運(yùn)動路徑參考答案

第第#頁(共12頁).\O2P=O2B=^2,當(dāng)P［與D重合，則P^=2,則APE=8,.??0FE=4.~2,ODP上.~2,.??H□□歸BO歸.瓦?.O2OD=4~2E=3.瓦故答案為：3.瓦點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識,根據(jù)已知得出G點移動的路線是解題關(guān)鍵.5.(2014D義烏市)等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點E,F,連接AF,BE相交于點P.若AE=CF；求證：AF=BE,并求ZAPB的度數(shù)；若AE=2，試求APDAF的值；若AF=BE，當(dāng)點E從點A運(yùn)動到點C時，試求點P經(jīng)過的路徑長.考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).專題：證明題；壓軸題；動點型.分析：(1)①證明△ABE^^CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求彳理的比值，即可以AF得到答案.當(dāng)點F靠近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中

點的時候，點P經(jīng)過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案.點F靠近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度；解答：（1）證明：?「△ABC為等邊三角形，.??AB=AC,ZC=ZCAB=60°,又?.?AE=CF,在厶ABE和厶CAF中，rAB=AC\ZBAE^ZACF，（AE二CF.?.△ABE9ACAF（SAS），AAF=BE，ZABE=ZCAF.又VZAPE=ZBPF=ZABP+ZBAP，???ZAPE=ZBAP+ZCAF=60°..??ZAPB=180°-ZAPE=120°.VZC=ZAPE=60°，ZPAE=ZCAF,.?.AAPEsAaCF,...聖里，即聖，所以apAF=12ACAF6AF（2）若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.當(dāng)AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點的時候,點P經(jīng)過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，且ZABP=ZBAP=30°,.??ZAOB=120°,又VAB=6,OA=2.3,ISO■180—3"點P的路徑就是過點ISO■180—3"點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度；因為等邊三角形當(dāng)AE=BF時，ABC的邊長為6,所以點P的路徑為：二3.去點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.6.（2014連云港）某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點問題進(jìn)行探究，已知AB=8.

問題思考：如圖1,點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF.當(dāng)點P運(yùn)動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值.分別連接AD、DF、AF,AF交DP于點K,當(dāng)點P運(yùn)動時，在厶APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由.問題拓展：如圖2,以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動，且PQ=8.若點P從點A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點D運(yùn)動，求點P從A到D的運(yùn)動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長.如圖3，在問題思考中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1,點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運(yùn)動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.考點：四邊形綜合題.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)設(shè)AP=x,則PB=8-x,根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個正方形面積之和=x2+(8-x)2,配方得到2(x-4)2+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解.根據(jù)PE〃BF求得PK=，進(jìn)而求得DK=PD-PK=a-8汨(只一丹)2=，然后根據(jù)面積公式即可求得.88本問涉及點的運(yùn)動軌跡.PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90。的圓弧，如答圖3所示；本問涉及點的運(yùn)動軌跡.GH中點O的運(yùn)動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖4-1所示；然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值，如答圖4-2所示.解答：解:(1)當(dāng)點P運(yùn)動時，這兩個正方形的面積之和不是定值.設(shè)AP=x,貝9PB=8-x,根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,所以當(dāng)x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32.(2)存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與厶DFK.

依題意畫出圖形，如答圖2所示.依題意畫出圖形，如答圖2所示.答圖2設(shè)AP=a,則PB=BF=8-a.?.?PE〃BF,?FK」P即PK二已.a(8-a).??PK—8???DK=PD_PK=a「上,88???S"pk=*PKpa冷???S"pk=*PKpa冷a(8-a)a2(8_aa—，dfk氣DKEF十首（8a、a2(8-a)_a)=16APK=?DFK（3）當(dāng)點P從點A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點D運(yùn)動時，不妨設(shè)點Q在DA邊上，若點P在點A,點Q在點D,此時PQ的中點O即為DA邊的中點；若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A.此時在RtAAPQ中，O為PQ的中點，所以A0#jPQ=4.■￡j所以點O在以A為圓心，半徑為4,圓心角為90°的圓弧上.PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：所以PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為：魚x24=6.點O所經(jīng)過的路徑長為3,OM+OB的最小值為：亍叵.如答圖4-1,分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T,則四邊形GRTH為梯形.AMRPSTNBAMRPSTNB答g4-l???點O為中點，.?.OS」(GR+HT)=-(AP+PB)=4,即OS為定值.22???點O的運(yùn)動路徑在與AB距離為4的平行線上.???MN=6，點P在線段MN上運(yùn)動，且點O為GH中點，???點O的運(yùn)動路徑為線段XY,XY」MN=3,XY〃AB且平行線之間距離為4,點X2與點A、點Y與點B之間的水平距離均為2.5.如答圖4-2,作點M關(guān)于直線XY的對稱點M,連接BM,與XY交于點O.t-答圏4-2答圏4-2由軸對稱性質(zhì)可知，此時OM+OB=BM最小.在RtABMM中，MM=2x4=8,BM=7,由勾股定理得