第二節(jié)偏導數

第二節(jié)偏導數第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月一、偏導數的定義及其計算法第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如在處第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.由偏導數定義知,所謂f(x,y)對x的偏導數,就是將y看作常數,將

f(x,y)看作一元函數來定義的.

注

因此,在實際計算時,求f'x

(x,y)時,只須將y看作常數,用一元函數求導公式求即可.

求f'y

(x,y)時,只須將x看作常數,用一元函數求導公式求即可.第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.f'x

(x0,y0)就是f'x

(x,y),在點(x0,y0)的值.算f'x

(x0,y0)

可用3種方法.f'y

(x0,y0)f'y

(x,y)f'y

(x0,y0)(1)用定義算.(2)先算f'x

(x,y),再算f'x

(x0,y0)f'y

(x,y),f'y

(x0,y0).

(3)先算f(x,y0),再算f'x

(x,y0)

f'x

(x0,y0)f(x0,y),

f'y

(x0,y),f'y

(x0,y0).第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解

把看作常量，對求導數,得

把看作常量，對求導數,得第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月證原結論成立．第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月不存在．第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月證第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月有關偏導數的幾點說明：１.２.求分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用定義求；解第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月３.偏導數存在與連續(xù)的關系？但函數在該點處并不連續(xù).一元函數中在某點可導

連續(xù)，多元函數中在某點偏導數存在

連續(xù)，第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個偏導數都存在的二元函數未必連續(xù)偏導與連續(xù)的關系：第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月4.偏導數的幾何意義第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月yxzoz=f(x,y)M0

即f'x

(x0,y0)表示y=y0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對x的斜率.T1

1

:z=f(x,y0)

1y0x0第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月yxzoz=f(x,y)M0

2

2

:z=f(x0,y)類似得

f'y

(x0,y0)的幾何意義.

如圖

即f'y

(x0,y0)表示x=x0與z=f(x,y)的交線在M0處的切線對y的斜率.x0T2

第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

從幾何上看,f'x

(x0,y0)存在.只保證了一元函數

f(x,y0)在x0連續(xù).

也即y=y0與z=f(x,y)的截線

1在M0=(x0,y0,z0)是連續(xù)的.

同理,f'y

(x0,y0)存在.只保證了x=x0與z=f(x,y)的截線

2在M0連續(xù).而曲面z=f(x,y)在M0連續(xù)，是指第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

換句話說,當(x,y)

從任何方向,沿任何曲線趨于(x0，y0)時,f(x,y)的極限都是f(x0，y0).顯然,上邊兩個條件都不能保證它成立.第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月純偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數統(tǒng)稱為高階偏導數.二、高階偏導數第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：混合偏導數都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月偏導數的定義偏導