庫侖力作用下的平衡問題和變速運動問題

一.必備知識〔一〕庫侖力作用下的平衡問題1.解題思路及步驟涉及庫侖力的平衡問題，其解題思路與力學中的平衡問題一樣，只是在原來受力的根底上多了庫侖力。注意庫侖力的方向：同性相斥，異性相吸，沿兩電荷連線方向。2.求解帶電體平衡問題的方法分析帶電體平衡問題的方法與力學中分析物體受力平衡問題的方法相同。(1)當兩個力在同一直線上使帶電體處于平衡狀態(tài)時，根據(jù)二力平衡的條件求解；(2)在三個力作用下帶電體處于平衡狀態(tài)時，一般運用勾股定理、三角函數(shù)關系以及矢量三角形等知識求解；(3)在三個以上的力作用下帶電體處于平衡狀態(tài)時，一般用正交分解法求解。3．三個自由點電荷平衡模型、平衡條件及規(guī)律〔1〕模型特點①三個點電荷共線。②三個點電荷彼此間僅靠電場力作用到達平衡，不受其他外力。③任意一個點電荷受到其他兩個點電荷的電場力大小相等，方向相反，為一對平衡力。(2)平衡條件：每個點電荷受另外兩個點電荷的合力為零，或每個點電荷處于另外兩個點電荷產(chǎn)生的電場中合場強為零的位置?！?〕三電荷平衡模型的規(guī)律①“三點共線〞——三個點電荷分布在同一直線上。②“兩同夾異〞——正負電荷相互間隔。③“兩大夾小〞——中間電荷的電荷量最小。④“近小遠大〞——中間電荷靠近電荷量較小的電荷。圖示如下：〔4〕解決三電荷平衡問題應注意的兩點①此類題目易誤認為只要三個點電荷到達平衡就是“三電荷平衡模型〞，而沒有分析是否滿足模型成立的條件。如果三個點電荷已到達平衡，但假設其中某個點電荷受到了外力作用，仍不是“三電荷平衡模型〞。②原那么上對于三個點電荷中的任意兩個進行受力分析，列平衡方程，即可使問題得到求解，但選取的兩個點電荷不同，往往求解難度不同，要根據(jù)不同的題目進行選取。〔二〕變速問題當點電荷受到的合力不為零時，應用牛頓第二定律進行運動分析和計算。二.典型例題精講題型一：同一直線上的三個自由點電荷的平衡例1：如下圖，在光滑絕緣的水平面上沿同一直線依次放著A、B、C三個帶電小球，它們均可視為點電荷，且每個電荷在庫侖力作用下都處于平衡狀態(tài)，A帶正電，A、B間距離為l，B、C間距離為2l，且A的電荷量QA＝q，那么B、C分別帶什么電？小球B、C的電荷量分別是多大？[答案]B帶負電QB＝eq\f(4,9)qC帶正電QC＝4q[解析]根據(jù)平衡條件可知，假設A受力平衡，那么A受到B、C兩電荷對其的作用力中一個一定是引力，另一個一定是斥力，那么B、C一定為異種電荷，假設B帶正電，那么C必帶負電，那么此時C受到的A、B兩電荷的作用力均為引力，C不能平衡，故只能是B帶負電，C帶正電(此時三個點電荷在受力方向上均能滿足平衡條件)。以A為研究對象，由平衡條件可得：keq\f(qQB,l2)＝keq\f(qQC,l＋2l2)以B為研究對象，同理得：keq\f(qQB,l2)＝keq\f(QBQC,4l2)題型二：非自由點電荷的平衡例2：(·全國卷Ⅰ·15)如圖，空間存在一方向水平向右的勻強電場，兩個帶電小球P和Q用相同的絕緣細繩懸掛在水平天花板下，兩細繩都恰好與天花板垂直，那么()A．P和Q都帶正電荷B．P和Q都帶負電荷C．P帶正電荷，Q帶負電荷D．P帶負電荷，Q帶正電荷答案D解析對P、Q整體進行受力分析可知，在水平方向上整體所受電場力為零，所以P、Q必帶等量異種電荷，選項A、B錯誤；對P進行受力分析可知，Q對P的庫侖力水平向右，那么勻強電場對P的電場力應水平向左，所以P帶負電荷，Q帶正電荷，選項C錯誤，D正確．題型三：變速問題例3：質量均為m的三個帶電小球A、B、C用三根長度均為l的絕緣絲線相互連接，放置在光滑絕緣的水平面上，A球的電荷量為＋q.在C球上施加一個水平向右的恒力F之后，三個小球一起向右運動，三根絲線剛好都伸直且沒有彈力，F(xiàn)的作用線的反向延長線與A、B間的絲線相交于絲線的中點，如圖10所示．靜電力常量為k，以下說法正確的選項是()A．B球的電荷量可能為＋2qB．C球的電荷量為－2qC．三個小球一起運動的加速度大小為eq\f(\r(3)kq2,ml2)D．恒力F的大小為eq\f(2\r(3)kq2,l2)答案BC解析根據(jù)對稱性可知，A球的電荷量和B球的電荷量相同，故A錯誤；設C球的電荷量大小為qC，以A球為研究對象，B球對A球的庫侖斥力為FBA＝eq\f(kq2,l2)，C球對A球的庫侖引力為FCA＝eq\f(kqqC,l2)，由題意可知小球運動的加速度方向與F的作用線平行，那么有：FCAsin30°＝FBA，F(xiàn)CAcos30°＝ma，解得：qC＝2q，a＝eq\f(\r(3)kq2,ml2)，C球帶負電，故C球的電荷量為－2q，故B、C正確；以三個小球整體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律可得：F＝3ma＝eq\f(3\r(3)kq2,l2)，故D錯誤．三.舉一反三，穩(wěn)固練習1．某原子電離后其核外只有一個電子，假設該電子在核的靜電力作用下繞核做勻速圓周運動，那么電子運動()A．半徑越大，加速度越大B．半徑越小，周期越大C．半徑越大，角速度越小D．半徑越小，線速度越小答案C解析電子做勻速圓周運動的向心力由靜電力提供，由牛頓第二定律得keq\f(q1q2,r2)＝ma，那么a＝eq\f(kq1q2,mr2)，半徑越大，加速度越小，A錯誤；由eq\f(kq1q2,r2)＝mreq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2得T＝eq\r(\f(4π2r3m,kq1q2))，半徑越小，周期越小，B錯誤；由eq\f(kq1q2,r2)＝mrω2得ω＝eq\r(\f(kq1q2,mr3))，半徑越大，角速度越小，C正確；由eq\f(kq1q2,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(\f(kq1q2,mr))，半徑越小，線速度越大，D錯誤。2．如下圖，同一直線上的三個點電荷q1、q2、q3，恰好都處在平衡狀態(tài)，除相互作用的靜電力外不受其他外力作用。q1、q2間的距離是q2、q3間距離的2倍。以下說法正確的選項是()A．假設q1、q3為正電荷，那么q2為負電荷B．假設q1、q3為負電荷，那么q2為正電荷C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9D．q1∶q2∶q3＝9∶4∶36答案ABC解析三個自由電荷在同一直線上處于平衡狀態(tài)，那么一定滿足“兩同夾異，近小遠大〞原理，即兩邊的電荷電性相同和中間的電荷電性相反，判斷電荷量大小關系時，距離遠的電荷量大于距離近的電荷量，故A、B正確；根據(jù)庫侖定律，依據(jù)矢量合成，那么有：eq\f(kq1q2,r\o\al(2,12))＝eq\f(kq1q3,r\o\al(2,13))＝eq\f(kq2q3,r\o\al(2,23))，q1、q2間的距離是q2、q3間的距離的2倍，所以q1∶q2∶q3＝36∶4∶9，故C正確，D錯誤。3.如圖，光滑絕緣圓環(huán)豎直放置，a、b、c為三個套在圓環(huán)上可自由滑動的空心帶電小球，小球c位于圓環(huán)最高點，ac連線與豎直方向成60°角，bc連線與豎直方向成30°角，三個小球均處于靜止狀態(tài)．以下說法正確的選項是()A．小球a、b、c帶同種電荷B．小球a、b帶異種電荷C．小球a、b電荷量之比為eq\f(\r(3),6)D．小球a、b電荷量之比為eq\f(\r(3),9)答案D解析對c小球受力分析可得，a、b小球必須帶同種電荷，c小球才能平衡；對b小球受力分析可得，b、c小球帶異種電荷，b小球才能平衡，故A、B錯誤．設環(huán)的半徑為R，a、b、c球的帶電荷量分別為q1、q2和q3，由幾何關系可得lac＝R，lbc＝eq\r(3)R，a與b對c的作用力都是吸引力，它們對c的作用力在水平方向的分力大小相等，那么有eq\f(kq1q3,l\o\al(ac2,))·sin60°＝eq\f(kq2q3,l\o\al(bc2,))·sin30°，所以eq\f(q1,q2)＝eq\f(\r(3),9)，應選項C錯誤，D正確．4.如下圖，傾角為θ的光滑絕緣斜面固定在水平面上．為了使質量為m，帶電荷量為＋q的小球靜止在斜面上，可加一平行紙面的勻強電場(未畫出)，那么()A．電場強度的最小值為E＝eq\f(mgtanθ,q)B．假設電場強度E＝eq\f(mg,q)，那么電場強度方向一定豎直向上C．假設電場強度方向從沿斜面向上逐漸轉到豎直向上，那么電場強度逐漸增大D．假設電場強度方向從沿斜面向上逐漸轉到豎直向上，那么電場強度先減小后增大答案C解析對小球受力分析，如下圖，電場力與支持力垂直時，所加的電場強度最小，此時場強方向沿斜面向上，mgsinθ＝qEmin，解得電場強度的最小值為Emin＝eq\f(mgsinθ,q)，選項A錯誤；假設電場強度E＝eq\f(mg,q)，那么電場力與重力大小相等，由圖可知，電場力方向可能豎直向上，也可能斜向左下，選項B錯誤；由圖可知，假設電場強度方向從沿斜面向上逐漸轉到豎直向上，那么電場力逐漸變大，電場強度逐漸增大，選項C正確，D錯誤．5.如下圖，用兩根長度均為l的絕緣輕繩將帶正電的小球懸掛在水平的天花板下，小球的質量為m，輕繩與天花板的夾角均為θ，小球正下方距離也為l的A處一絕緣支架上同樣有一個帶電小球，此時輕繩的張力均為0，現(xiàn)在將支架水平向右移動到B處，B處位置與兩輕繩結點的連線與豎直方向的夾角為θ，小球處于靜止狀態(tài)，假設θ＝30°，那么()A．A處的帶電小球帶負電B．支架在A處與在B處時兩小球之間的庫侖力大小之比為2∶3C．支架在B處時，左邊繩子的張力為mg－eq\f(\r(3),2)mgD．支架在B處時，右邊繩子的張力為mg＋eq\f(\r(3),2)mg答案：C。解析：當絕緣支架上的帶電小球在A位置時，輕繩的張力均為0，對其受力分析可知其只受重力和庫侖力，因此兩小球之間的庫侖力為斥力，那么A處的帶電小球帶正電，故A錯誤；根據(jù)庫侖定律可得F＝keq\f(Qq,r2)，因此絕緣支架在A處與在B處時，兩小球之間的庫侖力大小之比eq\f(FA,FB)＝eq\f(r\o\al(2,2),r\o\al(2,1))＝eq\f(1,cos230°)＝eq\f(4,3)，故B錯誤；根據(jù)平衡條件知，F(xiàn)A＝mg，那么支架在B處時，兩球間的庫侖力為FB＝eq\f(3,4)FA＝eq\f(3,4)mg，設左、右繩的張力分別為F1和F2，那么由正交分解可得F1cos30°＋eq\f(3,4)mgsin30°＝F2cos30°，F(xiàn)1sin30°＋eq\f(3,4)mgcos30°＋F2sin30°＝mg，解得F1＝mg－eq\f(\r(3),2)mg，F(xiàn)2＝mg－eq\f(\r(3),4)mg，故C正確，D錯誤。6.如下圖，兩條不等長的細線一端拴在同一點，另一端分別拴兩個帶同種電荷的小球，電荷量分別是q1、q2，質量分別為m1、m2，當兩小球處于同一水平面時恰好靜止，且α>β，那么造成α、β不相等的原因是()A．m1<m2 B．m1>m2C．q1<q2 D．q1>q2答案A解析對兩帶電小球分別進行受力分析如圖，根據(jù)平衡條件有tanα＝eq\f(F,m1g)，tanβ＝eq\f(F,m2g)，兩者之間庫侖力F大小相等，因α>β，所以m1<m2，故A正確，B錯誤；電荷量q1、q2無論哪個大，兩者之間庫侖力F大小都相等，故C、D錯誤。7.如下圖，在一條直線上有兩個相距0.4m的點電荷A、B，A帶電＋Q，B帶電－9Q?，F(xiàn)引入第三個點電荷C，恰好使三個點電荷均在靜電力的作用下處于平衡狀態(tài)，那么C的帶電性質及位置應為()A．正，B的右邊0.4m處B．正，B的左邊0.2m處C．負，A的左邊0.2m處D．負，A的右邊0.2m處答案C解析根據(jù)庫侖定律，當C在A的左側時，C受到A、B庫侖力的合力才可能為0，那么C在A的左邊；為使A受到B、C的庫侖力的合力為0，C應帶負電；設C在A左側距A為x處，由于C處于平衡狀態(tài)，所以keq\f(Qq,x2)＝eq\f(9kQ·q,0.4＋x2)，解得x＝0.2m，C正確。8．(·11月選考)電荷量為4×10－6C的小球絕緣固定在A點，質量為0.2kg，電荷量為－5×10－6C的小球用絕緣細線懸掛，靜止于B點。A、B間距離為30cm，A、B連線與豎直方向夾角為60°。靜電力常量為9.0×109N·m2/C2，小球可視為點電荷。以下圖示正確的選項是()答案B解析兩球之間的庫侖力大小為F＝keq\f(qAqB,r2)＝9.0×109×eq\f(4×10－6×5×10－6,0.32)N＝2N，根據(jù)題意，F(xiàn)與豎直方向的夾角為60°，小球B的重力大小為GB＝mBg＝2N，知F＝GB，又因小球B靜止，故小球B受到的庫侖力、重力以及細線的拉力組成的矢量三角形為等邊三角形，所以細線與豎直方向的夾角為60°，B正確。9.如下圖，豎直墻面與水平地面均光滑且絕緣，兩個帶有同種電荷的小球A、B分別處于豎直墻面和水平地面上，且處于同一豎直平面內(nèi)，假設用圖示方向的水平推力F作用于小球B，那么兩球靜止于圖示位置，如果將小球B向左推動少許，并待兩球重新到達平衡時，那么兩個小球的受力情況與原來相比()A．推力F將增大B．豎直墻面對小球A的彈力增大C．地面對小球B的彈力一定不變D．兩個小球之間的距離減小答案C解析以A球為研究對象，受力如圖1所示，設B對A的庫侖力F庫與豎直墻面的夾角為θ，由平衡條件得豎直墻面對小球A的彈力為：N1＝mAgtanθ；將小球B向左推動少許時θ減小，那么N1減小，故B錯誤；再以A、B整體為研究對象，受力如圖2所示，由平衡條件得：F＝N1，地面對小球B的彈力為：N2＝(mA＋mB)g，那么N2不變，F(xiàn)減小，A錯誤，C正確；由圖1及平衡條件知F庫＝eq\f(mAg,cosθ)，θ減小，cosθ增大，那么F庫減小，根據(jù)F庫＝eq\f(kq1q2,r2)可知，兩個小球之間的距離增大，D錯誤。10.如下圖，真空中三個質量相等的小球A、B、C，帶電荷量大小分別為QA＝6q，QB＝3q，QC＝8q.現(xiàn)用適當大小的恒力F拉C，可使A、B、C沿光滑水平面做勻加速直線運動，運動過程中A、B、C保持相對靜止，且A、B間距離與B、C間距離相等．不計電荷運動產(chǎn)生磁場的影響，小球可視為點電荷，那么此過程中B、C之間的作用力大小為()A.eq\f(4,3)FB．FC.eq\f(2,3)FD.eq\f(1,3)F答案A解析設小球的質量為m，以三個球為整體：F＝3ma；以A、B為整體：F1＝2ma，解得F1＝eq\f(2,3)F；由牛頓第三定律知A、B對C的庫侖力的合力大小為eq\f(2,3)F.根據(jù)庫侖定律得eq\f(FBC,FAC)＝keq\f(3q·8q,L2)∶keq\f(6q·8q,4L2)＝eq\f(2,1)，A、B所受C的庫侖力方向不可能相同，結合牛頓第三定律可知：FBC－FAC＝eq\f(2,3)F，解得FBC＝eq\f(4,3)F.11．(多項選擇)如下圖，光滑絕緣的水平面上有一帶電荷量為－q的點電荷，在距水平面高h處的空間內(nèi)存在一場源點電荷＋Q，兩電荷連線與水平面間的夾角θ＝30°，現(xiàn)給－q一水平初速度，使其恰好能在水平面上做勻速圓周運動(恰好不受支持力)，重力加速度為g，靜電力常量為k，那么()A．點電荷－q做勻速圓周運動的向心力為eq\f(\r(3)kQq,4h2)B．點電荷－q做勻速圓周運動的向心力為eq\f(\r(3)kQq,8h2)C．點電荷－q做勻速圓周運動的線速度為eq\r(3gh)D．點電荷－q做勻速圓周運動的線速度為eq\f(\r(3gh),2)答案BC解析點電荷－q恰好能在水平面上做勻速圓周運動，點電荷－q受到豎直向下的重力以及點電荷＋Q的引力，如下圖，電荷之間的引力在水平方向上的分力充當向心力，兩點電荷間距離R＝eq\f(h,sinθ)，F(xiàn)n＝keq\f(Qq,R2)·cosθ，聯(lián)立解得Fn＝eq\f(\r(3)kQq,8h2)，A錯誤，B正確；點電荷－q做勻速圓周運動的半徑r＝eq\f(h,tanθ)，因為Fn＝eq\f(mg,tanθ)，根據(jù)Fn＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(3gh)，C正確，D錯誤．12.如圖，通過絕緣輕繩將質量均為m的三個小球A、B、C連接在一起并懸于O點，其中A、B球帶電，且?guī)щ姾闪烤鶠椋玵，C球不帶電．整個空間存在方向豎直向下的勻強電場，場強大小為E＝eq\f(mg,q).當把OA段細線剪斷的瞬間()A．A球的加速度小于2gB．B球的加速度大于2gC．A球和B球之間的繩子