高中數(shù)學必修五課件-簡單的線性規(guī)劃問題

3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題（1）xyo3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題（1）xyo1某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？問題按甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可得二元一次不等式組某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件2

將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域，圖中的陰影部分中的整點（坐標為整數(shù)）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。y4843o將上述不等式組表示成平面上的區(qū)域，圖中的陰影部分中3yx4843o若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用那種生產(chǎn)安排利潤最大？把z＝2x＋3y變形為

它表示斜率為的直線系，z與這條直線的截距有關(guān)。M問題：yx4843o若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利4設(shè)工廠獲得的利潤為z，則z＝2x＋3y把z＝2x＋3y變形為它表示斜率為的直線系，z與這條直線的截距有關(guān)。由上圖可以看出，當實現(xiàn)直線x=4與直線x+2y-8=0的交點M（4，2）時，截距的值最大，最大值為，這時2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元。設(shè)工廠獲得的利潤為z，則z＝2x＋3y把z＝2x＋3y變形為5

基本概念一組關(guān)于變量x、y的一次不等式，稱為線性約束條件。把求最大值或求最小值的的函數(shù)稱為目標函數(shù)，因為它是關(guān)于變量x、y的一次解析式，又稱線性目標函數(shù)。在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。基本概念一組關(guān)于變量x、y的一次不等式，稱為線性約6yx4843o

滿足線性約束的解（x，y）叫做可行解。

由所有可行解組成的集合叫做可行域。

使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)解?？尚杏蚩尚薪庾顑?yōu)解yx4843o滿足線性約束的解（x，y）叫做可行解7線型規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等式組線性約束條件由x,y的一次不等式（或方程）組成的不等式組目標函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式，如z=2x+3y等線性目標函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解（x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題

在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題線型規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x,y組成的不等8【小結(jié)】用線性規(guī)劃的方法解題的一般步驟是：

1.設(shè)未知數(shù);

2.列出約束條件及目標函數(shù);

3.作出可行域;

4.求出最優(yōu)解;

5.答題.【小結(jié)】9數(shù)學模型實際問題數(shù)學模型實際問題10練習：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y滿足約束條件：2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y滿足約束條件：練習：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y滿足約束條件：2、111.解：作出平面區(qū)域xyABCoz＝2x＋y作出直線y=－2x＋z的圖像，可知z要求最大值，即直線經(jīng)過C點時。求得C點坐標為（2，－1），則Zmax=2x＋y＝31.解：作出平面區(qū)域xyABCoz＝2x＋y作出直線y122.解：作出平面區(qū)域xyoABCz＝3x＋5y作出直線3x＋5y

＝z的圖像，可知直線經(jīng)過A點時，Z取最大值；直線經(jīng)過B點時，Z取最小值。求得A（1.5，2.5），B（-2，-1），則Zmax=17，Zmin=-11。2.解：作出平面區(qū)域xyoABCz＝3x＋5y作出直線133.3.2簡單的線性規(guī)劃問題（2）xyo3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題（2）xyo14一、線性規(guī)劃在實際中的應(yīng)用：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用一、在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二、給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)下面我們就來看看線性規(guī)劃在實際中的一些應(yīng)用：

一、線性規(guī)劃在實際中的應(yīng)用：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問15例5、營養(yǎng)學家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費21元。為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格食物／kg碳水化合物／kg蛋白質(zhì)/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07二、例題例5、營養(yǎng)學家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.07516解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么目標函數(shù)為：z＝28x＋21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z，那么目17把目標函數(shù)z＝28x＋21y變形為xyo5/75/76/73/73/76/7

它表示斜率為隨z變化的一組平行直線系

是直線在y軸上的截距，當截距最小時，z的值最小。M

如圖可見，當直線z＝28x＋21y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最小。把目標函數(shù)z＝28x＋21y變形為xyo5/75/76/718M點是兩條直線的交點，解方程組得M點的坐標為：所以zmin＝28x＋21y＝16

由此可知，每天食用食物A143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元。M點是兩條直線的交點，解方程組得M點的坐標為：所以zmin＝19例6、某人準備投資1200萬元興辦一所完全中學。對教育市場進行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）分別用數(shù)學關(guān)系式和圖形表示上述限制條件。因辦學規(guī)模以20～30個班為宜。若根據(jù)有關(guān)部門的規(guī)定，初中每人每年可收學費1600元，高中每人每年可收學費2700元。那么開設(shè)初中班和高中班多少個？每年收費的學費總額最多？學段班級學生數(shù)配備教師數(shù)初中45226／班2／人高中40354／班2／人例6、某人準備投資1200萬元興辦一所完全中學。對教育市場進20解：設(shè)開設(shè)初中班x個，高中班y個。因辦學規(guī)模以20～30個班為宜，所以，20≤x＋y≤30而由于資金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200

另外，開設(shè)的班級不能為負，則x≥0，y≥0。把上面四個不等式合在一起，得到解：設(shè)開設(shè)初中班x個，高中班y個。因辦學規(guī)模以20～30個班21yx2030402030oyx2030402030o22設(shè)收取的學費總額為Z萬元，則目標函數(shù)Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y。Z＝7.2x＋10.8y變形為它表示斜率為的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān)。設(shè)收取的學費總額為Z萬元，則目標函數(shù)Z＝7.2x＋10.8y23yx2030402030o

由圖可以看出，當直線Z＝7.2x＋10.8y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即Z最大。M易求得M（20，10），則Zmax=7.2x+10.8y=252故開設(shè)20個初中班和10個高中班，收取的學費最多，為252萬元。yx2030402030o由圖可以看出，當直線Z＝724例7、一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝酸鹽18t；生產(chǎn)1車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。如果甲產(chǎn)品一車皮可以賣1萬元，乙產(chǎn)品一車皮可以賣0.5萬元，請計算生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？例7、一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的25解：設(shè)x、y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿足以下條件：xyo解：設(shè)x、y分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，于是滿26解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤Z萬元。目標函數(shù)為Z＝x＋0.5y，可行域如圖：把Z＝x＋0.5y變形為y＝－2x＋2z，它表示斜率為－2，在y軸上的截距為2z的一組直線系。

xyo解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮，能夠產(chǎn)生利潤Z萬元27xyo由圖可以看出，當直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距2z最大，即z最大。

故生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3萬元。M

求得M點的坐標為（2，2），則Zmin＝3xyo由圖可以看出，當直線經(jīng)過可行域上的點M時，28練習某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3000元、2000元，甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工，在每臺A、B上加工1件甲所需工時分別為1h、2h，A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺數(shù)分別為400h和500h。如何安排生產(chǎn)可使收入最大？

設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件，每月收入為z，目標函數(shù)為Z＝3x＋2y，滿足的條件是練習某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為300029Z＝3x＋2y

變形為

它表示斜率為的直線系，Z與這條直線的截距有關(guān)。XyO400200250500當直線經(jīng)過點M時，截距最大，Z最大。M解方程組可得M（200，100）Z的最大值Z=3x+2y=800故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)品100件，收入最大，為80萬元