條件概率與全概率公式新高考數學重難點專題

條件概率與全概率公式一、條件概率的求法例1：一個袋中裝有大小相同的個白球和個黑球，若不放回地依次取兩個球，設事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，則概率（）A． B． C． D．二、全概率公式的應用例2：有臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第，臺加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的，，．（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，計算它是第臺車床加工的概率．一、選擇題1．根據歷年氣象統計資料，某地四月份吹東風的概率為，下雨的概率為，既吹東風又下雨的概率為．則在下雨條件下吹東風的概率為（）A． B． C． D．2．根據以往數據統計，某酒店一商務房間1天有客人入住的概率為，連續(xù)天有客人入住的概率為，在該房間第一天有客人入住的條件下，第二天也有客人入住的概率為（）A． B． C． D．3．已知正方形，其內切圓與各邊分別切于點，，、，連接，，，．現向正方形內隨機拋擲一枚豆子，記事件：豆子落在圓內，事件：豆子落在四邊形外，則（）A． B． C． D．4．把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現正面”為事件，“第二次出現正面”為事件，則（）A． B． C． D．5．已知，，等于（）A． B． C． D．6．從，，，，，，，，中不放回地依次取個數，事件為“第一次取到的是奇數”，為“第二次取到的是的整數倍”，則（）A． B． C． D．二、填空題7．一個口袋中裝有個小球，其中紅球個，白球個．如果不放回地依次摸出個小球，則在第次摸出紅球的條件下，第次摸出紅球的概率為________．8．某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等名學生參加演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學生丙第一個出場的概率為_______．9．甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是________．①；②；③事件與事件相互獨立；④，，是兩兩互斥的事件．10．某氣象臺統計，該地區(qū)下雨的概率為，刮四級以上風的概率為，既刮四級以上的風又下雨的概率為，設為下雨，為刮四級以上的風，則_______，__________．三、解答題11．某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一社區(qū)進行民意調查．參加活動的甲、乙兩班的人數之比為，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求該社區(qū)居民遇到一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率．12．已知口袋中有個白球和個紅球，現從中隨機抽取兩次，每次抽取個．（1）若采取放回的方法連續(xù)抽取兩次，求兩次都取得白球的概率；（2）若采取不放回的方法連續(xù)抽取兩次，求在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率．13．某學校有，兩家餐廳，王同學第天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第天去餐廳，那么第天去餐廳的概率為；如果第天去餐廳，那么第天去餐廳的概率為．計算王同學第天去餐廳用餐的概率．14．張獎券中有張有獎，甲，乙兩人不放回的各從中抽張，甲先抽，乙后抽．求：（1）甲中獎的概率；（2）乙中獎的概率；（3）在甲未中獎的情況下，乙中獎的概率．條件概率與全概率公式一、條件概率的求法例1：一個袋中裝有大小相同的個白球和個黑球，若不放回地依次取兩個球，設事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，則概率（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率為．二、全概率公式的應用例2：有臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為，第，臺加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知1，2，3臺車床加工的零件數分別占總數的，，．（1）任取一個零件，計算它是次品的概率；（2）如果取到的零件是次品，計算它是第臺車床加工的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】設“任取一個零件為次品”，“零件為第臺車床加工”，則，且，，兩兩互斥．根據題意得，，，，．（1）由全概率公式，得．（2）“如果取到的零件是次品，計算它是第臺車床加工的概率”，就是計算在發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，，類似地，可得，．增分訓練一、選擇題1．根據歷年氣象統計資料，某地四月份吹東風的概率為，下雨的概率為，既吹東風又下雨的概率為．則在下雨條件下吹東風的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在下雨條件下吹東風的概率為，故選C．2．根據以往數據統計，某酒店一商務房間1天有客人入住的概率為，連續(xù)天有客人入住的概率為，在該房間第一天有客人入住的條件下，第二天也有客人入住的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設第二天也有客人入住的概率為，根據題意有，解得，故選D．3．已知正方形，其內切圓與各邊分別切于點，，、，連接，，，．現向正方形內隨機拋擲一枚豆子，記事件：豆子落在圓內，事件：豆子落在四邊形外，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設正方形的邊長為，則圓的半徑為，面積為；正方形的邊長為，面積為，所求的概率為，故選B．4．把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現正面”為事件，“第二次出現正面”為事件，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】“第一次出現正面”：，“兩次出現正面”：，則，故選A．5．已知，，等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據條件概率的定義和計算公式：當時，把公式進行變形，就得到當時，，故選C．6．從，，，，，，，，中不放回地依次取個數，事件為“第一次取到的是奇數”，為“第二次取到的是的整數倍”，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，事件為“第一次取到的是奇數且第二次取到的是的整數倍”，若第一次取到的為或，第二次有種情況；若第一次取到的為，，，第二次有種情況，故共有個事件，，由條件概率的定義，故選B．二、填空題7．一個口袋中裝有個小球，其中紅球個，白球個．如果不放回地依次摸出個小球，則在第次摸出紅球的條件下，第次摸出紅球的概率為________．【答案】【解析】，故答案為．8．某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等名學生參加演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學生丙第一個出場的概率為_______．【答案】【解析】設事件：“學生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”；事件：“學生丙第一個出場”，對事件，甲和乙都不是第一個出場，第一類：乙在最后，則優(yōu)先從中間個位置中選一個給甲，再將余下的個人全排列有種；第二類：乙沒有在最后，則優(yōu)先從中間個位置中選兩個給甲乙，再將余下的個人全排列有種，故總的有．對事件，此時丙第一個出場，優(yōu)先從除了甲以外的4人中選一人安排在最后，再將余下的人全排列有種，故，故答案為．9．甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是________．①；②；③事件與事件相互獨立；④，，是兩兩互斥的事件．【答案】②④【解析】因為每次取一球，所以，，是兩兩互斥的事件，故④正確；因為，，，所以，故②正確；同理，，所以，故①③錯誤，故答案為②④．10．某氣象臺統計，該地區(qū)下雨的概率為，刮四級以上風的概率為，既刮四級以上的風又下雨的概率為，設為下雨，為刮四級以上的風，則_______，__________．【答案】，【解析】由已知，，，∴，，故答案為，．三、解答題11．某次社會實踐活動中，甲、乙兩個班的同學共同在一社區(qū)進行民意調查．參加活動的甲、乙兩班的人數之比為，其中甲班中女生占，乙班中女生占．求該社區(qū)居民遇到一位進行民意調查的同學恰好是女生的概率．【答案】．【解析】如果用與分別表示居民所遇到的一位同學是甲班的與乙班，表示是女生．則根據已知，有，，而且，，題目所要求的是，由全概率公式可知．12．已知口袋中有個白球和個紅球，現從中隨機抽取兩次，每次抽取個．（1）若采取放回的方法連續(xù)抽取兩次，求兩次都取得白球的概率；（2）若采取不放回的方法連續(xù)抽取兩次，求在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）兩次都取得白球的概率．（2）記事件：第一次取出的是紅球；事件：第二次取出的是紅球，則，，利用條件概率的計算公式，可得．13．某學校有，兩家餐廳，王同學第天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐．如果第天去餐廳，那么第天去餐廳的概率為；如果第天去餐廳，那么第天去餐廳的概率為．計算王同學第天去餐廳用餐的概率．【答案】．【解析】設“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”