新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市2023屆高三第二次質(zhì)量監(jiān)測文科數(shù)學試題（ 含答案解析 ）

烏魯木齊地區(qū)2023年高三年級第二次質(zhì)量監(jiān)測文科數(shù)學（問卷）（卷面分值：150分；考試時間：120分鐘）注意事項：1.本試卷分為問卷（4頁）和答卷（4頁），答案務必書寫在答卷（或答題卡）的指定位置上.2.答題前，先將答卷密封線內(nèi)的項目（或答題卡中的相關(guān)信息）填寫清楚.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化簡集合M，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式得：，即，而，所以.故選：B2.復數(shù)（是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】運用復數(shù)除法的運算法則和復數(shù)加法的運算法則化簡復數(shù)，最后判斷出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的位置.【詳解】因為，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第四象限內(nèi).故選：D.3.已知向量，，滿足，，，，則（）A.3 B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】設(shè)出向量，根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模的公式，即可求出向量.【詳解】設(shè)，因為，，所以①，②，由①②解得，，所以，.故選：D.4.中國最早天文觀測儀器叫“圭表”，最早裝置圭表的觀測臺是西周初年在陽城建立的周公測景（影）臺．“圭”就是放在地面上的土堆，“表”就是直立于圭的桿子，太陽光照射在“表”上，便在“圭”上成影．到了漢代，使用圭表有了規(guī)范，規(guī)定“表”為八尺長（1尺=10寸）．用圭表測量太陽照射在竹竿上的影長，可以判斷季節(jié)的變化，也能用于丈量土地．同一日內(nèi)，南北兩地的日影長短倘使差一寸，它們的距離就相差一千里，所謂“影差一寸，地差千里”．記“表”的頂部為A，太陽光線通過頂部A投影到“圭”上的點為B．同一日內(nèi)，甲地日影長是乙地日影長的，記甲地中直線AB與地面所成的角為，且則甲、乙兩地之間的距離約為（）A.8千里 B.10千里 C.12千里 D.14千里【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出甲地、乙地的日影長，即可計算甲、乙兩地的距離作答.【詳解】依題意，甲地中線段AB的長為寸，則甲地的日影長為寸，于是乙地的日影長為寸，甲、乙兩地的日影長相差12寸，所以甲、乙兩地之間的距離是12千里.故選：C5.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，奇偶性及，解不等式，求出解集.【詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，因為，則故，解得：，則不等式的解集為.故選：A．6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用同角公式及差角的余弦公式求解作答.【詳解】因為，，則，，所以.故選：A7.2023年3月27日，貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽火爆開賽，被網(wǎng)友稱為“村BA”.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，，視AD所在直線為x軸，則雙曲線的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程為，由，可得，再代入點，求解即可.【詳解】解：依題意，設(shè)雙曲線方程為，因為，則，顯然圓O的半徑為3，又因為坐標軸和雙曲線與圓O交點將圓O的周長八等分，雙曲線與圓O交于第一象限內(nèi)的點為，于是，解得，所以雙曲線的方程為.故選：A8.下圖為2012年-2022年我國電子信息制造業(yè)企業(yè)和工業(yè)企業(yè)利潤總額增速情況折線圖，根據(jù)該圖，下列結(jié)論正確的是（）A.2012年-2022年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增B.2017年-2022年工業(yè)企業(yè)利潤總額逐年遞增C.2012年-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長，且其增速均快于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速D.2019年-2022年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值大于電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的折線圖，逐項分析、計算即可判斷作答.【詳解】對于A，2018年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負數(shù)，從2017年到2018年利潤總額下降，A錯誤；對于B，2019年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速為負數(shù)，從2018年到2019年潤總額下降，B錯誤；對于C，2012年-2017年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速均為正數(shù)，因此利潤總額均較上一年實現(xiàn)增長，且其增速均快于當年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速，C正確；對于D，2019年-2022年工業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為，2019年-2022年電子信息制造業(yè)企業(yè)利潤總額增速的均值為，，D錯誤.故選：C9.已知，則（）A. B.9 C. D.16【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用對數(shù)運算性質(zhì)、指數(shù)式與對數(shù)式互化，及指數(shù)運算計算作答.【詳解】因為，則，因此，所以.故選：C10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.將的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象B.在上的值域為C.若，則D.的圖象關(guān)于點中心對稱【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再逐項分析、計算判斷作答.【詳解】依題意，函數(shù)，對于A，將的圖象向右平移個單位長度得，A錯誤；對于B，，則，有，因此，B錯誤；對于C，由得：，則或，于是，即有，C錯誤；對于D，當時，，即的圖象關(guān)于點中心對稱，D正確.故選：D11.如圖，在棱長為a的正方體中，M，N，P分別是的中點，Q是線段上的動點，則下列命題：①不存在點Q，使平面MBN；②三棱錐的體積是定值；③不存在點Q，使平面QMN；④B，C，D，M，N五點在同一個球面上．其中正確的是（）A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】D【解析】【分析】當Q為的中點時，證明判斷①，證明判斷③；利用等體積法分析判斷②；構(gòu)造長方體判斷④作答.【詳解】對于①，當Q為的中點時，連接，因為P是中點，則，而M，N分別是的中點，有，即四邊形是平行四邊形，因此，平面，平面，所以平面，①錯誤；對于③，當Q為的中點時，連接，因為平面，平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，同理，因為，從而，而平面，所以平面，③錯誤；對于②，面積是定值，而點Q到平面的距離為棱長a，三棱錐的體積為定值，②正確；對于④，取的中點，連接，則幾何體是長方體，所以B，C，D，M，N五點在長方體的外接球球面上，④正確，所以正確命題的序號是②④.故選：D12.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，點D在邊BC上，且，則線段AD長度的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求出，再借助平面向量運算及均值不等式求解作答.【詳解】在中，由及正弦定理得：，則，整理得，而，于是，兩邊平方得：，而，，解得，因為點D在邊BC上，且，有，因此，從而，當且僅當時取等號，所以當時，線段AD的長度取得最小值.故選：B【點睛】思路點睛：求三角形中線段長的最值問題，主要方法有兩種，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二?填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.若變量x，y滿足約束條件，則的最大值為____________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出不等式組表示的平面區(qū)域，再借助目標函數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中，目標函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當直線過點時，直線的縱截距最大，最大，，所以的最大值為4.故答案為：414.函數(shù)的圖象在處的切線方程為____________【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義即可求解作答.【詳解】函數(shù)，求導得：，則，而，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為.故答案為：15.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，A為短軸一個端點，直線交橢圓C于另一點M，且，則橢圓C的離心率是____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用勾股定理求出的長，再借助余弦定理建立關(guān)系式求解作答.【詳解】令橢圓C的半焦距為c，依題意，，設(shè)，由橢圓定義得，則，因為，即有，則，即，解得，因此，，在中，由余弦定理得：，于是，即，所以橢圓C的離心率.故答案為：16.晶胞是構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元，是結(jié)構(gòu)化學研究的一個重要方面在如圖（1）所示的體心立方晶胞中，原子A與B（可視為球體）的中心分別位于正方體的頂點和體心，且原子B與8個原子A均相切已知該晶胞的邊長（圖（2）中正方體的棱長）為，則當圖（1）中所有原子（8個A原子與1個B原子）的體積之和最小時，原子A的半徑為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，用原子A的半徑表示8個A原子與1個B原子的體積之和，再借助導數(shù)求解作答.【詳解】因為正方體的棱長為，則該正方體的體對角線長為，設(shè)A原子的半徑為，B原子的半徑為，依題意，，即，于是8個A原子與1個B原子的體積之和，令，求導得：，由得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當時，取得最小值，所以8個A原子與1個B原子的體積之和最小時，原子A的半徑為.故答案為：【點睛】思路點睛：涉及幾何體的體積最值問題，可以引入一個變量，把體積建立為該變量的函數(shù)，再借助導數(shù)探討求解.三?解答題：第17~21題每題12分，解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.某校用隨機抽樣的方法調(diào)查學生參加校外補習情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：分數(shù)等級人數(shù)不及格及格良好優(yōu)秀學生人數(shù)8522911參加校外補習人數(shù)51573（1）從中任取一名學生，記“該生未參加校外補習”，“該生成績?yōu)閮?yōu)秀”．求及；（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為學生成績優(yōu)秀或良好與校外補習有關(guān)？附：，其中0.100.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1），（2）不能在犯錯誤的概率不超過為0.1的前提下認為學生成績優(yōu)秀或良好與校外補習有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表，利用古典概率公式計算作答.（2）列出列聯(lián)表，求出的觀測值，再與臨界值表比對即可作答.【小問1詳解】依題意，.【小問2詳解】由已知得列聯(lián)表：參加校外不參加校外合計成績優(yōu)秀或良好103040成績不為優(yōu)秀或良好204060合計3070100的觀測值為所以不能在犯錯誤的概率不超過為0.1的前提下認為學生成績優(yōu)秀或良好與校外補習有關(guān)．18.在等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用等差中項及等比數(shù)列通項公式計算即可.（2）運用裂項相消法求和即可.【小問1詳解】由題意知，，又，∴，∴，故.【小問2詳解】由（1）得，∴．19.如圖，在三棱柱中，平面，，F(xiàn)是的中點，點E在棱上．（1）證明：；（2）若，，且點到平面的距離為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明一條直線垂直于另一條直線，只要證明該直線垂直于另一條直線所在的平面即可；（2）運用等體積法計算點到平面的距離.【小問1詳解】在直三棱柱中，，又，F(xiàn)為中點，，又，平面，平面平面，平面，；小問2詳解】因為F是的中點，，又三棱錐，點到平面的距離等于點到平面的距離，即，由（1）知，平面，即也是三棱錐底面上的高，由條件可知：，，設(shè)，在中，，在中，，由，即，，得；綜上，.20.已知點在拋物線的準線上．（1）求拋物線C的方程；（2）過點P作直線交拋物線于A，B兩點，過A作斜率為1的直線l交拋物線C于另一點M．證明：直線BM過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由點P在拋物線的準線上，求出p值作答.（2）設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)，求出直線BP的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，求出點A的縱坐標與的關(guān)系即可推理作答.【小問1詳解】因為點在拋物線的準線上，則，即，所以拋物線C的方程為.【小問2詳解】顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，由消去x得：，設(shè)，則，而直線的斜率，則直線的方程，由消去x得：，點A的縱坐標，即：點，直線的斜率，則，因此，有，即，直線的方程為又，即，顯然直線過定點，所以直線過定點.【點睛】思路點睛：與圓錐曲線相交的直線過定點問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.21.已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有4個零點，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】(1)求導數(shù)等于零的解,判斷在解的左右兩邊區(qū)間的導數(shù)符號，異號時才是極值點,進而求出極值.(2)可知要使有4個零點，則至少應有3個零點，令，至少有兩個零點，再分類討論并且得到函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值，得出4個交點時的的范圍.【小問1詳解】，當時，的關(guān)系如下表：1+0-↗極大值↘時，的極大值為，無極小值．當時，的關(guān)系如下表：1-0+↘極小值↗時，極小值為，無極大值；【小問2詳解】由題得，．令，可知要使有4個零點，則至少應有3個零點，至少有兩個零點，，其中，①當時，，則在上單調(diào)遞增，至多只有一個零點不合題意；②當時，，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，要使有兩個零點，，解得此時在存在一個零點，且.下面證明當時，，當時，令，令當時，，在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，，即，，在存在一個零點，且時，時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，∴只需，在各有一個零點其中，，解得,（同理）.綜上所述．【點睛】用導數(shù)求函數(shù)零點個數(shù)問題方法點睛：（1）分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從函數(shù)中分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，確定參數(shù)范圍；

（2）分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，