考點(diǎn)38 雙曲線-高考數(shù)學(xué)備考資料

考點(diǎn)38雙曲線1.(2022·全國乙卷理科·T11)雙曲線C的兩個焦點(diǎn)為F1,F2,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D,過F1作D的切線與C交于M,N兩點(diǎn),且cos∠F1NF2=35,則C的離心率為()A.52B.32C.132【命題意圖】考查雙曲線的概念與性質(zhì)、正弦定理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【解析】選AC.設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2情況一:當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí),設(shè)過F1的切線與圓D:x2+y2=a2相切于點(diǎn)P,則|OP|=a,OP⊥PF1,又|OF1|=c,所以PF1=OF12-過點(diǎn)F2作F2Q⊥MN于點(diǎn)Q,所以O(shè)P∥F2Q,又O為F1F2的中點(diǎn),所以|F1Q|=2|PF1|=2b,|QF2|=2|OP|=2a,因?yàn)閏os∠F1NF2=35,∠F1NF2<π所以sin∠F1NF2=45所以|NF2|=|QF2則|NQ|=|NF2|·cos∠F1NF2=3a所以|NF1|=|NQ|+|F1Q|=3a2+2由雙曲線的定義可知|NF1|-|NF2|=2a,所以3a2+2b-5a2=2a,可得2b=3a,即所以C的離心率e=ca=1+b2a2=情況二:當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí),如圖,記切點(diǎn)為A,連接OA,則|OA|=a,|F1A|=b,過F2作F2B⊥MN于B,則|F2B|=2a,因?yàn)閏os∠F1NF2=35所以|NF2|=5a2,|NB|=|NF2|-|NF1|=5a2-3a2-2b=a+2b=2a,即a=2所以e=ca=1+b2a2=2.記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與【命題意圖】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,離心率的求法【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以結(jié)合漸近線的特點(diǎn),只需0<ba≤2,即b可滿足條件“直線y=2x與C無公共點(diǎn)”,所以e=ca=1+b2a2又因?yàn)閑>1,所以1<e≤5.答案:2(答案不唯一,滿足1<e≤5皆可)3.(2022·全國甲卷理科)若雙曲線y2-x2m2=1(m>0)的漸近線與圓x2+y2-4y+3=0相切,則【命題意圖】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系的判斷,是中檔題.【解析】雙曲線y2-x2m2=1(m>圓x2+y2-4y+3=0的圓心為(0,2),半徑為1,雙曲線y2-x2m2=1(m>0)的漸近線與圓x2+y2-4y+3=0相切,則有解得m=33,m=-33答案:34.(2022·北京高考·T12)已知雙曲線y2+x2m=1的漸近線方程為y=±33x,則【命題意圖】考查雙曲線的漸近線,容易題.【解析】由y2+x2m=0得雙曲線的漸近線方程為y=±x-m,所以1-m答案:-35.(2022·浙江高考數(shù)學(xué)科·T16)(4分)已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過F且斜率為b4a的直線交雙曲線于點(diǎn)A(x1,y1),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(x2,y2),且x1<0<x2【命題意圖】雙曲線的幾何性質(zhì)與直線與雙曲線相交的運(yùn)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,通過求離心率考查了幾何性質(zhì)的應(yīng)用.【解析】過F且斜率為b4a的直線AB:y=b4a(x+c),漸近線l:聯(lián)立y=b4a(x+c)y=bax,得Bc3,bc而點(diǎn)A在雙曲線上,于是25c281a2-b2c281答案:3【反思總結(jié)】雙曲線漸近線是其獨(dú)有的性質(zhì),所以有關(guān)漸近線問題受到出題者的