第七節(jié)數(shù)學的全面繁榮省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

第六節(jié)：數(shù)學全方面繁榮一、解析幾何創(chuàng)建二、微積分誕生三、概率論建立四、非歐幾何學出現(xiàn)第1頁本節(jié)教學目標和要求1.了解近代資本主義大工業(yè)建立對近代數(shù)學推進作用；2.了解解析幾何創(chuàng)建在數(shù)學史上劃時代意義；3.全方面認識微積分發(fā)展線索，重點了解牛頓和萊布尼茲各自建立微積分過程和特點；4.深入把握非歐幾何學創(chuàng)建過程，著重了解科學發(fā)展內(nèi)在邏輯。第2頁近代變量數(shù)學發(fā)展線索解析幾何非歐幾何-----拓撲學微積分（牛頓、萊布尼茲）-----分析類分支概率統(tǒng)計第3頁變量數(shù)學興起數(shù)學中轉(zhuǎn)折點是笛卡兒變數(shù).有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了……在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分發(fā)覺那樣被看作人類精神最高勝利了，假如在某個地方我們看到人類精神純粹和唯一功勞，那正是在這里。——恩格斯第4頁一、解析幾何創(chuàng)建在17世紀，數(shù)學科學發(fā)生了根本性轉(zhuǎn)折，這種轉(zhuǎn)折實質(zhì)上是由社會生產(chǎn)力急速發(fā)展所引發(fā)。數(shù)學根本性轉(zhuǎn)折之一是解析幾何誕生。解析幾何創(chuàng)始人是笛卡兒和費馬.他們都對歐氏幾何不足表示不滿:古代幾何過于抽象,過多地依賴于圖形.他們代數(shù)也批評代數(shù)過于受法則和公式約束,缺乏直觀.同時,他們都認識到幾何學提供了相關(guān)真實世界知識和真理,而代數(shù)學能用來對抽象未知量進行推理,代數(shù)學是一門潛在方法科學.所以,把代數(shù)學和幾何學中一切精華東西結(jié)合起來,能夠取長補短.這么一來,一門新科學誕生了。第5頁一、解析幾何創(chuàng)建解析幾何學是由法國費馬（1601－1665）和笛卡爾（1596—1650）各自獨立創(chuàng)建。費馬把代數(shù)學利用于幾何學，采取在一個坐標系中以一系列數(shù)字表示一條曲線軌跡方法。費馬成就在其逝世后才發(fā)表。費馬笛卡爾第6頁笛卡兒理論笛卡兒解析幾何學成就表達在其1637年發(fā)表《方法論》中，以兩個思想為基礎:一個是坐標思想；另一個是方程與曲線思想，即兩個未知數(shù)表示某個代數(shù)方程能夠看成平面上一條曲線；反之，一條曲線能夠用曲線上任意點（x,y）坐標之間方程關(guān)系來表示。笛卡兒對幾何問題應用了代數(shù)方法:研究幾何軌跡問題，提出在由兩條直線組成平面坐標系里幾何圖形都能夠轉(zhuǎn)化成一個二元方程，這么平面幾何學問題就都能夠用代數(shù)學方法加以處理。解析幾何精華在于把幾何曲線用代數(shù)方程來表示,同時又用代數(shù)研究方法來研究幾何。第7頁殊途同歸費馬從代數(shù)方程出發(fā)來尋找其軌跡，笛卡爾則從軌跡出發(fā)來尋找其代數(shù)方程，是數(shù)學發(fā)展殊途同歸。過去數(shù)學只能描寫一些確定、不改變量，解析幾何學使得變量描述成為可能，這是數(shù)學發(fā)展史上一次質(zhì)飛躍。第8頁解析幾何出現(xiàn)后很快，微積分也被發(fā)覺了。能夠說，微積分不但是數(shù)學偉大發(fā)覺，也為近代科學開辟了光明道路；微積分不但是17世紀偉大發(fā)覺，而且是世界人類文明史上最為光芒燦爛發(fā)覺。二、微積分誕生第9頁十六、十七世紀科學和生產(chǎn)中面臨大量主要問題，促進了微積分誕生與發(fā)展。微積分起源是科學發(fā)展對數(shù)學要求必定：速度、距離、重心；切線、長度、面積、體積；極值問題等等。速度微分距離積分二、微積分誕生第10頁微積分發(fā)展歷史足跡

古希臘時代偉大數(shù)學家、力學家阿基米德，我國古代著名數(shù)學家劉徽，祖沖之、祖暅父子等為積分思想形成和發(fā)展做出了主要貢獻，他們工作領先了歐洲數(shù)學家工作一千多年。16，17世紀是微積分思想發(fā)展最為活躍時期，其出色代表有伽利略、開普勒、卡瓦列里、費馬、巴羅，等。他們工作為牛頓、萊布尼茲(GottfriedWilhelmLeibniz1646-1716，)創(chuàng)建微積分理論奠定了基礎。第11頁牛頓微積分

牛頓在17世紀60年代創(chuàng)建了微積分，他稱之為《流數(shù)術(shù)》，其基本原理是把數(shù)學中量看作是由連續(xù)軌跡運動產(chǎn)生，不再看作是由無窮小元素組成。牛頓使用了無窮小增量，但對這個概念沒有給出明確要求和嚴格數(shù)學證實。第12頁微分與積分:無窮級數(shù)形式微積分應用

牛頓求積分:二項式定理牛頓微積分第13頁萊布尼茲微積分萊布尼茲于1684年發(fā)表了微積分結(jié)果，他稱之為求差方法和求和方法。其基本思想是把一條曲線下面面積分割成許多小矩形，矩形與曲線之間微小直角三角形兩邊分別是曲線相鄰兩點縱坐標和橫坐標之差，當這兩個差無限減小時，曲線上相鄰兩點便無限靠近。連接這么兩點就得出曲線在該點切線，就是求差方法。求差反面就是求和。第14頁萊布尼茲微積分第15頁微積分創(chuàng)造權(quán)之爭牛頓和萊布尼茲關(guān)于微積分創(chuàng)造權(quán)之爭造成英國數(shù)學家與大陸數(shù)學家之間對峙，學術(shù)上形成門戶之見，嚴重地妨礙了科學進步，應引認為鑒。牛頓和萊布尼茲方法都是建立在一個未加嚴格定義無窮小增量基礎之上，盡管該方法在應用中非常有效，但其數(shù)學基礎并不牢靠，直到19世紀法國柯西（1789—1857）和德國維爾斯特拉斯（1815—1897）等人給出“極限”概念，才為微積分奠定了嚴格基礎?？挛骶S爾斯特拉斯第16頁微積分偉大意義1、微積分改變了數(shù)學研究對象、方式和方法，帶來了數(shù)學空前和持久繁榮興盛！顯示了數(shù)學內(nèi)部辨證統(tǒng)一深刻哲理。2、推進了科學技術(shù)發(fā)展。有了微積分，它就成為了物理學基本語言。其它如力學、天文學、化學等學科都得到了無限推進力。3、對人類物質(zhì)文明作出了巨大貢獻。數(shù)學方法應用和更新，經(jīng)過其它學科對人類進步產(chǎn)生了前所未有作用。第17頁三、概率論建立概率論建立首先是費馬和他同時代帕斯卡功勞，他們經(jīng)過對游戲和賭博中擲骰子考查，從大量偶然性事件中尋求其統(tǒng)計上必定性，從而創(chuàng)建了概率論。第18頁四、非歐幾何學出現(xiàn)為了消除歐氏幾何學第五公設“疵點”，英國高斯、俄國人羅巴切夫斯基、匈牙利人波耶、德國人黎曼分別創(chuàng)建了非歐幾何學，打破了歐氏幾何一統(tǒng)天下，拓寬和深化了人們對空間認識。第19頁公理體系一組公理體系應該含有以下三個性質(zhì)：（1）完備性：就是說使整個學說中要用一切事物都完全可歸結(jié)到公理，使之不存在任何默許其它假定。（2）相容性：從公理不能推出兩個相互矛盾定理。（3）獨立性：任何一個公理都不是另一個公理推論。第20頁歐氏幾何公理體系出現(xiàn)在歐幾里德《集合原本》中，在2200年之后，希爾伯特在《幾何基礎》加以完善。其間，許多數(shù)學家作了許多公理體系完備性工作。然而，令人放心不下是該公理體系中第五公理，即平行公理獨立性問題。因為人們發(fā)覺即使歐幾里德本人也盡可能防止使用它。所以人們開始從三個方面研究平行公理。（1）試圖給出新平行線定義以繞開這個困難；（2）試圖用比平行公理缺點更少其它公理取代它；（等價或包含）（3）試圖用其它公里推出它。第三個問題得到最多研究，不過毫無結(jié)果。第21頁αβ第22頁第五公設證實：非歐幾何萌芽在公設、公理基礎上建立起來歐幾里德幾何學被公認為是數(shù)學嚴格性典范。不過數(shù)學家們同時也感到歐氏幾何中存在著某種瑕疵。其中最讓數(shù)學家們感到不大舒適是第五公設。第五公設所說明事實不象其它幾條那樣顯而易見，缺乏作為一條公設所必須有自明性。人們不懷疑其真實性，但懷疑其作為公設資格。所以許多人試圖來證實第五公設。第23頁非歐幾何創(chuàng)建1792年高斯（CarlFriedrichGauss1777-1855）十五歲時就開始考慮第五公設問題。1816年左右他已取得了非歐幾何基本思想，確信存在一個與歐氏幾何不一樣幾何學。第24頁創(chuàng)始人？不過高斯有一個習慣，在任何情況下，他都把他結(jié)果保密一段時間。所以數(shù)學史上認為首先確立非歐幾何是另外兩位數(shù)學家羅巴切夫斯基和波耶。高斯這么做或許還出于別考慮，主要是為了少招徠愚蠢偏見。因為他說過，“它公開將引發(fā)愚人叫喊”。第一個公開發(fā)表非歐幾何論文羅巴切夫斯基確實付出了相當大代價。第25頁羅巴切夫斯基羅巴切夫斯基NikolaiIvanovichLobachevskii（1793-1856）

大約在1815年開始研究第五公設問題。羅巴切夫斯基以深刻洞察力提出了造成幾何學革命新思想。他大膽預言，由第五公設否命題出發(fā)而得到結(jié)果代表著一個新幾何學。第26頁非歐幾何誕生及其阻力1826年2月11日羅巴切夫斯基在喀山大學物理數(shù)學系會議上宣讀了題為《幾何學原理簡述及平行線定律嚴格證實》論文。在否定第五公理同時，假設其反面之一：“過已知直線外一點，可作多于一條直線與已知直線平行”，建立了一門新幾何學。這是過去年以來重大突破。不過在普通人心目中，甚至數(shù)學家心目中，歐幾里德堡壘是如此堅固。羅巴切夫斯基工作得到是許多數(shù)學大家嘲笑、諷刺。第27頁波耶（1802-1860，JánosBolyai）非歐幾何另一位創(chuàng)始人是匈牙利數(shù)學家波耶。就讀于維也納工學院波耶醉心于第五公設問題。在1820年左右他相信建立一套新幾何學是完全可能。波耶和羅巴切夫斯基所描述非歐幾何習慣上稱為羅巴切夫斯基幾何或雙曲幾何。第28頁羅巴切夫斯基幾何基本特征（1）認可空間是彎曲，任何直線都是曲線，任何平面都是曲面；（2）其所描述空間曲率處處等于一個非零常數(shù)；就是說空間處處一樣彎，而且是均勻；（3）認為平面上過一點能夠作無數(shù)條直線和一已知直線不相交，它們和已知直線都不能保持同一距離；（4）三角形三內(nèi)角之和小于180度；（5）圓周長與半徑不成百分比，而是比半徑增加得快。第29頁黎曼

BernhardRiemann

1826-1866非歐幾何在創(chuàng)建后三、四十年間完全被學術(shù)界忽略，直到十九世紀中期，黎曼工作造成了突破。第30頁黎曼空間黎曼在高斯指導下進行研究。黎曼認為，非歐幾何不但僅只有一個。他推廣了曲面高斯曲率，建立起黎曼空間曲率概念。在普通黎曼空間中，空間每一點曲率是不一樣，也就是說黎曼空間本質(zhì)上是不均勻。第31頁黎曼曲率為常數(shù)在黎曼曲率為常數(shù)特殊情況下，空間分為三種類型：（1）零曲率空間，即歐氏幾何空間；（2）負曲率空間，即羅氏幾何空間；（3）正曲率空間，即狹義黎曼幾何空間或稱橢圓幾何空間。歐氏幾何和羅氏幾何成了更為普通黎曼幾何特例。第32頁黎曼幾何特征在黎曼幾何中歐幾里德第五公設被替換為：經(jīng)過已知直線外一點，不能畫一條直線與已知直線平行。作為推論，在黎曼空間中，經(jīng)過兩點能夠畫無窮多條直線；不存在無限長直線概念；三角形三內(nèi)角之和總大于180度。第33頁只有一位聽眾懂1854年黎曼做了題為《關(guān)于作為幾何學基礎假設》就職講演，在這個講演中正式提出和建立了黎曼幾何。講演題目是高斯指定。他聽眾中除了年邁高斯之外沒有一個人聽得懂他在說些什么。黎曼講演在他死后兩年即1868年出版。第34頁非歐幾何地位確實立同一年(1868)意大利數(shù)學家貝爾特拉米（Beltrami，1835-1899）給出了羅氏幾何一個歐幾里德解釋；克萊因（Klein，1849-1925）在1870年給出了另一個更直觀模型，使得原來似乎復雜和難以接收思想變得易于了解了。以貝爾特拉米和克萊因工作為契機，非歐幾何在數(shù)學領域地位才牢靠地確立起來。第35頁1、處理了平行公理獨立性問題。推進了普通公理體系獨立性、相容性、完備性問題研究，促進了數(shù)學基礎這一更為深刻數(shù)學分支形成與發(fā)展。2、證實了對公理方法本身研究能推進數(shù)學發(fā)展，理性思維和對嚴謹、邏輯和完美追求，推進了科學進步。在數(shù)學內(nèi)部，各分支紛紛建立了自己公理體系，包含被公認為最困難概率論也在20世紀30年代建立自己公理體系。實際上公理化研究又孕育了元數(shù)學產(chǎn)生和發(fā)展。非歐幾何產(chǎn)生重大意義第36頁3、非歐幾何實際上預示了相對論產(chǎn)生，就象微積分預示了人造衛(wèi)星一樣。非歐幾何與相對論和匯合是科學史上劃時代事件。人們都認為是愛因斯坦創(chuàng)建了相對論，不過，可能愛因斯坦更清楚，是他和一批數(shù)學家等共同工作。出現(xiàn)動鐘延緩，動尺縮短，時空彎曲等現(xiàn)象。這些都是非歐幾何與相對論科學發(fā)覺。

非歐幾