人教版八年級數(shù)學上冊 （角的平分線的性質(zhì)）全等三角形教育教學課件

12.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版數(shù)學（初中）（八年級上）

前言學習目標1.理解并掌握角平分線的性質(zhì)定理，會用三角形全等的知識證明。2.能運用角平分線的性質(zhì)定理解決實際問題，并能靈活運用。重點難點重點：利用尺規(guī)作已知角的平分線。難點：角的平分線的作圖方法的提煉。ADBC平分角的儀器(其中AB=AD,BC=DC,四邊可活動)將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是這個角的平分線。你能說明它的道理嗎？EADBC△ABC≌△ADC(SSS)∠BAC=∠DAC思考已知：∠AOB,求作：∠AOB的平分線。畫法：以Ｏ為圓心，適當長為半徑畫弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ。

畫射線ＯＣ，射線ＯＣ即為所求。AＢＯＭＮＣ思考AOBEDPC你能用三角形全等證明PD=PE嗎？在∠AOB的平分線OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE的長度，它們相等嗎？猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。思考AOBEDPC已知∠AOC=∠BOC,PD⊥AO,PE⊥OB求：PD=PE.在∠AOB的平分線OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE的長度，它們相等嗎？證明：∵PD⊥AO,PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）

∴PD=PE

{思考一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證。2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證。3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結論和途徑，寫出證明過程。小結角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。用符號語言表示為：∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE.AOBEDPC12結論已知求證角的平分線上的點到角的兩邊距離相等角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角平分線上思考AOBEDP已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為Ｄ、Ｅ，PD=PE求證:點P在∠AOB的平分線上．證明：經(jīng)過點Ｐ作射線OC.∵PD⊥OA,PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°

在Rt△PDO和Rt△PEO中

OP=OP,PD=PE,∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)∴∠AOC=∠BOC∴點P在∠AOB的平分線上。C思考角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。用符號語言表示為：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴∠1=∠2.AOBEDPC12結論例1：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三角形三邊的距離均相等。ＡＣＰＤＦＥＭＮB證明：過點Ｐ作ＰＤ，ＰＥ，ＰＦ，分別垂直于ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ，垂足分別為Ｄ，Ｅ，Ｆ?！撸拢褪恰鳎粒拢玫慕瞧椒志€，點Ｐ在ＢＭ上．∴ＰＤ＝ＰE同理ＰＥ＝ＰＦ∴ＰＤ＝ＰＥ＝ＰＦ即點Ｐ到三邊的距離相等。課堂測試2.在△ABC中，∠C=90°，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的長。EDCBA解：∵∠C=90°∴AC⊥CB∵AD為∠BAC的平分線，且DE⊥AB，AC⊥CB∴CD=DE=3∴BD=BC-CD=4課堂測試3.如圖，∠AOB=60o，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠OCD=

.ODECAB60o課堂測試4.要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路應建在公路和鐵路夾角的平分線上，距點O2.5cm·2.5cmP課堂測試第十二章●第三節(jié)角的平分線的性質(zhì)

問題引入在練習本上畫一個角，怎樣得到這個角的平分線？用量角器度量，也可用折紙的方法。你能評價這些方法嗎？在生產(chǎn)生活中，這些方法是否可行呢？如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?證明：在△ACD和△ACB中AD=AB（已知）DC=BC（已知）CA=CA（公共邊）∴△ACD≌

△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）E問題引入知識點詳解從利用平分角的儀器畫角的平分線中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？ABOMNC利用尺規(guī)我們可以作一個角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠A的平分線OC，在OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結論？知識點詳解通過動手實驗、觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，你能通過嚴格的邏輯推理證明這個結論嗎？已知：∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。求證：PD=PE。知識點詳解證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB?！唷螾DO＝∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO＝∠PEO，∠AOC＝∠BOC，OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)。∴PD＝PE。知識點詳解角平分線性質(zhì):角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。幾何語言:∵OC是∠AOB的平分線,PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等)。知識點詳解反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上。知識點詳解證明:∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，∴∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定義)

在Rt△PDO和Rt△PEO中

PO＝PO(公共邊)

PD=PE

∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)∴∠POD＝∠POE∴點P在∠AOB的平分線上知識點詳解結論:到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。幾何語言:∵P是∠AOB內(nèi)的一點,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E且PD=PE∴OP是∠AOB的平分線(到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)知識點詳解由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？

（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。知識點詳解例題詳解如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P。求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。

證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等)。同理，PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。ABCPMNDEF要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應建在何處？（比例尺1：20000）

DCs作夾角的角平分線OC，截取OD=2.5cm,D即為所求。例題詳解練習題1、直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處

D分析:由于沒有限制在何處選址，故要求的地址共有四處。2、如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，求證：CF=EB。

證明：∵AD平分∠CAB

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì))在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,CD=DE（已證）,DF=DB（已知