數(shù)學(xué)人教A版選修2-2教材習(xí)題點(diǎn)撥2.1合情推理與演繹推理

教材習(xí)題點(diǎn)撥教材習(xí)題解答(探究)類比圓的特征，填寫表2－1中球的相關(guān)特征，并說(shuō)說(shuō)推理的過(guò)程．表2－1圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓的周長(zhǎng)圓的面積圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)以點(diǎn)(x0，y0)為圓心，r為半徑的圓的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2解：思維過(guò)程是：將球與圓作類比，發(fā)現(xiàn)球存在一些與圓類似的特征(如都具有完美的對(duì)稱性，都是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合)，而已經(jīng)知道圓的一些已知特征，由此可以推測(cè)球的類似特征．由于圓是平面內(nèi)的基本圖形，而球是空間中的基本圖形，所以在將圓的基本特征推廣為球的類似特征時(shí)，要將涉及的平面元素推廣為相應(yīng)的空間元素．例如，平面內(nèi)長(zhǎng)度(周長(zhǎng))、面積、角等平面元素推廣到空間一般為面積(表面積)、體積、二面角等空間元素．解答如下(表2－1)：表2－1圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓的周長(zhǎng)球的表面積圓的面積球的體積圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不經(jīng)過(guò)球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩個(gè)截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個(gè)截面圓面積不等，距球心較近的截面圓面積較大以點(diǎn)P(x0，y0)為圓心，r為半徑的圓的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2以點(diǎn)P(x0，y0，z0)為球心，r為半徑的球的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2(問(wèn)題)這個(gè)結(jié)論是正確的嗎？請(qǐng)同學(xué)們自己證明．答：結(jié)論是正確的．即：四面體PDEF中，△PEF，△PDE，△PDF，△DEF的面積分別為S，S3，S2，S1，如果PD⊥DE，PD⊥DF，DE⊥DF，則有S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3).證明：由題意知PD⊥面DEF，△PDE，△PDF，△DEF均為直角三角形，作DM⊥EF且交EF于點(diǎn)M，連接PM，則EF⊥平面PDM，PM⊥EF.于是Seq\o\al(2,3)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,1)＝(eq\f(1,2)×PD×DE)2＋(eq\f(1,2)×PD×DF)2＋(eq\f(1,2)×DM×EF)2＝eq\f(1,4)×PD2×(DE2＋DF2)＋eq\f(1,4)×DM2×EF2＝eq\f(1,4)×PD2×EF2＋eq\f(1,4)×DM2×EF2＝eq\f(1,4)×EF2×(PD2＋DM2)＝eq\f(1,4)×EF2×PM2＝S2.練習(xí)11．解：由a1＝a2＝a3＝a4＝1，猜想an＝1.點(diǎn)撥：利用歸納推理進(jìn)行猜想，本題答案不唯一．2．解：相鄰兩行數(shù)之間的關(guān)系是：每一行首尾的數(shù)都是1，其他的數(shù)都等于上一行中與之相鄰的兩個(gè)數(shù)的和．3．解：設(shè)和分別是四面體和四面體的體積，則.教材問(wèn)題解答(思考)你能再舉出一些用“三段論”推理的例子嗎？答：(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，把水加熱到100(2)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞1)為增函數(shù)，而y＝log2x為對(duì)數(shù)函數(shù)且2＞1，故y＝log2x為增函數(shù)．(3)所有偶函數(shù)的圖象均關(guān)于y軸對(duì)稱，而y＝x2＋|x|為偶函數(shù)，故y＝x2＋|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(問(wèn)題)還有其他的證明方法嗎？答：利用定義證明．設(shè)x1＜x2＜1，則f(x2)－f(x1)＝(－xeq\o\al(2,2)＋2x2)－(－xeq\o\al(2,1)＋2x1)＝－(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＋2(x2－x1)＝－(x2－x1)(x2＋x1)＋2(x2－x1)＝(x2－x1)[2－(x1＋x2)]．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1＜x2＜1，∴x1＋x2＜2，∴2－(x1＋x2)＞0.于是(x2－x1)[2－(x1＋x2)]＞0，∴f(x2)＞f(x1)，因此函數(shù)f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1)內(nèi)是增函數(shù)．練習(xí)21．(1)大前提：太陽(yáng)系的行星都以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行，小前提：天王星是太陽(yáng)系的行星，結(jié)論：天王星以橢圓形軌道繞太陽(yáng)運(yùn)行．(2)大前提：一切奇數(shù)都不能被2整除，小前提：(2100＋1)是奇數(shù)，結(jié)論：(2100＋1)不能被2整除．(3)大前提：三角函數(shù)都是周期函數(shù)，小前提：tanα是三角函數(shù)，結(jié)論：tanα是周期函數(shù)．(4)大前提：兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，小前提：∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，結(jié)論：∠A＋∠B＝180°.2．證明：因?yàn)橥?xiàng)公式為an的數(shù)列{an}，若eq\f(an＋1,an)＝p，p是非零常數(shù)，則{an}是等比數(shù)列；又因?yàn)閏q≠0，則q是非零常數(shù)，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(cqn＋1,cqn)＝q，所以通項(xiàng)公式為an＝cqn(cq≠0)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列．點(diǎn)撥：利用演繹推理證明．3．解：由AD＞BD，得到∠ACD＞∠BCD的推理是錯(cuò)誤的．因?yàn)檫@個(gè)推理的大前提是“在同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD與BD不在同一個(gè)三角形中．點(diǎn)撥：利用三段論的形式分析．A組1．解：∵a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,2＋an)(n∈N*)，∴a2＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2×\f(2,3),2＋\f(2,3))＝eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，a4＝eq\f(2×\f(1,2),2＋\f(1,2))＝eq\f(2,5)，…，猜想：an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*)．2．解：F＋V＝E＋2.3．解：當(dāng)n≤6時(shí)，2n－1＜(n＋1)2；當(dāng)n＝7時(shí)，2n－1＝(n＋1)2；當(dāng)n≥8時(shí)，2n－1＞(n＋1)2(n∈N*)．4．解：eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)(n＞2，且n∈N*)．點(diǎn)撥：在△ABC中，eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)；在四邊形中，eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)；在五邊形中，eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)；在n邊形A1A2…An中，有eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π).5．解：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，且n∈N*)．6．證明：如圖，作DE∥AB交BC于E.因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，又AD∥BE，AB∥DE，所以ABED是平行四邊形．因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，又四邊形ABED是平行四邊形，所以AB＝DE.因?yàn)榕c同一條線段等長(zhǎng)的兩條線段的長(zhǎng)度相等，又AB＝DE，AB＝DC，所以DE＝DC.因?yàn)榈妊切蔚膬傻捉鞘窍嗟鹊模帧鱀EC是等腰三角形，所以∠DEC＝∠C.因?yàn)槠叫芯€的同位角相等，又∠DEC與∠B是平行線AB和DE的同位角，所以∠DEC＝∠B.因?yàn)榈扔谕唤堑膬蓚€(gè)角是相等的，又∠DEC