矩陣論-特征值和特征向量

機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院陳建華矩陣論機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束§1.1特征值和特征向量一、方陣的特征值和特征向量二、線性變換的特征值和特征向量機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束1、定義假設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)

和非零向量X，使得AX=X

稱

是矩陣A的一個特征值，X是對應(yīng)于

的一個特征向量。一、方陣的特征值和特征向量機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束AX=

X

非零向量

特征向量對應(yīng)

特征值

n階方陣

對應(yīng)于特征值

的特征向量不唯一。注：2、求法AX=

X

(

E–A)X=

0

|

E–A|=

0

特征方程|

E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多項(xiàng)式

E–A

特征矩陣

特征值

特征向量

機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束

(1)

為A的特征值

|E–A|=0.

(2)X為A的對應(yīng)于

的特征向量

(E–A)X=0,X為非零向量.

求特征值和特征向量的步驟：(1)寫出A的特征方程|

E

A|

0;(2)求出A的n個特征值

1,

2

n;(3)對每一特征值

i，求解對應(yīng)的方程組(

iE

A)X

0

方程組的非零解就是

i的所有特征向量.定理1例1機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束解:

A的特征多項(xiàng)式為

求矩陣的特征值和特征向量.

所以A的特征值為

1=2,

2=

3=1.對于

1=2,解方程組(2E–A)X=0,機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束p1=(0,0,1)T.對應(yīng)于

1=2的特征向量為k1p1(0

k1R).得基礎(chǔ)解系對于

2=

3=1,解方程組

(E–A)X=0,得基礎(chǔ)解系p2=(–1,–2,1)T.對應(yīng)于

2=

3=1的特征向量為k2p2(0

k2R).于是，于是，機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束3、性質(zhì)（1）

2

是A2的特征值;（2）

-1

是A-1的特征值；（3）a+k

是aE+kA的特征值（a,k為常數(shù)）。且X仍為A2,A-1,

aE+kA的分別對應(yīng)于特征值

2,

-1,

a+k

的特征向量。設(shè)

是方陣A的特征值，X為A的對應(yīng)于性質(zhì)1

的特征向量，則機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束特征值為

1=2,

2=

3=1.

1+

2+

3=4

1

2

3=2=a11+a22+a33=|A|.觀察例1機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)A=(aij)n

n的特征值為

1,…,

n,則(1)

1+…+

n=a11+…+ann，(2)

1

2…

n=|A|,其中a11+…+ann稱為A的跡，記作tr(A).性質(zhì)2證明：f(

)=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1

–an2…

–ann

=(-1)…(-n).f(

)=

n-(a11+…+ann)

n-1+…+(-1)n|A|f(

)=

n-(

1+…+

n)

n-1+…+(-1)n(

1…

n)比較上述兩式

n-1項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，可得結(jié)論。機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束A可逆當(dāng)且僅當(dāng)

1,…,

n全不為零.

的確是方陣的一個

特征

.

推論由此可知,特征值可以刻畫方陣的可逆性,（3）AT

特征值為

1,…,

n；（4）AH

特征值為機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)

是方陣A的特征值，X為A的對應(yīng)于性質(zhì)3

的特征向量，則對應(yīng)的特征向量。P3,定理1.2例2已知三階方陣A有特征值1，2，3，求|E+2A|.例3（1）

m

是Am

的特征值;（2）|A|/

是A*

的特征值；設(shè)

是方陣A的特征值，X為A的對應(yīng)于

的特征向量，證明：機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束性質(zhì)4設(shè)

i是方陣A的特征值，它的代數(shù)重數(shù)是ni幾何維數(shù)是si，則其中：Si是A的屬于

i的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù),機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束如果分別是

A

的屬于互不相同的特征值的特征向量，則線性無關(guān).證：對k作數(shù)學(xué)歸納法.性質(zhì)5推論特征值的線性無關(guān)的特征向量，則向量線性無關(guān).

是A

的不同特征值，而是屬于機(jī)動

目錄上頁下頁返回結(jié)束例4對于n階方陣A,B,證明：思考題對于n階方陣A,B,等式AB-BA=E是否成立？二、線性變換的特征值和特征向量設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換，

則稱為的一個特征值，稱為的屬于特征值二、線性變換的特征值與特征向量

1.定義若對于P中的一個數(shù)存在一個V的非零向量使得的特征向量.

①幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，注相同或相反時②若是的屬于特征值的特征向量，則也是的屬于的特征向量.但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若且，則設(shè)是V的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為A.

下的坐標(biāo)記為2.特征值與特征向量的求法

分析：設(shè)是的特征值，它的一個特征向量在基則在基下的坐標(biāo)為而的坐標(biāo)是于是又從而

又即是線性方程組的解，∴有非零解.

所以它的系數(shù)行列式

以上分析說明：若是的特征值，則