冀教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系）教學(xué)課件

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第三十章二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)探索，理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系.(難點(diǎn)）2.能運(yùn)用二次函數(shù)及其圖像、性質(zhì)確定方程的解.（重點(diǎn)）3.了解用圖像法求一元二次方程的近似根.（1）一次函數(shù)y＝x＋2的圖象與x軸的交點(diǎn)為(，),

一元一次方程x＋2＝0的根為_(kāi)_______.（2）一次函數(shù)y＝－3x＋6的圖象與x軸的交點(diǎn)為(，),

一元一次方程－3x＋6＝0的根為_(kāi)______.問(wèn)題一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)與一元一次方程kx＋b＝0的根有什么關(guān)系？一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元一次方程kx＋b＝0的根.

導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入－20－2202那么二次函數(shù)與一元二次方程有什么關(guān)系呢，接下來(lái)我們一起探討.講授新課一元二次方程的根與二次函數(shù)圖象的關(guān)系一合作探究問(wèn)題1：畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，你能從圖象中看出它與x軸的交點(diǎn)嗎？(-1,0)與(3,0)(-1,0)(3,0)問(wèn)題2：二次函數(shù)y=x2-2x-3與一元二次方程x2-2x-3=0又怎樣的關(guān)系？

當(dāng)x=-1時(shí)，y=0，即x2-2x-3=0，也就是說(shuō)，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一個(gè)根；同理，當(dāng)x=3時(shí)，y=0，即x2-2x-3=0，也就是說(shuō)，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一個(gè)根；知識(shí)要點(diǎn)

一般地,如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0)、(x2,0)那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x=x1、x=x2.1xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2觀察圖象，完成下表：拋物線與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)相應(yīng)的一元二次方程的根y=x2－x＋1y=x2－6x＋9y=x2＋x－20個(gè)1個(gè)2個(gè)x2-x+1=0無(wú)解0x2-6x+9=0，x1=x2=3-2,1x2+x-2=0，x1=-2,x2=1知識(shí)要點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac

=0沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關(guān)系例1：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．(1)證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)解：令y＝0，則(x－1)(mx－2)＝0，所以x－1＝0或mx－2＝0，解得x1＝1，x2＝.當(dāng)m為正整數(shù)1或2時(shí)，x2為整數(shù)，即拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)．所以正整數(shù)m的值為1或2.例1：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．(1)求證：此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；(2)若此拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)，且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值．變式：已知：拋物線y＝x2＋ax＋a－2.(1)求證：不論a取何值時(shí)，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和為3，求a的值．(1)證明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不論a取何值時(shí)，拋物線y＝x2＋ax＋a－2與x軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1.例2：求一元二次方程的根的近似值（精確到0.1）.分析：一元二次方程x2-2x-1=0的根就是拋物線y=x2-2x-1與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此我們可以先畫(huà)出這條拋物線，然后從圖上找出它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這種解一元二次方程的方法叫作圖象法.利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似解二解：畫(huà)出函數(shù)y=x2-2x-1的圖象（如下圖），由圖象可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，一個(gè)在-1與0之間,另一個(gè)在2與3之間.

先求位于-1到0之間的根，由圖象可估計(jì)這個(gè)根是-0.4或-0.5，利用計(jì)算器進(jìn)行探索，見(jiàn)下表：x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…觀察上表可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x分別取-0.4和-0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的y由負(fù)變正，可見(jiàn)在-0.5與-0.4之間肯定有一個(gè)x使y=0，即有y=x2-2x-1的一個(gè)根，題目只要求精確到0.1，這時(shí)取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但當(dāng)x=-0.4時(shí)更為接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值為x2≈2.4.一元二次方程的圖象解法利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=2x2+x-15的圖象；(2)觀察估計(jì)二次函數(shù)

y=2x2+x-15的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖象可知,圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)是-3,另一個(gè)在2與3之間,分別約為-3和2.5(可將單位長(zhǎng)再十等分,借助計(jì)算器確定其近似值);(3)確定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根為:x1≈-3,x2≈2.5.方法歸納例3:已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根為(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由圖象可得二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的對(duì)稱軸為x＝－1，而對(duì)稱軸右側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離約為0.5，∴x2≈0.5；又∵對(duì)稱軸為x＝－1，則

＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故選B.B

解答本題首先需要根據(jù)圖象估計(jì)出一個(gè)根，再根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算出另一個(gè)根，估計(jì)值的精確程度，直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性，故估計(jì)盡量要準(zhǔn)確．方法總結(jié)利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根(精確到0.1).xyO

-222464-48-2-4y=x2－2x－2解：作y=x2-2x-2的圖象(如右圖所示)，它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的實(shí)數(shù)根為x1≈-0.7，x2≈2.7.練一練一元二次方程ax2+bx+c=m的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=m（m是實(shí)數(shù)）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通過(guò)畫(huà)二次函數(shù)圖象來(lái)估計(jì)一元二次方程的根.說(shuō)一說(shuō)

判斷方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))一個(gè)解x的范圍是（）

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C1.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值:當(dāng)堂練習(xí)2．若二次函數(shù)y=-x2+2x+k的部分圖像如圖所示，且關(guān)于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一個(gè)解x1=3，則另一個(gè)解x2=

；-1yOx133.一元二次方程3x2+x－10=0的兩個(gè)根是x1=－2，x2=，那么二次函數(shù)y=3x2+x－10與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是

.(-2，0)(，0)4.若一元二次方程無(wú)實(shí)根，則拋物線的圖象位于（）A.x軸上方B.第一、二、三象限C.x軸下方D.第二、三、四象限A5.已知函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，求k的取值范圍．解：當(dāng)k＝3時(shí)，函數(shù)y＝2x＋1是一次函數(shù)．∵一次函數(shù)y＝2x＋1與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，∴k＝3；當(dāng)k≠3時(shí)，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函數(shù)．∵二次函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4且k≠3.綜上所述，k的取值范圍是k≤4.能力提升

已知二次函數(shù)的圖象，利用圖象回答問(wèn)題：

（1）方程的解是什么？

（2）x取什么值時(shí)，y>0

？

（3）x取什么值時(shí)，y<0

？xyO248解：（1）x1=2,x2=4;（2）x<2或x>4;（3）2<x<4.課堂小結(jié)二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0)當(dāng)y取定值時(shí)就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a≠0),右邊換成y時(shí)就成了二次函數(shù).二次函數(shù)與一元二次方程根的情況二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判別式的符號(hào)一元二次方程根的情況Δ第二十九章直線與圓的位置關(guān)系切線的性質(zhì)和判定第1課時(shí)

1課堂講解切線的性質(zhì)定理切線性質(zhì)定理的應(yīng)用2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升前一節(jié)課已經(jīng)學(xué)到點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：點(diǎn)P在圓外?

d>r，如圖（a）所示；點(diǎn)P在圓上?d=r，如圖（b）所示；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d<r，如圖（c）所示．1知識(shí)點(diǎn)切線的性質(zhì)定理知1－導(dǎo)前面我們已學(xué)過(guò)的切線的性質(zhì)有哪些？答：①切線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②切線和圓心的距離等于半徑.切線還有什么性質(zhì)？知1－導(dǎo)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.例1

[中考·梅州]如圖，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切

線，A為切點(diǎn)，BC經(jīng)過(guò)圓心．若∠B＝20°，則

∠C的大小為(

)A．20°

B．25°C．40°D．50°知1－講D如圖，連接OA，根據(jù)切線的性質(zhì)，先求出∠OAC＝90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和∠B＝20°，可以求出∠AOC＝40°，最后根據(jù)直角三角形中兩銳角互余就可以求出∠C＝50°.答案：D知1－講導(dǎo)引:總

結(jié)知1－講(1)半徑處處相等可得等腰三角形，從而底角相等；(2)切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑得直角三角形，從而

兩銳角互余．如圖，PA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，OP=2，∠APO=30°求⊙O的半徑.知1－練1連接OA，則OA為⊙O的半徑，因?yàn)镻A是⊙O的切線，所以O(shè)A⊥AP，又∠APO＝30°，OP＝2，所以O(shè)A＝

OP＝1，即⊙O的半徑為1.解:如圖，CD為⊙O的直徑，點(diǎn)A在DC的延長(zhǎng)線上，直線AE與⊙O相切于點(diǎn)B，∠A=28°.求∠DBE的度數(shù).知1－練2知1－練連接OB，則OB＝OD，因?yàn)锳E與⊙O相切于點(diǎn)B，所以O(shè)B⊥AE，即∠ABO＝90°，又因?yàn)椤螦＝28°，所以∠AOB＝180°－28°－90°＝62°.所以∠OBD＝∠ODB＝12∠AOB＝31°.所以∠DBE＝90°－∠OBD＝90°－31°＝59°.解:下列說(shuō)法正確的是(

)A．圓的切線垂直于半徑B．垂直于切線的直線經(jīng)過(guò)圓心C．經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)D．經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的直線經(jīng)過(guò)圓心知1－練3C【中考·吉林】如圖，直線l是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，B為直線l上一點(diǎn)，連接OB交⊙O于點(diǎn)C.若AB＝12，OA＝5，則BC的長(zhǎng)為(

)A．5B．6C．7D．8知1－練4D【中考·無(wú)錫】如圖，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，BC交⊙O于點(diǎn)D，若∠C＝70°，則∠AOD的度數(shù)為(

)A．70°B．35°C．20°D．40°知1－練5D【中考·湖州】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ACB＝90°，∠A＝25°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠D的度數(shù)是(

)A．25°B．40°C．50°D．65°知1－練6B【中考·邵陽(yáng)】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，CA，CD是⊙O的切線，A，D為切點(diǎn)，連接BD，AD.若∠ACD＝30°，則∠DBA的大小是(

)A．15°B．30°C．60°D．75°知1－練7B【中考·泰安】如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過(guò)圓心O，過(guò)點(diǎn)C的切線與邊AD所在直線垂直于點(diǎn)M，若∠ABC＝55°，則∠ACD等于(

)A．20°B．35°C．40°D．55°知1－練8A2知識(shí)點(diǎn)切線性質(zhì)定理的應(yīng)用知2－講例2如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝2∠B，⊙O的切線AP與OC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若PA＝6cm，求AC的長(zhǎng)．知2－講根據(jù)AB是⊙O的直徑求出∠ACB＝90°，再根據(jù)∠BAC＝2∠B求出∠B＝30°，∠BAC＝60°，得出△AOC是等邊三角形，得出∠AOC＝60°，OA＝AC，在Rt△OAP中，求出OA，即可求出AC的長(zhǎng)．導(dǎo)引：知2－講∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝30°，∠BAC＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，AC＝OA.∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°.在Rt△OAP中，∵PA＝6cm，∠AOP＝60°，∴OA＝＝6(cm)，∴AC＝OA＝6cm.解：總

結(jié)知2－講圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑，這個(gè)性質(zhì)為解題提供了隱含條件．當(dāng)已知直線為圓的切線時(shí)，可以連接過(guò)切點(diǎn)的半徑，由切線的性質(zhì)得出直角三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求解．如圖，以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的弦AB切小圓于點(diǎn)C，OA交小圓于點(diǎn)D，若OD＝2