北京市朝陽區(qū)屆高三上學期期中考試數(shù)學（理）試題

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精北京市朝陽區(qū)2017-2018學年度第一學期高三年級期中統(tǒng)一考試數(shù)學試卷（理工類）（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分(選擇題共40分）一、選擇題:本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1。已知集合A={x｜x>1}，B=｛x|log2x〉1}，則A∩B=A.｛x｜x〉1｝B。{x|1〈x〈2}C。｛x｜x>2}D.｛x｜x>0｝【答案】C【解析】集合A={x｜x>1｝，B=｛x｜log2x>1｝={x｜x>2}，所以A∩B={x|x>2｝。故選C。2。已知實數(shù)x,y滿足條件則x+2y的最大值為A.12B。10C.8D.6【答案】B【解析】作出可行域如圖:由圖可知目標函數(shù)在點C處取得最大值為10故選：B點睛:本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合思想。需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數(shù)所對應的直線時,要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較,避免出錯；三,一般情況下，目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.3。要得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象，只需將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點A.先向右平移個單位長度,再將橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變B。先向右平移個單位長度，橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變C。橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，再向右平移個單位長度D。橫坐標變伸長原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移個單位長度【答案】C【解析】函數(shù)的圖象上所有的點橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變得到，再向右平移個單位長度，故選：C4.已知非零平面向量,，則“｜+|=||+|｜”是“存在非零實數(shù)l，使=λ”的A。充分而不必要條件B.必要而不充分條件C。充分必要條件D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】（1）若｜+｜=｜|+｜|，則，方向相同,∴，共線,∴存在非零實數(shù)λ,使=λ。∴“｜+|=||+||”是“存在非零實數(shù)λ,使=λ”的充分條件；(2)若存在非零實數(shù)λ，使=λ,則，共線，∴當，方向相同時,｜+｜=|｜+｜｜,當，方向相反時,|+|<｜|+||,∴∴“|+|=｜|+｜｜"不是“存在非零實數(shù)λ，使=λ”的必要條件.學%科%網(wǎng)...學％科％網(wǎng)。.。學％科％網(wǎng)..。學%科％網(wǎng)。。。學%科%網(wǎng)。..學%科％網(wǎng).。.學%科％網(wǎng)。.。故選A.5。已知Sn是等差數(shù)列｛an}(n∈N＊）的前n項和，且S5〉S6〉S4，以下有四個命題:①數(shù)列｛Sn}中的最大項為S10②數(shù)列{an}的公差d<0③S10〉0④S11〈0其中正確的序號是A.②③B.②③④C.②④D.①③④【答案】B【解析】Sn是等差數(shù)列{an}（n∈N＊）的前n項和，由，得,所以公差d=,②正確；由知，數(shù)列｛Sn}中的最大項為S5，①不正確；,③正確；,④正確.故選B。6.如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥DC，E是CD的中點DC=1,AB=2,則·=A.5B.-5C.1D.—1【答案】D【解析】過E作EF⊥AB，垂足為F，則，∴·。故選D。點睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法(1）求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式a·b＝｜a｜｜b|cosθ;二是坐標公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用數(shù)量積的幾何意義。(2)求較復雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關公式進行化簡。7。袋子里有編號為2,3,4，5,6的五個球,某位教師從袋中任取兩個不同的球.教師把所取兩球編號的和只告訴甲，其乘積只告訴乙,再讓甲、乙分別推斷這兩個球的編號.甲說:“我無法確定.”乙說:“我也無法確定."甲聽完乙的回答以后，甲說：“我現(xiàn)在可以確定兩個球的編號了?！备鶕?jù)以上信息,你可以推斷出抽取的兩球中A.一定有3號球B。一定沒有3號球C?？赡苡?號球D.可能有6號球【答案】D【解析】甲說：“我無法確定。”說明兩球編號的和可能為7包含（2，5）,（3，4），可能為8包含(2,6）,（3，5），可能為9包含（3,6）,(2，7）乙說：“我無法確定.”說明兩球編號的乘積為12包含（3,4）或（2，6）根據(jù)以上信息,可以推斷出抽取的兩球中可能有6號球故選:D點睛：本題是一道通俗易懂的合情推理題目，主要考查同學們的邏輯思維能力和推理能力，問題難度不大，認真審題是關鍵.8。已知函數(shù)f（x)=sin（cosx）—x與函數(shù)g(x）=cos（sinx）—x在區(qū)間(0,)都為減函數(shù),設x1，x2，x3∈(0，)，且cosx1=x1，sin(cosx2)=x2，cos(sinx3）=x3，則x1,x2，x3的大小關系是（）A。x1〈x2<x3B。x3〈x1〈x2C。x2<x1〈x3D.x2〈x3〈x1【答案】C【解析】先證明當（0，)時,。令，所以在（0,)上單調(diào)遞減,所以，即.由，所以,即又cos（sinx3）=x3，即，且g(x)在區(qū)間(0,)都為減函數(shù)，所以。同理：.即.又，且f(x）在區(qū)間（0，）都為減函數(shù)，所以.綜上:。故選C.點睛：利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。菏紫雀鶕?jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉化為的形式,然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“"，轉化為具體的不等式（組），此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi)。第二部分（非選擇題共110分）二、填空題:本大題共6小題,每小題5分，共30分。把答案填在答題卡上.9.執(zhí)行如下圖所示的程序框圖,則輸出i的值為_______【答案】5【解析】執(zhí)行程序：，，不符合，返回，不符合，返回，不符合，返回,符合，輸出故答案為：510。已知函數(shù)f(x)=,若f(x)的圖象與直線y=kx有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍________【答案】［2，2）【解析】作出f（x）的函數(shù)圖象，如圖所示:由圖象可知當時,直線y=kx與f（x)的圖象在第一象限有2個交點；設直線y=k1x與y=相切，切點為(a，b)，則解得.設直線y=k2x與y=相切，切點為（m,n)，則,解得，∴∴當?〈k<0時，直線y=kx與f（x)的圖象在第四象限有2個交點；當k<?eln2時,直線y=kx與f(x)的圖象在第二象限有2個交點。綜上，k的取值范圍是。故答案為:.點睛:研究函數(shù)零點(方程根)個數(shù)，三種常用的方法：（1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結合求解．一是轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，二是轉化為的交點個數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題11。已知函數(shù)f（x）同時滿足以下條件：①定義域為R；②值域為［0，1］；③f（x)-f(-x）=0。試寫出一個函數(shù)解析式f(x）=__________【答案】f(x)=｜sinx|或或f（x)=（答案不唯一）【解析】函數(shù)定義域為R，值域為且為偶函數(shù)，滿足題意的函數(shù)解析式可以為：或或12.某罐頭生產(chǎn)廠計劃制造一種圓柱形的密封鐵皮罐頭盒,其表面積為定值S。若罐頭盒的底面半徑為r，則罐頭盒的體積V與r的函數(shù)關系式為；當r=______時，罐頭盒的體積最大________.【答案】(1)。V=Sr—πr3(0〈r〈）(2)?！窘馕觥坑深}意得：圓柱的高是，故；，令v′（r）〉0，解得:，令v′（r)<0,解得：,故v（r）在(0，)遞增，在(，）遞減,故當r=時V最大，故答案為：。13。將集合M={1，2,3，.。.，15}表示為它的5個三元子集（三元集：含三個元素的集合)的并集,并且這些三元子集的元素之和都相等,則每個三元集的元素之和為________；請寫出滿足上述條件的集合M的5個三元子集__________(只寫出一組)【答案】(1)。24（2）。{1，8,15｝,｛3,7，14｝，｛5,6，13},{2，10，12｝，{4，9，11}（答案不唯一）【解析】因為5個三元子集(三元集：含三個元素的集合）的并集為集合M={1,2,3,。。。,15}所以元素總和為：，又因為這5個三元子集的元素之和都相等，所以每個集合的元素和為.滿足上述條件的集合M的5個三元子集可以是:{1，8，15}，{3,7，14}，｛5，6，13｝,｛2，10，12｝，｛4，9,11}（答案不唯一）。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。14。已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,滿足Sn=2an-1。（n∈N*）（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式;（Ⅱ）若數(shù)列{bn｝滿足bn=an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【答案】(Ⅰ）an=2n—1；（Ⅱ）Tn=。【解析】試題分析：（Ⅰ）由n≥2時，an=Sn—Sn-1即可得通項公式；（Ⅱ）bn=an=2n-1=1—n,利用等差數(shù)列求和公式求解即可.試題解析：（Ⅰ）當n=1時,a1=1.當n≥2時，an=Sn-Sn-1，an=2an—2an—1，即an=2an-1所以數(shù)列｛an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列。故an=2n-1，n∈N*.（Ⅱ)由已知得bn=an=2n—1=1—n.因為bn-bn-1=（1-n)—（2-n)=—1，所以{bn｝是首項為0，公差為-1的等差數(shù)列.故{bn}的前n項和Tn=。15.已知函數(shù)f（x)=2sinxcos（x—).（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期.（Ⅱ)當x∈[0,]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ)f（x）∈[0,1+］.【解析】試題分析：（Ⅰ)由兩角差的余弦公式展開，結合二倍角公式化簡得f（x)=sin（2x—）+,進而得周期；(Ⅱ）由x∈[0,]得2x—∈[-，]，即可得sin（2x—）∈［-，1］，從而得解.試題解析：因為f(x)=2sinx×cos(x—）,所以f（x)=2sinx×（cosxcos+sinxsin）=sinx×cosx+sin2x=sin2x+(1-cos2x）=sin(2x-）+.（Ⅰ)函數(shù)f(x）的最小正周期為.（Ⅱ）因為x∈［0，］，所以2x-∈[-,]。所以sin（2x-）∈［-，1］。所以f（x)∈［0,1+］。16。在△ABC中，A=，=.（Ⅰ）試求tanC的值；（Ⅱ）若a=5,試求△ABC的面積。【答案】（Ⅰ)tanC=;(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）由正弦定理得：,將A=代入求解得4sinC=3cosC，進而得tanC的值；（Ⅱ）結合條件由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA得25=b2+（b)2—2b×b×。求解b，c代入S=bcsinA求解面積即可。試題解析：（Ⅰ）因為A=,=，所以==.所以7sinC=3所以7sinC=3所以7sinC=3cosC+3sinC。所以4sinC=3cosC。所以tanC=.（Ⅱ）因為A=，=,a=5,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得25=b2+(b）2-2b×b×.所以b=7，c=3。所以△ABC的面積S=bcsinA=×7×3×。17.已知函數(shù)f（x)=（x2-ax+a）e—x,a∈R（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)設g(x）=f’（x),其中f’(x）為函數(shù)f（x)的導函數(shù)。判斷g(x）在定義域內(nèi)是否為單調(diào)函數(shù)，并說明理由?！敬鸢浮浚á瘢┮娊馕?；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）函數(shù)求導得f’(x）=—（x—2）（x-a)e-x，討論a和2的大小,結合導數(shù)的正負討論單調(diào)性即可；（Ⅱ)g'(x)=f＂(x)=［x2-(a+4）x+3a+2]×e—x，記h（x）=x2—(a+4）x+3a+2,通過二次函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)有正有負，從而得g(x）在定義域內(nèi)不為單調(diào)函數(shù).試題解析:（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為{x｜x∈R｝。。①當a<2時，令f'（x)<0，解得：x<a或x〉2，f(x)為減函數(shù)；令f’（x)〉0,解得:a<x〈2，f(x)為增函數(shù)。②當a=2時，f’（x)=—(x—2）2e-x≤0恒成立，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；③當a>2時，令f’(x）〈0，解得：x〈2或x〉a，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；令f’(x)〉0，解得：2<x<a，函數(shù)f(x）為增函數(shù).綜上，當a〈2時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，a），（2，+∞）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a,2）；當a=2時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,+∞）；當a>2時，f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，2）,（a,+∞)；單調(diào)遞增區(qū)間為（2，a).（Ⅱ）g（x)在定義域內(nèi)不為單調(diào)函數(shù)，以下說明:g’(x)=f＂（x）=［x2—(a+4）x+3a+2］×e-x。記h(x）=x2—（a+4）x+3a+2,則函數(shù)h（x）為開口向上的二次函數(shù).方程h(x)=0的判別式△=a2-4a+8=(a-2)2+4〉0恒成立。所以,h(x）有正有負,從而g’(x)有正有負故g(x)在定義域內(nèi)不為單調(diào)函數(shù)。18.已知函數(shù)f（x)=-lnx-。（Ⅰ）求曲線y=f(x)在點(1，f（1)）處的切線方程;（Ⅱ）求證：lnx≥—(Ⅲ）判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方,并說明理由.【答案】(Ⅰ）（-1）x-y-+1=0；(Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】試題分析:（Ⅰ）函數(shù)求導得切線斜率為f’（1）=-1，再利用直線的點斜式求解即可；（Ⅱ）要證明lnx≥-，(x>0)”等價于“xlnx≥—”,設函數(shù)g(x)=xlnx，求導結合單調(diào)性得g（)即可證得；（Ⅲ）由（Ⅱ)可知lnx≥，所以f（x)≤—(）,求導結合單調(diào)性得k（x）≤k(1)=0恒成立,即可證得。試題解析：函數(shù)的定義域為(0，+∞)，f'（x)=-—+（Ⅰ）f’(1)=—1,又f(1)=—曲線y=f(x）在x=1處的切線方程為y+=（-1)x—+1.即(-1)x—y—+1=0.（Ⅱ）“要證明lnx≥—，(x>0)”等價于“xlnx≥設函數(shù)g（x）=xlnx。令g’（x）=1+lnx=0，解得.x（0,）（）g（x）—0+g（x）遞減遞增因此,函數(shù)g(x)的最小值為g()=—，故xlnx≥。即lnx≥.（Ⅲ）曲線y=f(x）位于x軸下方。理由如下：由（Ⅱ）可知lnx≥,所以f（x)≤—=（）.設k（x）=，則k’(x）=令k’（x）〉0得0<x〈1;令k'(x)<0得x>1.所以k(x)在（0，1)上為增函數(shù)，（1,+∞)上為減函數(shù).所以當x>0時,k(x）≤k（1）=0恒成立，當且僅當x=1時,k(1）=0.又因為f(1）=-〈0，所以f(x)〈0恒成立.故曲線y=f(x)位于x軸下方。點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題,首先要構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù),直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.19.數(shù)列a1,a2……an是正整數(shù)1,2,……，n的任一排列，且同時滿足以下兩個條件：①a1=1；②當n≥2時,|ai-ai+1｜≤2(i=1，2，…，n—1)。記這樣的數(shù)列個數(shù)為f(n)。（I）寫出f(2），f（3）,f（4）的值；（II)證明f(2018）不能被4整除.【答案】（Ⅰ）f（2）=1，f（3）=2,f(4）=4；（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析:（Ⅰ）根據(jù)題意，由f（n）的定義，計算即可得答案;

(Ⅱ)根據(jù)題意,把滿足條件①②的