高二數(shù)學空間角的計算

3.2.3空間的角的計算

空間向量的引入為代數(shù)方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。求空間角與距離是立體幾何的一類重要的問題，也是高考的熱點之一。我們主要研究怎么樣用向量的辦法解決空間角的問題?？臻g的角：空間的角常見的有：線線角、線面角、面面角。

空間兩條異面直線所成的角可轉化為兩條相交直線所成的銳角或直角。故我們研究線線角時，就主要求范圍內(nèi)的角；斜線與平面所成的角是指斜線與它在面內(nèi)的射影所成銳角，再結合與面垂直、平行或在面內(nèi)這些特殊情況，線面角的范圍也是；兩個平面所成的角是用二面角的平面角來度量。它的范圍是?？傊?，空間的角最終都可以轉化為兩相交直線所成的角。因此我們可以考慮通過兩個向量的夾角去求這些空間角。異面直線所成角的范圍：

思考：結論：一、線線角：所以與所成角的余弦值為解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示，設則：

所以：例一：練習：在長方體

中，簡解：直線與平面所成角的范圍：

思考：結論：二、線面角：例二：在長方體中，簡解：所以~~~~練習：

的棱長為1.正方體xyz設正方體棱長為1，l將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖，設二面角的大小為，其中DCBA三、面面角：①方向向量法：二面角的范圍：例三：如圖3，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處。從A，B到直線（庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為和,CD的長為,AB的長為。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。解：如圖，化為向量問題根據(jù)向量的加法法則有于是，得設向量與的夾角為，就是庫底與水壩所成的二面角。因此ABCD所以所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為ll三、面面角：二面角的范圍：②法向量法注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角設平面

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進一出”的情況，二面角等于法向量夾角小結：1.異面直線所成角：

2.直線與平面所成角：

lDCBA3.二面角：ll一進一出，二面角等于法向量的夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角。2、如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是=（1，0，1），=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是______.3、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為______.練習:1、已知=(2,2,1),=(4,5,3),則平面ABC的一個法向量是______.60013504.三棱錐P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E為PC中點,則PA與BE所成角的余弦值為_________.

5.直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_________.6.正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點,則二面角E-BC-A的大小是________7.正三棱柱中，D是AC的中點，當時，求二面角的余弦值。CADBC1B1A18.已知正方體的邊長為2，

O為AC和BD的交點，M為的中點（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOM

解法一：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz。設底面三角形的邊長為a，側棱長為b,則C(0,0,0)故則可設=1，，則B(0,1,0)yxzCADBC1B1A1FE作于E,于F，則〈〉即為二面角的大小在中，即E分有向線段的比為由于且，所以在中，同理可求∴cos〈〉=

∴即二面角的余弦值為yxzCADBC1B1A1FE解法二：同法一，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz

在坐標平面yoz中

設面的一個法向量為同法一，可求B(0,1,0)∴可?。?1,0,0)為面的法向量

∴yxzCADBC1B1A1由得解得

所以，可取

二面角的大小等于〈〉

∴∴cos〈〉=

即二面角的余弦值為

方向朝面外，方向朝面內(nèi)，屬于“一進一出”的情況，二面角等于法向量夾角8.①證明：以為正交基底，建立空間直角坐標系如圖。則可得8.已知正方體的邊長為2，

O為AC和BD的交點，M為的中點（1）求證：直線面MAC;

（2）求二面角的余弦值.B1A1C1D1DCBAOMxyz②B1A1C1D1DCBAOMxyz習題課例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.(1)求證：PA//平面EDB(2)求證：PB⊥平面EFD(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFABCDPEFXYZG解：如圖所示建立空間直角坐標系，點D為坐標原點，設DC=1(1)證明：連結AC,AC交BD于點G,連結EGABCDPEFXYZG(2)求證：PB⊥平面EFDABCDPEFXYZ(3)求二面角C-PB-D的大小。ABCDPEFXYZ例2、如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=，SA=SB=.(1)求證(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyzSABDOC證明：(1)取BC中點O，連接OA、OS。(2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直線SD與平面SAB所成角的正弦值為例3如圖,在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在線段BC上是否存在一點E,使PA與平面PDE所成角的大小為450?若存在，確定點E的位置；若不存在說明理由。

DBACEPxzy解：以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標系，設BE=m，則例4、(2004，天津)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點。(1)證明：PA//平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設正方形邊長為1，則PD=DC=DA=1.連AC、BD交于G點(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB與底面ABCD所成的角的正弦值為所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為方向朝面內(nèi)，方向朝面外，屬于“一進一出”的情況，二面角等于法向量夾角1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值(2)OS與面SAB所成角的余弦值(3)二面角B－AS－O的余弦值OABCSxyz【練習】

OABCSxyz1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(1)異面直線SA和OB所成的角的余弦值OABCSxyz1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(2)OS與面SAB所成角的余弦值所以OS與面SAB所成角的余弦值為OABCSxyz所以二面角B－AS－O的余弦值為1、如圖，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求：(3)二面角B－AS－O的余弦值2、在如圖的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD與平面ABEF互相垂直?；顒訌椬覯，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=（1）求MN的長；（2）a為何值時？MN的長最小？（3）當MN的長最小時，求面MNA與面MNB所成二面角的余弦值。ABCDEFMNABCDMNE3、如圖，在棱長為的正方體