2022-2023學(xué)年湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合，再由交集求解即可.【詳解】，則.故選：B.2．下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與的定義域和值域相同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函數(shù)的定義域和值域，逐一驗(yàn)證即得.【詳解】函數(shù)的定義域和值域均為.對(duì)于選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；?duì)于選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；?duì)于選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，值域?yàn)?；?duì)于選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，值域?yàn)?故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域、值域，屬于基礎(chǔ)題.3．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，寫出全稱命題的否定，根據(jù)其真假性以及一元二次方程的性質(zhì)，可得答案.【詳解】命題“”為假命題，”是真命題，方程有實(shí)數(shù)根，則，解得，故選：A.4．已知中，，則等于（

）A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°【答案】D【分析】由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，即，又由，所以，且，所以或，故選：D.5．已知非零向量，，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合向量的模的定義，數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律判斷.【詳解】若，則，，所以“”是“”成立的必要條件，若，則，，當(dāng)，時(shí)，，成立，但.所以，“”不是“”成立的充分條件，所以“”是“”成立的必要不充分條件，故選：B.6．已知函數(shù)的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分三步進(jìn)行圖像變換①關(guān)于y軸對(duì)稱②向右平移1個(gè)單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话搿驹斀狻竣訇P(guān)于y軸對(duì)稱②向右平移1個(gè)單位③縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话牍蔬x：C.7．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）①時(shí)，的最大值為；②時(shí)，方程在上有且只有三個(gè)不等實(shí)根；③時(shí)，為奇函數(shù)；④時(shí)，的最小正周期為A．①② B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷命題①，結(jié)合平方關(guān)系，正弦函數(shù)性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式求方程的解，判斷命題②，根據(jù)奇函數(shù)的定義及正弦函數(shù)和余弦函數(shù)性質(zhì)判斷命題③，根據(jù)三角恒等變換及余弦型函數(shù)的周期公式判斷命題④，由此可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的最大值為，命題①為真命題；當(dāng)時(shí)，，方程可化為，當(dāng)時(shí)，，故，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得方程在上有兩個(gè)解，當(dāng)時(shí)，原方程可化為，方程在上無解，所以方程在上有且只有兩個(gè)不等實(shí)根；命題②為假命題；當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以不為奇函數(shù)，命題③為假命題；當(dāng)時(shí)，，所以的最小正周期為，命題④正確；故選：D.8．已知函數(shù)．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且在至多有2個(gè)實(shí)根，則的最大值為（

）A．10 B．14 C．15 D．18【答案】A【解析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，求出后，再利用換元法，求出在至多有2個(gè)實(shí)根時(shí)，的取值范圍，從而得到的最大值.【詳解】由題意，得為的圖象的對(duì)稱中心，直線為的圖象的一條對(duì)稱軸，所以，兩式相加得，又因?yàn)?，所以，代入，得，因?yàn)闀r(shí)，，即由已知可得，至多有2個(gè)實(shí)根，即，由此可得，又因?yàn)?，所以時(shí)的最大值為10，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要注意三角函數(shù)的周期性特點(diǎn)，同時(shí)要注意換元法的靈活運(yùn)用.二、多選題9．鈍角的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，且，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分析可知為鈍角，利用余弦定理結(jié)合三角形三邊關(guān)系可得出的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，且，則，因?yàn)闉殁g角三角形，故為鈍角，且，解得，由三角形三邊關(guān)系可得，則，故，故選：BC.10．已知函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)為奇函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0D．設(shè)，則的解集為【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，利用奇偶性，單調(diào)性，依次分析選項(xiàng)是否正確，即可得到答案【詳解】對(duì)于A：，定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C：，，都為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，在區(qū)間上的最大值與最小值互為相反數(shù)，必有在區(qū)間上的最大值與最小值之和為0，故C正確；對(duì)于D：，則在上為減函數(shù)，，則在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，若即，則必有，解得，即的解集為，故D正確；故選：BCD11．如圖所示，設(shè)單位圓與軸的正半軸相交于點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）A．的長(zhǎng)度為B．扇形的面積為C．當(dāng)與重合時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最大值為【答案】ACD【分析】利用弧長(zhǎng)公式判斷A，利用扇形面積公式判斷B，利用銳角三角函數(shù)判斷C，根據(jù)、三角形面積公式及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出面積最大值，即可判斷D.【詳解】解：依題意圓的半徑，，，，所以的長(zhǎng)度為，故A正確；因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，即，則，則，故C正確；因?yàn)?，所以所以?dāng)，即時(shí)，故D正確；故選：ACD12．如圖，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為的斜坐標(biāo)系，在的斜坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)的斜坐標(biāo)這樣定義：設(shè)，是分別與軸，軸正方向相同的單位向量，若，記，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．設(shè)，，若，則，B．設(shè)，則C．設(shè)，，若，則D．設(shè)，，若與的夾角為，則【答案】AC【分析】根據(jù)題意得：，，對(duì)于A結(jié)合向量相等理解判斷；對(duì)于B、D：利用以及進(jìn)行運(yùn)算判斷；對(duì)于C：若，則，使得．【詳解】，對(duì)于A：即，則，A正確；對(duì)于B：即B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，當(dāng)即時(shí)，顯然滿足：；當(dāng)即或時(shí)，則，使得，即則可得，消去得：；C正確；對(duì)于D：結(jié)合可A、B知：若，則，，根據(jù)題意得：即，可得：即D不正確；故選：AC．三、填空題13．已知函數(shù)可用列表法表示如下，則的值是．123【答案】3【分析】根據(jù)表格由內(nèi)向外求解即可．【詳解】根據(jù)表格可知，∴．故答案為：3．14．若，且，則z的最小值是.【答案】【分析】直接利用均值不等式結(jié)合指數(shù)運(yùn)算計(jì)算得到答案.【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，即z的最小值是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.15．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：．①為偶函數(shù)；②關(guān)于中心對(duì)稱；③在上的最大值為3．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，選擇三角函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性和最值，選擇，答案不唯一.【詳解】由題意，函數(shù)為偶函數(shù)，所以關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于中心對(duì)稱，且在上的最大值為3，所以可以取三角函數(shù)（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.四、雙空題16．在銳角中，，則角的范圍是，的取值范圍為.【答案】【分析】由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，的關(guān)系，結(jié)合銳角三角形條件可求，的范圍，然后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求．【詳解】解：因?yàn)榧?，所以，由正弦定理得，所以，整理得，即，所以，即，又為銳角三角形，所以，解得，故，，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故，即．故答案為：；．五、解答題17．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中．(1)若，且，求的坐標(biāo)；(2)若，且與垂直，求在方向上的投影向量．【答案】(1)或(2)【分析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件解方程，從而求得.（2）根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得，從而求得在方向上的投影向量．【詳解】（1）設(shè)，則，解得或，所以或.（2）∵與垂直，∴,∴,∴在方向上的投影向量為．18．設(shè)函數(shù)．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若且，求的值．【答案】(1)最小正周期為；單增區(qū)間為：(2)【分析】（1）利用倍角公式與輔助角公式化簡(jiǎn)，整體法代入性質(zhì)即可求出最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，可先分別求出，，代入和差的余弦公式即可求解.【詳解】（1）依題意，因?yàn)?，即，所以的最小正周期為．由，可得∴的單增區(qū)間為：.（2）因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?9．如圖，在中，已知，，，邊上的中線，相交于點(diǎn)P．(1)求；(2)若，求的余弦值，【答案】(1)(2)【分析】（1）以為基底表示向量，再求其數(shù)量積即可；（2）利用兩向量夾角的余弦公式求得結(jié)果即可.【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，，，.（2）由兩邊平方得，又，，，所以，即.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以,，又為的夾角,所以.20．平潭國(guó)際“花式風(fēng)箏沖浪”集訓(xùn)隊(duì)，在平潭龍鳳頭海濱浴場(chǎng)進(jìn)行集訓(xùn)，海濱區(qū)域的某個(gè)觀測(cè)點(diǎn)觀測(cè)到該處水深y（米）是隨著一天的時(shí)間t（0≤t≤24，單位小時(shí)）呈周期性變化，某天各時(shí)刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：t（時(shí)）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（坐標(biāo)系在答題卷中）．觀察散點(diǎn)圖，從①，②，③．中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；(2)為保證隊(duì)員安全，規(guī)定在一天中的5～18時(shí)且水深不低于1.05米的時(shí)候進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．【答案】(1)作圖見解析；選②做為函數(shù)模型，(2)安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，選②做為函數(shù)模型，由此利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出該擬合模型的函數(shù)解析式即可．（2）由，令y≥1.05，得，從而解出，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示：結(jié)合散點(diǎn)圖可知，圖形進(jìn)行了上下平移和左右平移，故選②做為函數(shù)模型，∴，∵，∴又∵函數(shù)y＝0.9cos（φ）+1.5的圖象過點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴φ，∴（2）由（1）知：令y≥1.05，即，∴∴，∴，又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，∴這一天可以安排早上5點(diǎn)至7點(diǎn)以及11點(diǎn)至18點(diǎn)的時(shí)間段組織訓(xùn)練，才能確保集訓(xùn)隊(duì)員的安全．21．在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足．(1)求B；(2)若，點(diǎn)D在邊上，且，，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和差的余弦公式結(jié)合正弦定理邊化角化簡(jiǎn)可得，即可求得答案;（2）在和中，分別利用余弦定理可得關(guān)于的方程，解方程組可得答案.【詳解】（1）由，即，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，故，，?，故．（2）因?yàn)椋?，，所以在中，由余弦定理得，在和中?即，聯(lián)立，解得，．22．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解方程;(2)若對(duì)任意的都有恒成立，試求m的取值范圍;(3)用min{m，n}表示m，n中的最小者，設(shè)函數(shù)，討論關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)(3)或時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)解，或時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)解;時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解.【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解方程；(2)討論二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值求解；(3)分類討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且單調(diào)遞增，，所以此時(shí)方程有唯一的解為，綜上，方程的解為.（2）等價(jià)于，的對(duì)稱軸為，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，從而所以，得與矛盾，舍去;若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，則，解得，則，若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，從而所以得與矛盾，舍去.綜上，的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí),,則，故在上沒有實(shí)數(shù)解;當(dāng)時(shí)，.若時(shí),則則不是的實(shí)數(shù)解