高三二輪復(fù)習(xí)微專題課件-不等式恒成立或有解問(wèn)題

微課二不等式恒成立或有解問(wèn)題題型分類突破題型跟蹤訓(xùn)練內(nèi)容索引12//////////////題型分類突破1題型一分離法求參數(shù)的取值范圍【例1】(2022·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性； 解當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R， f′(x)＝ex＋2x－1. 故當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，在(0，＋∞)單調(diào)遞增.①當(dāng)x＝0時(shí)，不等式為1≥1，顯然成立，此時(shí)a∈R.則h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1，H′(x)＝ex－1>0，故h′(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，因此h′(x)>h′(0)＝0，故函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上遞增，故當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.分離參數(shù)法來(lái)確定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ為實(shí)數(shù))恒成立問(wèn)題中參數(shù)取值范圍的基本步驟(1)將參數(shù)與變量分離，化為f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式.(2)求f2(x)在x∈D時(shí)的最大值或最小值.(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范圍.感悟升華【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝lnx. (1)求函數(shù)g(x)＝f(x＋1)－x的最大值； 解因?yàn)閒(x)＝lnx， 所以g(x)＝f(x＋1)－x＝ln(x＋1)－x，x>－1.

當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(－1，0)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.

所以g(x)在x＝0處取得最大值g(0)＝0.【訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝lnx. (2)若對(duì)任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解因?yàn)閷?duì)任意x>0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，

當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，h′(x)>0；題型二等價(jià)轉(zhuǎn)化法求參數(shù)范圍【例2】函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R). (1)若函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與直線x－2y＋1＝0垂直，求a的值；【例2】函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R). (2)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在區(qū)間(0，e]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

則在區(qū)間(0，1)上，g′(x)<0，函數(shù)g(x)為減函數(shù)； 在區(qū)間(1，e]上，g′(x)>0，函數(shù)g(x)為增函數(shù).

由題意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4].根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，如f(x)≥a恒成立，則f(x)min≥a，然后利用最值確定參數(shù)滿足的不等式，解不等式即得參數(shù)范圍.感悟升華【訓(xùn)練2】已知f(x)＝ex－ax2，若f(x)≥x＋(1－x)ex在[0，＋∞)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解

f(x)≥x＋(1－x)ex，即ex－ax2≥x＋ex－xex， 即ex－ax－1≥0，x≥0.

令h(x)＝ex－ax－1(x≥0)，則h′(x)＝ex－a(x≥0)， 當(dāng)a≤1時(shí)，由x≥0知h′(x)≥0， ∴在[0，＋∞)上h(x)≥h(0)＝0，原不等式恒成立.

當(dāng)a>1時(shí)，令h′(x)>0，得x>lna； 令h′(x)<0，得0≤x<lna. ∴h(x)在[0，lna)上單調(diào)遞減， 又∵h(yuǎn)(0)＝0，∴h(x)≥0不恒成立， ∴a>1不合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1].解由題設(shè)知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函數(shù)y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)單調(diào)遞減，則ymax＝－3，所以a≥－3，所以a的最小值為－3.f′(x)max≤g(x)max”.所以f′(x)max＝f′(2)＝8＋a.所以g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減.含參不等式能成立問(wèn)題(有解問(wèn)題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題解決，常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化有：(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)min>g(x2)min.(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)min>g(x2)max.(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)min.(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)max.感悟升華解

因?yàn)閒′(x)＝a－ex，x∈R.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)<0，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，得x＝lna.由f′(x)>0，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，lna)；由f′(x)<0，得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(lna，＋∞).綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，lna)，單調(diào)遞減區(qū)間為(lna，＋∞).解

因?yàn)?x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，當(dāng)x在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)變化時(shí)，h′(x)，h(x)隨x的變化情況如下表：題型跟蹤訓(xùn)練2即a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解.令h(x)＝x－xlnx，則h′(x)＝－lnx.由h′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)0<x<1時(shí)，h′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)<0.故當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)h(x)＝x－xlnx取得最大值1，所以要使不等式a≤x－xlnx在(0，＋∞)上有解，只要a≤h(x)max即可，即a≤1.CABC設(shè)H(x)＝x－xlnx－4，x∈(0，＋∞)，因?yàn)镠′(x)＝1－lnx－1＝－lnx，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，H′(x)＝－lnx＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，H′(x)＝－lnx＜0，所以函數(shù)H(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以H(x)max＝H(1)＝1－0－4＝－3＜0，所以函數(shù)h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故選ABC.

解依題意，不等式f(x)<g(x)在[1，e]上有解，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上是增函數(shù)，4.(2022·新高考山東卷)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna. (1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積； 當(dāng)a＝e時(shí)，f(x)＝ex－lnx＋1，f′(1)＝e－1，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為 y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.4.(2022·新高考山東卷)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna. (2)若f(x)≥1，求a的取值范圍. 解當(dāng)0<a<1時(shí)，f(1)＝a＋lna<1.不合題意，舍去. 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0. 所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值f(1)＝1， 從而f(x)≥1. 當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝aex－1－lnx＋lna>ex－1－lnx≥1. 綜上，a的取值范圍是[1，＋∞).所以F′(x)＝(x＋1)(ex＋1)，令F′(x)>0，解得x>－1，令F′(x)<0，解得x<－1，所以F(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增.解

(2)因?yàn)槿我鈞1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，所以mf(x1)－g(x1)>mf(x2)－g(x2)恒成立.6.已知函數(shù)f(x)＝mex－x2. (1)若m＝1，求曲線y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程； 解

當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝ex－x2，則f′(x)＝ex－2x.

所以f(0)＝1，且斜率k＝f′(0)＝1.

故所求切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0.6.已知函數(shù)f(x)＝mex－x2. (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥x(4－mex)在[0，＋∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解

由mex－x2≥x(4－mex)得mex(x＋1)≥x2＋4x.所以m≥.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[，＋∞).解

f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由題意，f′(1)＝1－a－b＝0，得b＝1－a.令f′(x)＝0，得x1＝1，