考點31 空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積

考點31空間幾何體的結構及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1.(2018·全國卷I高考理科·T7)同(2018·全國卷I高考文科·T9)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖所示,圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在側視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為 ()A.217 B.25 C.3 D.2【解析】選B.將三視圖還原為圓柱,M,N的位置如圖1所示,將側面展開,最短路徑為M,N連線的距離,所以MN=42+22.(2018·全國卷I高考文科·T5)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為 ()A.122π B.12π C.82π D.10π【解析】選B.截面面積為8,所以高h=22,底面半徑r=2,所以該圓柱表面積S=π·(2)2·2+2π·2·22=12π.3.(2018·全國卷I高考文科·T10)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長方體的體積為 ()A.8 B.62 C.82 D.83【解析】選C.如圖,連接AC1和BC1,因為AB⊥平面BB1C1C,AC1與平面BB1C1C所成角為30°,所以∠AC1B=30°,所以ABBC1=tan30°,BC1=23,所以CC1=22,所以V=2×2×224.(2018·全國Ⅲ高考理科·T3)同(2018·全國Ⅲ高考文科·T3)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來,構件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是 ()【命題意圖】本題考查幾何體的三視圖,考查空間想象能力,體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng).試題難度:易.【解析】選A.由直觀圖可知選A.5.(2018·全國Ⅲ高考理科·T10)設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為 ()A.123 B.183 C.243 D.543【命題意圖】本題考查三棱錐的體積的計算,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng).試題難度:中.【解析】選B.設△ABC的邊長為a,則S△ABC=12a2sinC=34a2=93,解得如圖所示,當點D在底面上的射影為三角形ABC的中心H時,三棱錐D-ABC的體積最大,設球心為O,則在直角三角形AHO中,AH=23×32×6=23,OA=R=4,則OH=OA2-AH2=16-12=2,所以DH=2+4=6,所以三棱錐D-ABC的體積最大值為V=13S6.(2018·北京高考理科·T5)同(2018·北京高考文科·T6)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側面中,直角三角形的個數為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【命題意圖】本小題主要考查空間幾何體的三視圖,意在考查三視圖與直觀圖的轉化,培養(yǎng)學生的空間想象能力,體現(xiàn)了直觀想象的數學素養(yǎng).【解析】選C.將四棱錐三視圖轉化為直觀圖,如圖,側面共有4個三角形,即△PAB,△PBC,△PCD,△PAD,由已知,PD⊥平面ABCD,又AD?平面ABCD,所以PD⊥AD,同理PD⊥CD,PD⊥AB,所以△PCD,△PAD是直角三角形.因為AB⊥AD,PD⊥AB,PD,AD?平面PAD,PD∩AD=D,所以AB⊥平面PAD,又PA?平面PAD,所以AB⊥PA,△PAB是直角三角形.因為AB=1,CD=2,AD=2,PD=2,所以PA=PD2+AD2=22,PB=PA在梯形ABCD中,易知BC=5,△PBC三條邊長為22,3,5,△PBC不是直角三角形.綜上,側面中直角三角形個數為3.7.(2018·浙江高考T3)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2 B.4 C.6 D.8【命題意圖】考查由三視圖還原幾何體的能力及空間幾何體的體積.【解析】選C.由三視圖可知,該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱,底面面積S=(1+2)×22=3,高h=2,所以8.(2018·全國Ⅲ高考文科·T12)設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D-ABC體積的最大值為 ()A.123 B.183 C.243 D.543【命題意圖】本題考查三棱錐的體積的計算,考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理和數學運算的核心素養(yǎng).試題難度:中.【解析】選B.設△ABC的邊長為a,則S△ABC=12a2sinC=34a2=93,解得如圖所示,當點D在底面上的射影為三角形ABC的中心H時,三棱錐D-ABC的體積最大,設球心為O,則在直角三角形AHO中,AH=23×32×6=23,OA=R=4,則OH=OA2-AH2=16-12=2,所以DH=2+4=6,所以三棱錐D-ABC的體積最大值為V=13S二、填空題9.(2018·全國卷II高考理科·T16)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為78,SA與圓錐底面所成角為45°,若△SAB的面積為515,則該圓錐的側面積為【命題意圖】本題考查空間幾何體的表面積公式的運用,同時考查了線線角和線面角的有關知識.【解析】如圖:設SA=SB=l,底面圓半徑為r,因為SA與圓錐底面所成角為45°,所以l=2r,在△SAB中,AB2=SA2+SB2-2SA·SB·cos∠ASB=12r2AB=22r,AB邊上的高為(2r)2-24r2所以12·22r·304r=515,解得r所以該圓錐的側面積為πrl=π2r2=402π.答案:402π10.(2018·全國卷II高考文科·T16)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30°,若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為.

【命題意圖】本題考查空間幾何體的體積公式的運用,同時考查了線線角和線面角的有關知識.【解析】設底面圓的半徑為r,底面圓心為O,因為SA與圓錐底面所成角為30°,所以SA=2r3,SO=3又直角△SAB的面積為8,所以122r32=8,所以V=13πr2·SO=13π(23)2·33·2答案:8π11.(2018·天津高考理科·T11)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為.

【命題意圖】本題考查四棱錐的概念、體積的求法,直線與平面的垂直,考查考生空間想象能力以及運算求解能力.【解析】依題意得:該四棱錐M-EFGH為正四棱錐,其高為正方體棱長的一半,即為12,正方形EFGH的邊長為22,其面積為12,所以四棱錐M-EFGH的體積VM-EFGH=13Sh=13×1答案:112.(2018·天津高考文科·T11)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為.

【命題意圖】本題考查四棱錐的概念、體積的求法,直線與平面的垂直,考查考生空間想象能力以及運算求解能力.【解題指南】依據題設條件,先找到四棱錐的高和底,利用體積公式即可求解.【解析】連接A1C1,交B1D1于O1點,依題意得A1O1⊥平面BB1D1D,即A1O1為四棱錐A1-BB1D1D的高,且A1O1=22,而四棱錐A