數(shù)學(xué)方法論與解題研究課件

數(shù)學(xué)方法論與解題研究韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系歐慧謀數(shù)學(xué)方法論與解題研究韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)方法論主要研究什么?方法論：就是人們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的一般方法，是人們用什么樣的方式、方法來觀察事物和處理問題。概括地說，世界觀主要解決世界“是什么”的問題，方法論主要解決“怎么辦”的問題。數(shù)學(xué)方法論：主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問。數(shù)學(xué)方法論主要研究什么?方法論：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論有什么意義？1.作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，自覺地用數(shù)學(xué)方法論來指導(dǎo)學(xué)習(xí)，能促進(jìn)對(duì)合理方法的應(yīng)用的轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。（學(xué)知識(shí)+學(xué)方法）2.作為數(shù)學(xué)教師，數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)結(jié)合能提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。（講活、講懂、講深）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法論有什么意義？1.作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者，自覺地用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法論涉及哪些內(nèi)容？實(shí)驗(yàn)嘗試、類比聯(lián)想、分析綜合、歸納演繹化歸、抽象、公理化、關(guān)系映射反演等。強(qiáng)調(diào)心理學(xué)的意義：數(shù)學(xué)元認(rèn)知、數(shù)學(xué)直覺等數(shù)學(xué)方法論涉及哪些內(nèi)容？實(shí)驗(yàn)嘗試、強(qiáng)調(diào)心理學(xué)的意義：數(shù)學(xué)方法論與解題研究課件數(shù)學(xué)方法論與解題研究課件第二章數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是以提出問題和解決問題為主要標(biāo)志的，這方面的能力又是衡量一個(gè)人數(shù)學(xué)水平的重要標(biāo)志。提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，已經(jīng)成為老師教好數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)，也是研究數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)必不可少的技能。第二章數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是以提出問題和1.觀察法為什么發(fā)現(xiàn)“萬有引力”的人是牛頓？假如穿越時(shí)空，你能發(fā)現(xiàn)“勾股定理”嗎？為什么費(fèi)馬能提出“費(fèi)馬大定理”，而證明這定理的人是維爾斯？1.觀察法為什么發(fā)現(xiàn)“萬有引力”的人是牛頓？1.觀察法

觀察，即仔細(xì)看，在心理學(xué)上，觀察被看成是一種有目的、有計(jì)劃、有步驟的感知活動(dòng)，是一種主動(dòng)的，對(duì)思維有積極作用的感知活動(dòng)。1.觀察法觀察，即仔細(xì)看，在心理學(xué)上，觀察被看多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉：1.觀察法多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉：1.觀察法多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉：在被稱為純粹數(shù)學(xué)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)中，觀察無疑占有極重要的地位…1.觀察法多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉：在被稱為純粹數(shù)學(xué)的那部分?jǐn)?shù)學(xué)例子：1.觀察法例子：1.觀察法例子：1.觀察法例子：1.觀察法2.聯(lián)想2.聯(lián)想2.聯(lián)想聯(lián)想思維的三個(gè)主場(chǎng)部分某種概念相關(guān)概念2相關(guān)概念1…聯(lián)想因素聯(lián)想效應(yīng)聯(lián)想線路2.聯(lián)想聯(lián)想思維的三個(gè)主場(chǎng)部分某種概念相關(guān)概念2相關(guān)概念1…聯(lián)想的方法接近聯(lián)想（形似聯(lián)想）主要有概念、原來、法則的接近而產(chǎn)生的聯(lián)想。它是由命題的已知條件與結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到相關(guān)的定義、定理、公式或圖形等。2.聯(lián)想聯(lián)想的方法接近聯(lián)想（形似聯(lián)想）2.聯(lián)想聯(lián)想的方法類比聯(lián)想（對(duì)比聯(lián)想）主要根據(jù)問題的具體情況，從具有類似或相似特點(diǎn)的數(shù)、式、圖形以及相近的內(nèi)容和性質(zhì)等進(jìn)行聯(lián)想。2.聯(lián)想聯(lián)想的方法類比聯(lián)想（對(duì)比聯(lián)想）2.聯(lián)想聯(lián)想的方法關(guān)系聯(lián)想是根據(jù)知識(shí)之間的從屬關(guān)系、一般關(guān)系、因果關(guān)系以及其內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行的一種聯(lián)想。例如，看到一個(gè)問題，聯(lián)想到它屬于什么類型和一般用什么方法來求解，有一個(gè)一般問題聯(lián)想到特殊情形，有一個(gè)題設(shè)條件聯(lián)想到它的推論等等。2.聯(lián)想聯(lián)想的方法關(guān)系聯(lián)想2.聯(lián)想聯(lián)想的方法關(guān)系聯(lián)想2.聯(lián)想聯(lián)想的方法關(guān)系聯(lián)想2.聯(lián)想4.逆向聯(lián)想逆向聯(lián)想是指從問題的正面想到問題的反面。在解題方法上表現(xiàn)為反面解法、倒推法等間接方法，在證明上表現(xiàn)為反證法、同一法等間接證法。4.逆向聯(lián)想4.逆向聯(lián)想4.逆向聯(lián)想4.逆向聯(lián)想4.逆向聯(lián)想5.橫向聯(lián)想：是指數(shù)學(xué)各分支之間，乃至數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)等學(xué)科之間的聯(lián)想，各種知識(shí)之間有著一定的聯(lián)想和相互滲透，這就為橫向聯(lián)想提供了可能條件。5.橫向聯(lián)想：是指數(shù)學(xué)各分支之間，乃至數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)等學(xué)科5.橫向聯(lián)想證明:用平面幾何和解析幾何的方法證較繁雜，故考慮用重心原理來證明。5.橫向聯(lián)想證明:用平面幾何和解析幾何的方法證較繁雜，故考慮三、聯(lián)想能力的培養(yǎng)1.重視基礎(chǔ)知識(shí)，注意知識(shí)系統(tǒng)化掌握知識(shí)越豐富，理解知識(shí)間的縱橫關(guān)系越多，聯(lián)想就能在更廣闊的領(lǐng)域中展開。回憶到或搜索到的有關(guān)知識(shí)就越多，對(duì)已經(jīng)學(xué)過的概念、定理、公式、法則以及數(shù)學(xué)思想方法理解得越透，掌握得越牢固，越系統(tǒng)，解題經(jīng)驗(yàn)越豐富，聯(lián)想就越暢通，越有效。三、聯(lián)想能力的培養(yǎng)1.重視基礎(chǔ)知識(shí)，注意知識(shí)系統(tǒng)化2.“控制聯(lián)想”和“自由聯(lián)想”要雙管齊下

控制聯(lián)想：指有目的、有方向且受一定條件限制的聯(lián)想。自由聯(lián)想：指從多方向、多角度、多層次進(jìn)行的聯(lián)想，有助于提高聯(lián)想的廣度和深度。只有雙管齊下，才能使解題思路開闊，巧法頻生，醞釀出多種不同的解題策略和思路。2.“控制聯(lián)想”和“自由聯(lián)想”要雙管齊下只有雙管齊下，才能使THANKYOUSUCCESS2023/9/1327可編輯THANKYOUSUCCESS2023/7/2922.“控制聯(lián)想”和“自由聯(lián)想”要雙管齊下2.“控制聯(lián)想”和“自由聯(lián)想”要雙管齊下數(shù)學(xué)方法論與解題研究課件數(shù)學(xué)方法論與解題研究課件3.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣3.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣3.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣3.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣3.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣3.運(yùn)用聯(lián)想把問題引申推廣§3嘗試嘗試：就是將初步意向付諸實(shí)施，試探是否可行，是否有進(jìn)展，是否可以接近目標(biāo)，是否能縮小解答所在的范圍等等。通過對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行觀察、聯(lián)想，從整體上把握問題，形成初步的策略（解決問題的想法、方向以及解答范圍等）?！?嘗試嘗試：就是將初步意向付諸實(shí)施，試探是1.從簡單入手：首先考慮符合題意的最簡單情形，嘗試找出這種情形的解法，然后過渡到一般情形。一、簡單化，化難為易1.從簡單入手：首先考慮符合題意的最簡單情形，嘗試找出這種情1.從簡單入手1.從簡單入手2.將復(fù)雜的問題分解成幾個(gè)簡單問題復(fù)雜綜合的問題，往往由一些比較簡單的問題巧妙地糅合而成，要善于觀察，分解成幾個(gè)小問題，各個(gè)擊破后再綜合起來。2.將復(fù)雜的問題分解成幾個(gè)簡單問題復(fù)雜綜合的問數(shù)學(xué)方法論與解題研究課件1.分析特例，尋找啟示二、特殊化，尋找突破口1.分析特例，尋找啟示二、特殊化，尋找突破口2.利用特例奠定基礎(chǔ)2.利用特例奠定基礎(chǔ)3.使用特例，完善解題3.使用特例，完善解題1.變易論題三、變換角度，選擇主攻方向1.變易論題三、變換角度，選擇主攻方向2.數(shù)形轉(zhuǎn)換(數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休---華羅庚)三、變換角度，選擇主攻方向2.數(shù)形轉(zhuǎn)換(數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休---華羅庚)三3.橫向求索：采用那些看來與題目不“相關(guān)”的其他數(shù)學(xué)分支內(nèi)容進(jìn)行“旁敲側(cè)擊”。三、變換角度，選擇主攻方向（相對(duì)于縱向追溯而言：按照知識(shí)系統(tǒng)，回顧和使用題意所涉及范圍的內(nèi)容）3.橫向求索：采用那些看來與題目不“相關(guān)”的其他數(shù)學(xué)分支內(nèi)容3.橫向求索3.橫向求索3.橫向求索3.橫向求索1.倒推法：問題發(fā)生順序倒置，逆推還原。四、逆反轉(zhuǎn)換，靈活解題逆反轉(zhuǎn)換：順推不行，考慮逆推；直接解決不易，考慮間接解決；正面困難，考慮反面。例9.（歐洲古代數(shù)學(xué)趣題）有一籃李子不知其數(shù)，分給甲一半又一個(gè)，分給乙剩下的一半又一個(gè)，分給丙剩下的一半又三個(gè)，李子剛好分完，問原有李子多少個(gè)？1.倒推法：問題發(fā)生順序倒置，逆推還原。四、逆反轉(zhuǎn)換，靈活解1.倒推法例9.（歐洲古代數(shù)學(xué)趣題）有一籃李子不知其數(shù)，分給甲一半又一個(gè)，分給乙剩下的一半又一個(gè)，分給丙剩下的一半又3個(gè)，李子剛好分完，問原有李子多少個(gè)？1.倒推法例9.（歐洲古代數(shù)學(xué)趣題）有一籃李子不知其數(shù)，分給四、逆反轉(zhuǎn)換，靈活解題2.反客為主：問題元素主次倒置。四、逆反轉(zhuǎn)換，靈活解題2.反客為主：問題元素主次倒置?！?.實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)：是人們根據(jù)科學(xué)研究的目的，運(yùn)用一定的研究手段（器具、儀器或科研設(shè)備），在人為控制、變革或模擬客觀對(duì)象的條件下，通過觀察獲得感性經(jīng)驗(yàn)和科學(xué)事實(shí)的研究方法。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：是為了獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，解決某類數(shù)學(xué)問題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用一定的物