專題29雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)（解析板）

專題29雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)№專題29雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)№考向解讀?考點精析?真題精講?模擬精練?專題訓練（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習（新高考）備戰(zhàn)2024高考數(shù)學一輪復習專題29雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)命題解讀命題預測復習建議雙曲線的定義、標準方差、幾何性質(zhì)一直是高考的必考重點知識之一，近幾年的高考中多有涉及，從高考的出題來看多集中在選擇題和填空題，以中檔題為多，靈活多樣。在考查中重點是注重學生分析問題和解決問題的能力，注重數(shù)學核心素養(yǎng)的考查。預計2024年的高考對于雙曲線的考查變化不是很大，還是以選擇或者填空為主，但要注意新高考下的多選題的考查，注重能力的考查。集合復習策略：1.理解雙曲線的定義以及雙曲線的標準方程的形式；2.掌握雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。→?考點精析←一、雙曲線的定義及標準方程雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點叫作雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫作雙曲線的焦距.

雙曲線的標準方程：焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為x2a2y2b2焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為y2a2x2b2=二、雙曲線的幾何性質(zhì)標準方程x2a2y2b2y2a2x2b2圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤a,y∈R

y≤a或y≥a,x∈R

對稱性對稱軸:坐標軸.對稱中心:原點頂點A1(a,0)A2(a,0)A1(0,a)A2(0,a)漸近線y=±bay=±ab離心率e=ca,e∈(1,+∞a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

實、虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫作雙曲線的實半軸長,b叫作雙曲線的虛半軸長

→?真題精講←1.（2023全國甲卷8）已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長.【詳解】由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選：D2.（2023全國乙卷11）設(shè)A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點差法分析可得，對于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點個數(shù)，逐項分析判斷；對于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.【詳解】設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以.對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；故選：D.3.（2023北京卷12）已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳解】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：4.（2023天津卷9）雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由點到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【詳解】如圖，因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因為,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D5.（2023全國Ⅰ卷16）已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【答案】##【解析】【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達式，從而利用勾股定理求得，進而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.方法二：依題意設(shè)出各點坐標，從而由向量坐標運算求得，，將點代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；【詳解】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以中，，整理得，故.方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或（舍去），故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線過焦點的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.6.（2023全國Ⅱ卷21）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.【小問1詳解】設(shè)雙曲線方程為，由焦點坐標可知，則由可得，，雙曲線方程為.【小問2詳解】由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.→?模擬精練←1．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學?？级＃┮阎请p曲線的左、右焦點，O為坐標原點，以為直徑的圓與雙曲線C的一個交點為A，以為直徑的圓與雙曲線C的一個交點為B，若，A，B恰好共線，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．3【答案】B【分析】設(shè)，在中，根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式可得，設(shè),,則，從而可得，，代入，結(jié)合及離心率公式即可求解.【詳解】設(shè)，因為在雙曲線上，故.由余弦定理可得，所以.所以.由題意可得與為直角三角形，所以.因為是的中點，所以是的中點.設(shè),,則.所以.故.所以,解得，.所以,可得，故.故選：B.2．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎p曲線的左焦點為，離心率為e，直線分別與C的左?右兩支交于點M，N.若的面積為，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】D【分析】作出輔助線，，由面積公式求出，利用雙曲線定義和余弦定理求出，求出，進而求出.【詳解】連接，有對稱性可知：四邊形為平行四邊形，故，，，由面積公式得：，解得：，由雙曲線定義可知：，在三角形中，由余弦定理得：，解得：，所以，解得：，故，當且僅當，即時，等號成立.故選：D3．（2023·江蘇南通·二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點，點P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點，直線PF2與圓O相交于M，N兩點．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對稱性不妨設(shè)點P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN的垂線，垂足為D，O為的中點，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D4．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）雙曲線的左?右焦點分別為，以的實軸為直徑的圓記為，過作的切線與曲線在第一象限交于點，且，則曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)切點為，，連接，則，，過點作⊥軸于點E，則，故，因為，解得，由雙曲線定義得，所以，在中，由余弦定理得，化簡得，又，所以，方程兩邊同時除以得，解得，所以離心率.故選：A5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）已知分別是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，，圓，直線與圓相交于兩點，直線與圓相交于兩點，若四邊形的面積為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得：，可得，整理得，過點分別作的垂線，垂足分別為，則為的中點，為的中點，則，所以，由題意可得：，因為圓的半徑為，可得，所以四邊形的面積，可得，則，整理得，所以的離心率.故選：A.6．（多選）（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C的左?右焦點分別為，，雙曲線具有如下光學性質(zhì)：從右焦點發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長線過左焦點C的一條漸近線的方程為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線C的方程為B．若，則C．若射線n所在直線的斜率為k，則D．當n過點M（8，5）時，光由所經(jīng)過的路程為10【答案】AC【詳解】對于A，由題意可知，因為雙曲線C的一條漸近線的方程為，所以，即，所以雙曲線的方程為故A正確；對于B，由，得，解得，在中，，由勾股定理及雙曲線的定義知，，即，解得，故B錯誤；對于C，由題意可知，雙曲線的漸近線方程為，由雙曲線的性質(zhì)可得射線所在直線的斜率范圍為，故C正確；對于D，由題意可知，，當過點時，由雙曲線定義可得光由所經(jīng)過的路程為，故D錯誤.故選：AC.7．（多選）（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標系中，雙曲線的左、右焦點分別是，，漸近線方程為，M為雙曲線E上任意一點，平分，且，，則（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的標準方程為C．點M到兩條漸近線的距離之積為D．若直線與雙曲線E的另一個交點為P，Q為的中點，則【答案】ACD【詳解】不妨設(shè)為雙曲線的右支上一點，延長，交于點，如圖，因為，所以，即，因為平分，所以為等腰三角形，則為中點，又為中點，所以，根據(jù)雙曲線的定義得，，所以，，因為雙曲線的漸近線方程為，所以，得，，，所以雙曲線的標準方程為，離心率為，所以A正確，B不正確；設(shè)，代入，即，所以，點到兩條漸近線的距離之積為，所以C正確；設(shè)，，因為，在雙曲線上，所以①，②，①②并整理得，，因為，，所以，，所以D正確.故選：ACD.8．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）點A1，A2是雙曲線的左、右頂點．若直線上存在點P，使得，則該雙曲線的離心率取值范圍為_________．【答案】【詳解】解析：的外接圓半徑為，當該圓與直線相切或相交時滿足題意，故，即，所以該雙曲線的離心率取值范圍為.故答案為：.9．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）已知雙曲線的右焦點為，折線與雙曲線的右支交于兩點（如圖），則的面積為___________．【答案】/【詳解】延長交雙曲線右支于，如圖所示：由已知與關(guān)于軸對稱，設(shè)，，則，（其中），由題意知，，把代入中得，由韋達定理得，，．故答案為：.10．（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）已知雙曲線，左?右頂點分別為，經(jīng)過右焦點垂直于軸的直線與相交于兩點，且.(1)求的方程；(2)若直線與圓相切，且與雙曲線左?右兩支分別交于，兩點，記直線的斜率為，的斜率為，那么是否為定值？并說明理由.【答案】(1)(2)是定值，理由見解析【詳解】（1）設(shè)，把代入到的方程，得，即，因為，所以，即，則雙曲線的方程為.（2）是否為定值,理由如下：設(shè)，其中，，.因為直線與圓相切，所以，即，聯(lián)立，消去并整理得，所以，因為，，，即，所以，由已知..即為定值.→?專題訓練←1．（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知為雙曲線的右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于、兩點，若在雙曲線左支上存在點使得，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出點、的坐標，設(shè)點，其中，可得出，由已知可得出，可得出，整理可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】將代入雙曲線的方程可得，可得，不妨取點、，設(shè)點，其中，且，，，因為，所以，因為，則，所以，，可得，即，整理可得，因為，解得.故選：D.2．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知雙曲線：的右焦點為，過分別作的兩條漸近線的平行線與交于，兩點，若，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點在第一象限，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得到和關(guān)于軸對稱，結(jié)合直線的方程求出點的坐標，再將點代入雙曲線的方程得到關(guān)于和的齊次的方程，即可求解.【詳解】由題意，不妨設(shè)點在第一象限，由雙曲線的性質(zhì)可得，直線和直線關(guān)于軸對稱，所以和關(guān)于軸對稱，又，則設(shè)，，又直線的方程為：，所以代入點得：，解得：，即點，將點代入雙曲線的方程得：，化解得：，解得：或，又因為，所以，則雙曲線的離心率，故選：A.3．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知O為坐標原點，雙曲線C：的左，右焦點分別為，，過C的右焦點且傾斜角為的直線交C右支于A，B兩點，AB中點為W，，△的周長等于12，則（

）A．a(chǎn)＝3 B．雙曲線C的漸近線方程為C． D．【答案】D【分析】運用韋達定理、弦長公式、雙曲線定義及兩點間距離公式可求得、的值，進而代入計算判斷各個選項即可.【詳解】如圖所示，由題意知，，，其中，設(shè)直線AB方程為，聯(lián)立，設(shè)，，則，，則所以①，由雙曲線定義知，，所以的周長為，所以②，由①②得：③，又因為為AB的中點，所以，，所以，所以，解得：④，由③④可得：，所以雙曲線方程為.所以雙曲線漸近線方程為，故A項錯誤、B項錯誤；對于C項，，故C項錯誤；對于D項，因為，所以，所以，所以，故D項正確.故選：D.4．（2023·山東日照·三模）已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的右支交于兩點，記的內(nèi)切圓的面積為，的內(nèi)切圓的面積為，則（

）A．圓和圓外切 B．圓心在直線上C． D．的取值范圍是【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程、定義和切線長定理結(jié)合幾何關(guān)系和對勾函數(shù)性質(zhì)即可求解，【詳解】雙曲線的，漸近線方程為，兩漸近線傾斜角分別為和，設(shè)圓與軸切點為過的直線與雙曲線的右支交于兩點，可知直線的傾斜角取值范圍為，的的橫坐標為，則由雙曲線定義，所以由圓的切線長定理知，所以.的橫坐標均為，即與軸垂直.故圓和圓均與軸相切于，圓和圓兩圓外切.選項A正確；由雙曲線定義知，中，，則只能是的中線，不能成為的角平分線，則圓心一定不在直線上.選項B錯誤；在中，，，則由直角三角形的射影定理可知，即則，故.選項C正確；由直線的傾斜角取值范圍為，可知的取值范圍為，則的取值范圍為，故，又，則令，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.值域為故的值域為.選項D錯誤.故選：AC.5．（2023·山東濰坊·三模）函數(shù)的圖象是雙曲線，且直線和是它的漸近線．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．， B．對稱軸方程是C．實軸長為 D．離心率為【答案】ABD【分析】由基本不等式可判斷A，由雙曲線的性質(zhì)判斷B，C，D.【詳解】時，，當且僅當即時取等號，時，，當且僅當即時取等號，故A正確；依題意，此雙曲線兩條漸近線為和，，由雙曲線的對稱性，雙曲線的漸近線關(guān)于雙曲線的對稱軸對稱，故得雙曲線的兩條對稱軸方程為，故B正確；由雙曲線的性質(zhì)，雙曲線實軸的兩個頂點為對稱軸與雙曲線的兩個交點，則由得雙曲線實軸的兩個頂點分別為，，故此雙曲線的實軸長即為，故C錯誤；依題意，此雙曲線兩條漸近線和的夾角為，則漸近線與對稱軸的夾角為，由雙曲線的性質(zhì)有，所以，解得，故D正確.故選：ABD6．（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學?？既＃┮阎p曲線的左?右焦點分別為，點是的一條漸近線上的兩點，且（為坐標原點），．若為的左頂點，且，則雙曲線的離心率為_____【答案】【分析】根據(jù)，可得關(guān)于原點對稱，從而可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，可得四邊形為矩形，再求出的坐標，求出，再利用余弦定理構(gòu)造齊次式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，因為，所以，所以關(guān)于原點對稱，又，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，因為以為直徑的圓的方程為，不妨設(shè)所在的漸近線方程為，則，由，解得或，不妨設(shè)，因為為雙曲線的左頂點，所以，所以，又，由余弦定理得，即，整理得，所以離心率．故答案為：．【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得、的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.7．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，動雙曲線的一個焦點為，另一個焦點為，若該動雙曲線的兩支分別經(jīng)過點.(1)求動點的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過點，交（1）中點的軌跡于兩點，直線與軸交于點，是直線上異于的一點，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過線段的中點，若存在，求出值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）由題意以及雙曲線定義可得：，由橢圓的定義可知，點的軌跡是以為焦點，的橢圓（不含短軸端點），其方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，，則由，知，所以，令，得

因點在直線上，所以，變形得，代入式化簡得，若直線恒過線段的中點，則有，整理得

由，得，所以代入整理得，，解得，所以存在，即直線，使得直線恒過線段的中點.8．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知雙曲線的焦距為4，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，斜率為且不過的直線與交于點，若為直線斜率的等差中項，求到直線的距離的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）將代入雙曲線方程，結(jié)合已知可解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程消元，韋達定理結(jié)合為直線斜率的等差中項列方程，再由點到直線距離公式即可求解.【詳解】（1）因為點在C上，所以①，由題意知，，所以②，由①②解得，故雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，消可得，，有韋達定理可得，，且，得，因為為直線的斜率的等差中項，所以，將代入可得，，整理可得，，當時，直線為，此時直線過焦點，不合題意，所以，即，可得，代入化簡可得，，解得，又因為，，令可得，，所以，，在上單調(diào)遞減，所以，．【點睛】本題是直線與圓錐曲線的綜合性問題，一般步驟：1、設(shè)直線和點坐標；2、聯(lián)立直線和曲線方程消元，利用韋達定理得兩根和與兩根積；3、將相關(guān)條件和問題利用韋達定理表示即可求解.9．（2023·山東德州·三模）已知分別為雙曲線的左，右焦點，點在上，且雙曲線的漸近線與圓相切．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點且斜率為的直線交雙曲線的右支于兩點，為軸上一點，滿足，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)為定值，定值為【分析】（1）將點代入雙曲線上，結(jié)合雙曲線漸近線與圓相切得到方程組，求出，得到答案；（2）設(shè)直線方程為，與雙曲線的的方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，求出的中點坐標，進而求出的垂直平分線的方程，求出，結(jié)合雙曲線的定義，結(jié)合弦長公式求出定值.【詳解】（1）由題意點在雙曲線上，可得，圓的圓心為，半徑為1，雙曲線的漸近線與圓相切，所以，即解得，故雙曲線方程為；（2）是定值，理由如下：設(shè)直線方程為，由于直線交雙曲線的右支于兩點，故，聯(lián)立，可得，當時，直線與雙曲線的漸近線平行，此時直線和雙曲線只有一個交點，不合題意；故，此時，設(shè)，則，則，即的中點坐標為，因