15-16高中數(shù)學(xué)必修31.3-算法案例-第1課時(shí)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

成才之路·數(shù)學(xué)路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索人教A版·必修3第1頁(yè)算法初步第一章第2頁(yè)1.3算法案例第一章第1課時(shí)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)、秦九韶算法第3頁(yè)高效課堂2課時(shí)作業(yè)4優(yōu)效預(yù)習(xí)1當(dāng)堂檢測(cè)3第4頁(yè)優(yōu)效預(yù)習(xí)第5頁(yè)雞兔同籠問(wèn)題是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算法》中一道名題，題目是這么：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？”書中給出解法是：雞有兩只腳，兔有四只腳，把腳數(shù)除以2，共有47對(duì)腳．因?yàn)殡u有1對(duì)腳，兔有2對(duì)腳，所以從47中減去25，得12即為兔子數(shù)．因?yàn)槿缫\子里動(dòng)物每只都只有1對(duì)腳，就會(huì)多出12對(duì)腳來(lái)，把這12對(duì)腳分別加到有2對(duì)腳動(dòng)物身上，就有12只腳動(dòng)物，即兔子數(shù)．整個(gè)解題過(guò)程能夠簡(jiǎn)單地寫作：●知識(shí)銜接第6頁(yè)第7頁(yè)1．輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)(1)輾轉(zhuǎn)相除法．①算法步驟：第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n.第二步，計(jì)算m除以n所得余數(shù)r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝___，則m，n最大條約數(shù)等于m；不然返回第___步．●自主預(yù)習(xí)0二第8頁(yè)②程序框圖如圖所表示．第9頁(yè)③程序：INPUTm，nDOr＝mMODnm＝nn＝rLOOPUNTIL_______PRINT___ENDr＝0m第10頁(yè)(2)更相減損術(shù)．算法步驟：第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是______．若是，用___約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步．第二步，以較大數(shù)___去較小數(shù)，接著把所得差與較小數(shù)比較，并以___數(shù)減___數(shù)．繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得差與減數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)(等數(shù))或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)數(shù)乘積就是所求最大條約數(shù)．偶數(shù)2減大小第11頁(yè)2．秦九韶算法(1)概念：求多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0值時(shí)，慣用秦九韶算法，這種算法運(yùn)算次數(shù)較少，是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)算法，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為求n個(gè)______多項(xiàng)式值，共進(jìn)行___次乘法運(yùn)算和___次加法運(yùn)算．其過(guò)程是：改寫多項(xiàng)式為：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.設(shè)v1＝____________，一次nnanx＋an－1第12頁(yè)v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝___________.vn－1x＋a0第13頁(yè)(2)算法步驟：第一步，輸入多項(xiàng)式次數(shù)n、最高次項(xiàng)系數(shù)an和x值．第二步，將v值初始化為an，將i值初始化為n－1.第三步，輸入i次項(xiàng)系數(shù)ai.第四步，v＝vx＋ai，i＝________.第五步，判斷i是否大于或等于___.若是，則返回第三步；不然，輸出多項(xiàng)式值___.i－10v第14頁(yè)(3)程序框圖如圖所表示．第15頁(yè)(4)程序：INPUT“n＝”；nINPUT“an＝”；aINPUT“x＝”；xv＝ai＝n－1WHILE___________PRINT“i＝”；iINPUT“ai＝”；ai>＝0第16頁(yè)v＝_________i＝i－1WENDPRINT___ENDv*x＋av第17頁(yè)1．用輾轉(zhuǎn)相除法求36與134最大條約數(shù)，第一步是()A．134－36＝98 B．134＝36×3＋26C．先除以2，得到18與67 D．36＝26×1＋10[答案]B[解析]求36與134最大條約數(shù)，第一步是134＝36×3＋26，第二步是36＝26×1＋10，故選D.●預(yù)習(xí)自測(cè)第18頁(yè)2．(·河北省廊坊一中月考)用輾轉(zhuǎn)相除法求294和84最大條約數(shù)時(shí)，需要做除法次數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]本題考查輾轉(zhuǎn)相除法過(guò)程.294＝84×3＋42,84＝42×2，故選B.第19頁(yè)3．設(shè)計(jì)程序框圖，用秦九韶算法求多項(xiàng)式值，所選取結(jié)構(gòu)是()A．次序結(jié)構(gòu) B．條件結(jié)構(gòu)C．循環(huán)結(jié)構(gòu) D．以上都有[答案]D4．用更相減損術(shù)求294和84最大條約數(shù)時(shí)，第一步是________．[答案]用2約簡(jiǎn)[解析]因?yàn)?94和84都是偶數(shù)，先用2約簡(jiǎn)．第20頁(yè)5．(·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5時(shí)值，需做乘法和加法次數(shù)分別是________．[答案]6次乘法，6次加法[解析]將多項(xiàng)式改寫為f(x)＝(((((3x＋2)x＋4)x＋5)x＋7)x＋8)x＋1，化為6個(gè)一次因式求解，故只做了6次乘法和6次加法．第21頁(yè)高效課堂第22頁(yè) 用輾轉(zhuǎn)相除法求80和36最大條約數(shù)，并用更相減損術(shù)檢驗(yàn)所得結(jié)果．[探究]1.輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)主要區(qū)分是什么？2．將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，執(zhí)行輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)步驟即可．輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)應(yīng)用●互動(dòng)探究第23頁(yè)[解析]用輾轉(zhuǎn)相除法：80＝36×2＋8，36＝8×4＋4，8＝4×2＋0.故80和36最大條約數(shù)是4.第24頁(yè)用更相減損術(shù)檢驗(yàn)：80－36＝44，44－36＝8，36－8＝28，28－8＝20，20－8＝12，12－8＝4，8－4＝4.故80和36最大條約數(shù)是4.第25頁(yè)

[規(guī)律總結(jié)]更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法都能求兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)，二者區(qū)分與聯(lián)絡(luò)以下表.名稱輾轉(zhuǎn)相除法更相減損術(shù)區(qū)分①以除法為主．②兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)運(yùn)算次數(shù)較少．③相除余數(shù)為零時(shí)得結(jié)果.①以減法為主．②兩個(gè)整數(shù)差值較大時(shí)，運(yùn)算次數(shù)較多．③相減，兩數(shù)相等得結(jié)果．④相減前要做是否都是偶數(shù)判斷．聯(lián)絡(luò)①都是求最大條約數(shù)方法．②二者實(shí)質(zhì)都是逆歸過(guò)程．③二者都要用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn).第26頁(yè)(1)用輾轉(zhuǎn)相除法求288與123最大條約數(shù)．(2)用更相減損術(shù)求57與93最大條約數(shù)．(3)求567與405最小公倍數(shù)．[解析](1)288＝123×2＋42,123＝42×2＋39，42＝39×1＋3,39＝3×13，∴288和123最大條約數(shù)是3.(2)(93,57)―→(36,57)―→(36,21)―→(15,21)―→(15,6)―→(9,6)―→(3,6)―→(3,3)，∴93與57最大條約數(shù)是3.第27頁(yè)

(3)567＝405×1＋162405＝162×2＋81162＝81×2＋0∴81是567與405最大條約數(shù)，從而567與405最小公倍數(shù)為567×405÷81＝2835.第28頁(yè) (1)(·三明高一檢測(cè))用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1，當(dāng)x＝0.4時(shí)值時(shí)，需要做乘法和加法次數(shù)分別是()A．6,6 B．5,6C．5,5 D．6,5(2)已知一個(gè)五次多項(xiàng)式f(x)＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1，用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x＝3是值．用秦九韶算法求多項(xiàng)式值第29頁(yè)[探究]1.用秦九韶算法求多項(xiàng)式值時(shí)，幾次多項(xiàng)式就做幾次乘法運(yùn)算，對(duì)嗎？2．用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0在x＝x0時(shí)值時(shí)，v0是什么？v1呢？[解析](1)將多項(xiàng)式改寫成以下形式f(x)＝(((((3x＋4)x＋5)x＋6)x＋7)x＋8)x＋1，顯然，把x＝0.4代入計(jì)算其值時(shí)，共做了6次乘法，6次加法．第30頁(yè)(2)因?yàn)閒(x)＝((((2x＋0)x－4)x＋3)x－5)x＋1，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，所以f(3)＝391.[答案](1)A(2)391第31頁(yè)[規(guī)律總結(jié)]用秦九韶算法時(shí)要正確將多項(xiàng)式形式進(jìn)行改寫，然后由內(nèi)向外依次計(jì)算．當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)中間出現(xiàn)空項(xiàng)時(shí)，要以系數(shù)為零齊次項(xiàng)補(bǔ)充．第32頁(yè)用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x當(dāng)x＝3時(shí)值．[探究]處理本題首先需要將原多項(xiàng)式化成f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x形式，其次再搞清v0，v1，v2，…，v7分別是多少，再針對(duì)這些式子進(jìn)行計(jì)算．第33頁(yè)[解析]f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，所以有v0＝7；v1＝7×3＋6＝27；v2＝27×3＋5＝86；v3＝86×3＋4＝262；v4＝262×3＋3＝789；v5＝789×3＋2＝2369；v6＝2369×3＋1＝7108；v7＝7108×3＝21324.故當(dāng)x＝3時(shí)，多項(xiàng)式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x值為21324.第34頁(yè) 試用輾轉(zhuǎn)相除法求325、130、270最大條約數(shù)．[探究]應(yīng)用輾轉(zhuǎn)相除法去除，即依據(jù)m＝nq＋r重復(fù)執(zhí)行，直到r＝0為止．求多個(gè)數(shù)最大條約數(shù)●探索延拓第35頁(yè)[解析]∵325＝130×2＋65,130＝65×2，∴325與130最大條約數(shù)是65.∵270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝65×2，∴65與270最大條約數(shù)是5，故325、130、270三個(gè)數(shù)最大條約數(shù)為5.

[規(guī)律總結(jié)]了解輾轉(zhuǎn)相除法實(shí)質(zhì)，從計(jì)算結(jié)果上看，輾轉(zhuǎn)相除法是以相除余數(shù)為零而得到結(jié)果．第36頁(yè)求三個(gè)數(shù)175,100,75最大條約數(shù)．[探究]求三個(gè)數(shù)最大條約數(shù)時(shí)，能夠先求出其中兩個(gè)數(shù)最大條約數(shù)，再求這個(gè)最大條約數(shù)與第三個(gè)數(shù)最大條約數(shù)，所得結(jié)果就是這三個(gè)數(shù)最大條約數(shù)．第37頁(yè)[解析]先求175與100最大條約數(shù)：175＝100×1＋75,100＝75×1＋25，75＝25×3，∴175與100最大條約數(shù)是25.再求25與75最大條約數(shù)：75－25＝50,50－25＝25，∴75和25最大條約數(shù)是25.∴175,100,75最大條約數(shù)是25.[點(diǎn)評(píng)]本題解法能夠推廣到求多個(gè)數(shù)最大條約數(shù)，只需依次計(jì)算即可．第38頁(yè) 已知f(x)＝3x4＋2x2＋4x＋2，利用秦九韶算法求f(－2)值．[錯(cuò)解]f(x)＝((3x2＋2)x＋4)x＋2，v1＝3×(－2)2＋2＝14；v2＝14×(－2)＋4＝－24；v3＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.[錯(cuò)因分析]所求f(－2)值是正確，不過(guò)錯(cuò)解中沒(méi)有抓住秦九韶算法原理關(guān)鍵，正確改寫多項(xiàng)式，并使每一次計(jì)算只含有一次項(xiàng)．●誤區(qū)警示第39頁(yè)[正解]f(x)＝3x4＋0·x3＋2x2＋4x＋2＝(((3x＋0)x＋2)x＋4)x＋2，v0＝3，v1＝3×(－2)＋0＝－6；v2＝－6×(－2)＋2＝14；v3＝14×(－2)＋4＝－24；v4＝－24×(－2)＋2＝50.故f(－2)＝50.第40頁(yè)(·貴陽(yáng)高一檢測(cè))用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4值時(shí)，v3值為_(kāi)_______．[答案]－57第41頁(yè)[解析]多項(xiàng)式變形為f(x)＝3x6＋5x5＋6x4＋79x3－8x2＋35x＋12＝(((((3x＋5)x＋6)x＋79)x－8)x＋35)x＋12，當(dāng)x＝－4時(shí)，v0＝3，v1＝3×(－4)＋5＝－7，v2＝－7×(－4)＋6＝34，v3＝34×(－4)＋79＝－57，v4＝－57×(－4)－8＝220，v5＝220×(－4)＋35＝－845，v6＝－845×(－4)＋12＝3392.第42頁(yè)當(dāng)堂檢測(cè)第43頁(yè)1．以下相關(guān)輾轉(zhuǎn)相除法說(shuō)法正確是()A．它和更相減損術(shù)一樣是求多項(xiàng)式值一個(gè)方法B．基本步驟是用較大數(shù)m除以較小數(shù)n得到除式m＝nq＋r，直至r<n為止C．基本步驟是用較大數(shù)m除以較小數(shù)n得到除式m＝qn＋r(0≤r<n)重復(fù)進(jìn)行，直到r＝0為止D．以上說(shuō)法均不正確[答案]C第44頁(yè)2．更相減損術(shù)理論依據(jù)是()A．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)含有相同最小公倍數(shù)B．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)含有相同最大條約數(shù)C．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)最小公倍數(shù)不一樣D．每次操作所得兩數(shù)和前兩數(shù)最大條約數(shù)不一樣[答案]B第45頁(yè)3．用更相減損術(shù)求123與51最大條約數(shù)時(shí)，需做減法次數(shù)是()A．3 B．5C．6 D．8[