=q)兩種常規(guī)數(shù)列,那么為什么沒介紹其他方法來求解非常規(guī)數(shù)列問題呢?其實,條件滿足形如an+1-an=f(n)的數(shù)列不就是等差數(shù)列的廣義形式嗎?而■=f(n)亦是等比數(shù)列的