定積分習(xí)題課省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第1頁(yè)1問題1:曲邊梯形面積問題2:變速直線運(yùn)動(dòng)旅程存在定理廣義積分定積分定積分性質(zhì)定積分計(jì)算法牛頓-萊布尼茨公式一、主要內(nèi)容第2頁(yè)21、問題提出實(shí)例1（求曲邊梯形面積A）第3頁(yè)3實(shí)例2（求變速直線運(yùn)動(dòng)旅程）方法:分割、近似、求和、取極限.第4頁(yè)42、定積分定義定義第5頁(yè)5記為第6頁(yè)6可積兩個(gè)充分條件：定理1定理23、存在定理第7頁(yè)74、定積分性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3第8頁(yè)8性質(zhì)5推論：（1）（2）性質(zhì)4第9頁(yè)9性質(zhì)7(定積分中值定理)性質(zhì)6積分中值公式第10頁(yè)105、牛頓—萊布尼茨公式定理1定理2（原函數(shù)存在定理）第11頁(yè)11定理3（微積分基本公式）也可寫成牛頓—萊布尼茨公式第12頁(yè)126、定積分計(jì)算法換元公式（1）換元法（2）分部積分法分部積分公式第13頁(yè)13７、廣義積分(1)無窮限廣義積分第14頁(yè)14(2)無界函數(shù)廣義積分第15頁(yè)15二、與定積分概念相關(guān)問題解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分相關(guān)問題第16頁(yè)16三、相關(guān)定積分計(jì)算和證實(shí)方法1.熟練利用定積分計(jì)算慣用公式和方法2.注意特殊形式定積分計(jì)算3.利用各種積分技巧計(jì)算定積分4.相關(guān)定積分命題證實(shí)方法思索:以下作法是否正確?第17頁(yè)17四、經(jīng)典例題(1)例1.求例2.

求例3.預(yù)計(jì)以下積分值例4.證實(shí)例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式明對(duì)于任何第18頁(yè)18例1.求解:因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得第19頁(yè)19因?yàn)橐蕾囉谇?)思索例1以下做法對(duì)嗎?利用積分中值定理,原式不對(duì)!說明:2)這類問題放大或縮小時(shí)普通應(yīng)保留含參數(shù)項(xiàng).如,P265題4第20頁(yè)20解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：已知利用夾逼準(zhǔn)則可知(考研98)例2.求第21頁(yè)21思索:提醒:由上題故第22頁(yè)22練習(xí):1.求極限解：原式2.

求極限提醒：原式左邊=右邊第23頁(yè)23例3.預(yù)計(jì)以下積分值解:因?yàn)椤嗉吹?4頁(yè)24例4.證實(shí)證:令則令得故第25頁(yè)25例5.設(shè)在上是單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證實(shí)：顯然時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時(shí),故所給不等式成立.明:對(duì)于任何第26頁(yè)26四、經(jīng)典例題(2)例6例7例8例9例10例11.

選擇一個(gè)常數(shù)

c,使例12例13第27頁(yè)27例6解第28頁(yè)28例7解第29頁(yè)29例8解第30頁(yè)30例9解令第31頁(yè)31例10解第32頁(yè)32例11.

選擇一個(gè)常數(shù)c

,使解:令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.第33頁(yè)33例12解是偶函數(shù),第34頁(yè)34例13.

設(shè)解:

第35頁(yè)35四、經(jīng)典例題(3)例14例15例16第36頁(yè)36例14證第37頁(yè)37例15證作輔助函數(shù)第38頁(yè)38第39頁(yè)39例16解(1)第40頁(yè)40(2)第41頁(yè)41四、經(jīng)典例題(4)且由方程確定y是x函數(shù),求例17.例18.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足例19.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程例20.

證實(shí)恒等式第42頁(yè)42例17.解：且由方程確定y是x函數(shù),求方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得令x=1,

得再對(duì)y

求導(dǎo),得故第43頁(yè)43例18.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足解:等式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得不妨設(shè)f(x)≠0,則第44頁(yè)44注意f(0)=0,得第45頁(yè)45例19.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程解:令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①再求導(dǎo):第46頁(yè)46例20.

證實(shí)恒等式證:令則所以又故所證等式成立.第47頁(yè)47例21.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)最少存在一點(diǎn)第48頁(yè)48證實(shí):

令在上連續(xù),在最少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號(hào),所以故所證等式成立.故由羅爾定理知,存在一點(diǎn)第49頁(yè)49思索:

本題能否用柯西中值定理證實(shí)?假如能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提醒:設(shè)輔助函數(shù)第50頁(yè)50例22.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

(3)在(a,b)內(nèi)存在與

相異點(diǎn)

,

使(03考研)第51頁(yè)51證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,所以(2)設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在第52頁(yè)52即(3)因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得所以得第53頁(yè)5323.(01，Ⅳ)設(shè)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且滿足證實(shí)：存在，使得24.(01，Ⅱ)設(shè)則極限25.(04，Ⅱ)設(shè)則√第54頁(yè)5426.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上圖形為：1-2023-1O則函數(shù)圖形為（）0231-2-110231-2-110231-110231-2-11

..第55頁(yè)55連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上圖形分別是直