2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A. B.1120 C.56 D.70【答案】C【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的定義即可得解.【詳解】展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：C.2.對(duì)于變量Y和變量x的成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如下圖所示，模型誤差（）A.滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B.不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)C.不滿足一元線性回歸模型的假設(shè)D.不滿足一元線性回歸模型的和的假設(shè)【答案】C【分析】根據(jù)用一元線性回歸模型有關(guān)概念即可判斷.【詳解】解：用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，根據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差圖，殘差的均值可能成立，但明顯殘差的軸上方的數(shù)據(jù)更分散，不滿足一元線性回歸模型，正確的只有C.故選：C.3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如圖所示，則（）X1234P0.20.30.40.1A.0.84 B.3.36 C.1.68 D.10.36【答案】B【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：B.4.命題：“，，使得”的否定是（）A.，，使得 B.，，使得C.，，使得 D.以上結(jié)論都不正確【答案】B【分析】改量詞，否結(jié)論即可.【詳解】“，，使得”的否定是“，，使得”，故選：B5.如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（）A.120 B.180 C.221 D.300【答案】B【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色兩種情況討論，結(jié)合分布乘法原理即可得解.【詳解】當(dāng)Ⅰ，Ⅳ同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法；Ⅰ，Ⅳ不同色時(shí)，則Ⅰ有種涂色方法，Ⅳ有種涂色方法，Ⅱ有種涂色方法，Ⅲ有種涂色方法，此時(shí)共有種涂色方法，綜上共有種不同的著色方法.

故選：B.6.設(shè)隨機(jī)變量，則X密度函數(shù)為（）A B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布的定義可求得，從而可求X的密度函數(shù).【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以X的密度函數(shù)為A.故選：A7.設(shè)隨機(jī)變量，記，，下列說法正確的是（）A.當(dāng)k由0增大到n時(shí)，先增后減，在某一個(gè)（或兩個(gè)）k值處達(dá)到最大.二項(xiàng)分布當(dāng)時(shí)是對(duì)稱的，當(dāng)時(shí)向右偏倚，當(dāng)時(shí)向左偏倚B.如果為正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值C.如果為非整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)k取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值D.【答案】C【分析】由可得，分析可判斷BC選項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的圖象性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，，由，得，解得，若為正整?shù)，則或時(shí)，取最大值，故B錯(cuò)誤；若為非整數(shù)，則取的整數(shù)部分時(shí)，取最大值，故C正確；綜上所述，當(dāng)k由0增大到n時(shí)，先增后減，在某一個(gè)（或兩個(gè)）k值處達(dá)到最大.根據(jù)二項(xiàng)分布的圖象性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)是對(duì)稱的，當(dāng)時(shí)向左偏倚，當(dāng)時(shí)向右偏倚，故A錯(cuò)誤；而，故D錯(cuò)誤.故選：C.8.已知函數(shù)，則方程的根的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】對(duì)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性畫出圖象，令，則，結(jié)合圖象方程有兩解，，結(jié)合圖象可知方程有兩解，也有兩解，從而可解.【詳解】對(duì)求導(dǎo)得：，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，作出曲線，如圖，由得，解得，令，則，結(jié)合圖象方程有兩解，，所以或，因?yàn)椋?結(jié)合圖象可知方程有兩解，又因?yàn)椋Y(jié)合圖象可知也有兩解，所以方程共有4個(gè)根.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:求函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根；（2）數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.設(shè)離散型隨機(jī)變量X，非零常數(shù)a，b，下列說法正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【分析】根據(jù)均值與方差的性質(zhì)即可判斷AB；根據(jù)均值與方差的關(guān)系即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，，所以，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于CD，根據(jù)均值與方差的關(guān)系可得，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的有（）A.命題：“，”的否定是：“，”B.命題：“若，則”的否定是：“若，則”C.已知x，，則“x或y為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的既不充分也不必要條件D.如果x，y是實(shí)數(shù)，則“”是“”的必要不充分條件【答案】CD【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，即可判斷AB；根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，命題：“，”即，，其否定是：“，”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，命題：“若，則”的否定是：“，則”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，，故必要性不成立，所以“x或y為有理數(shù)”是“xy為有理數(shù)”的既不充分也不必要條件，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故充分性不成立，若，則，故當(dāng)時(shí)，，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：CD.11.已知定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，都有，則對(duì)于，，下式成立的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【分析】設(shè)函數(shù)判斷A選項(xiàng),結(jié)合判斷B,C,D選項(xiàng).【詳解】,,B選項(xiàng)正確;,C選項(xiàng)正確;,,D選項(xiàng)正確;定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，都有，設(shè),,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:BCD12.下列不等式中成立的有（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)且時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】BC【分析】A選項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷A選項(xiàng)；證明出、，可判斷B選項(xiàng)；利用B選項(xiàng)中的兩個(gè)不等式可判斷C選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，，則，此時(shí)，，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，，，上述兩個(gè)不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立，即當(dāng)且時(shí)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，其中，則且不恒為零，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，D錯(cuò).故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______.【答案】【分析】求導(dǎo)后，令導(dǎo)數(shù)小于0，求解即可.【詳解】的定義域?yàn)?，，令，可得，可得，又，則或，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：14.1260有__________個(gè)不同的正因數(shù).（用數(shù)字作答）【答案】36【分析】將1260分解，然后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】，第一步，可以取，共3種，第二步，可以取，共3種，第三步，可以取，共2種，第四步，可以取，共2種，所以一共有種取法，對(duì)應(yīng)36個(gè)不同的正因數(shù).故答案為：3615.已知某商品進(jìn)價(jià)為a元/件，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)售價(jià)是元/件時(shí)，可賣出c件，市場(chǎng)調(diào)查表明，當(dāng)售價(jià)下降10%時(shí)，銷量可增加40%.現(xiàn)決定一次性降價(jià)，為獲得最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為______元/件.（用含a，b的式子表示）【答案】【分析】設(shè)銷售價(jià)為x，則降價(jià)相對(duì)于售價(jià)是b時(shí)，降低了個(gè)10%，從而銷量提高了個(gè)40%，從而求得可獲得的利潤為y，求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最大值，此時(shí)取得的x的值即為銷售價(jià).【詳解】設(shè)銷售價(jià)為x，可獲得的利潤為y，則，求導(dǎo)得，令，解得，由知，，又，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單減；因此是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)；故當(dāng)銷售價(jià)為元/件時(shí)，可獲得最大利潤.故答案為：16.已知，，計(jì)算______.【答案】【分析】根據(jù)組合數(shù)公式可得，，再結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可求解.【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式可得，，所以原式.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵能夠根據(jù)組合數(shù)公式可得，，再結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可求解.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.如圖，和所在平面垂直，且，，求：（1）直線與平面所成角的大小；（2）平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【分析】（1）過點(diǎn)作交的延長線于，連接，證得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的公式即可求出結(jié)果；（2）利用向量法求解即可.【小問1詳解】過點(diǎn)作交的延長線于，連接，因?yàn)?，，所以，因此，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又平面，平面，所?，因此兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，則，由于平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又因?yàn)榫€面角的范圍是，所以，因此直線與平面所成的角為；【小問2詳解】，則,設(shè)平面的法向量為，所以，令,可得，則，則，故平面和平面的夾角的余弦值為.18.（1）設(shè)集合，，求：，；（2）已知、、都是正數(shù)，且滿足，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）分、、且三種情況討論，求出集合、，利用交集和并集的定義可求得集合，；（2）利用基本不等式可得出、，，利用不等式的基本性質(zhì)可證得結(jié)論成立.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，則，則，；②當(dāng)時(shí)，則，則，；③當(dāng)且時(shí)，則，則，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)且時(shí)，，.（2）因?yàn)?、、都是正?shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，同理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，.19.已知數(shù)列是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，如果等差數(shù)列的通項(xiàng)滿足.令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）或（2）或【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，化簡和為基本量和的關(guān)系，進(jìn)而解出和，從而求解；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，可得，，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的前三項(xiàng)成等差數(shù)列，可得，從而得到，，進(jìn)而分或兩種情況得到，進(jìn)而求解即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，解得，或，，所以或.【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以，即，，，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，所以，即，解得，即，，當(dāng)時(shí)，，所以，，即數(shù)列是以24為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.綜上所述，或.20.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.（1）求次傳球后球在甲手中的概率；（2）求次傳球后球在乙手中的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，則，記前n次傳球后（即從第1次傳球到第次傳球后）球在甲手中的次數(shù)為，求.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，，分析可得，，由此可得，變形可得，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在乙手中”，設(shè)次傳球后球在乙手中的概率為，，分析可得，，由此可得，變形可得，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（3）結(jié)合第（1）問結(jié)論和題設(shè)條件，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式分組求和即可求解.【小問1詳解】記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，，若發(fā)生，即經(jīng)過次傳球后，球再次回到甲手中，那么第次傳球后，球一定不在甲手中，即事件一定不發(fā)生，則有，，必有,即，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即.【小問2詳解】記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在乙手中”，設(shè)次傳球后球在乙手中的概率為，，若發(fā)生，即經(jīng)過次傳球后，球在乙手中，那么第次傳球后，球一定不在乙手中，即事件一定不發(fā)生，則有，，必有,即，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即.【小問3詳解】由題意次傳球后球在甲手中的次數(shù)服從兩點(diǎn)分布，且，所以，，由（1）得，則.21.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)，連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上，兩點(diǎn)所成的曲線記為曲線C.（1）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；（2）若時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線為；對(duì)給定的，對(duì)應(yīng)的曲線為.設(shè)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，試問：在上是否存在點(diǎn)N，使得的面積，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；答案見解析（2）存在；證明見解析【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，其坐標(biāo)為，根據(jù)題意可得，整理可得曲線C的方程為，再把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷曲線的類型；（2）對(duì)于給定的，上存在點(diǎn)，使得的面積的充要條件為，從而求得或，進(jìn)而解決問題.【小問1詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)為，其坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，由條件可得，即，又的坐標(biāo)滿足.所以曲線C的方程為.當(dāng)時(shí)，曲線的方程為是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線的方程為是圓心在原點(diǎn)的圓；當(dāng)時(shí)，曲線的方程為是焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線的方程為是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.【小問2詳解】在上存在點(diǎn)N，使得面積，證明如下：由（1）知，當(dāng)時(shí)，曲線的方程為，當(dāng)時(shí)，的焦點(diǎn)分別為，對(duì)于給定的，上存在點(diǎn)，使得的面積的充要條件為由(1)得，由(2)得，所以，解得或，滿足，所以存在點(diǎn)使得.點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問的關(guān)鍵是確定對(duì)于給定的，上存在點(diǎn)，使得的面積的充要條件為，從而求得或，進(jìn)而解決問題.22.已知矩形的周長為6.（1）把沿AC向折疊，AB折過去后交DC于點(diǎn)P，求的最大面積；（2）若，，如圖，AB，AD分