人教版九年級數(shù)學(xué)上冊 （弧長和扇形面積）圓教學(xué)課件

圓24弧長和扇形面積

課時目標1.了解弧形、扇形的概念。2.理解弧長公式中n的意義，并會運用弧長公式進行有關(guān)計算。3.理解并掌握扇形面積的兩個公式，會計算一些組合圖形的面積。探究新知

在田徑二百米比賽中，每位運動員的起跑位置相同嗎？探究新知制造彎形管道時，怎樣才能精確用料？700mm700mm100°°R=900mmCAB●●OD●●探究新知OA圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.B半圓弧一般是圓的一部分，那么你會求弧的長度嗎？探究新知圓的周長：OABC=2πR圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的??？360°1°圓心角所對弧長：l=

2πR360πR180=Rn°圓心角所對的弧長：n°nπR180l=探究新知由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫扇形．n°O探究新知1.弧長公式半徑為R,圓心角為n°的弧的弧長l為______.2.扇形由組成圓心角的_________和該圓心角_________圍成的圖形叫做扇形.兩條半徑所對的弧探究新知3.扇形的面積公式(1)S扇形=_____(n為扇形的圓心角的度數(shù),R為扇形的半徑).(2)S扇形=____(l為扇形的弧長,R為扇形的半徑).進行計算時,要注意公式中n的意義,n表示1°圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的；探究新知【思維診斷】(打“√”或“×”)1.弧長公式是l=.()2.扇形的面積公式S=.()3.半徑是6cm,圓心角為30°的弧長為cm.()4.半徑為3cm,弧長為8cm的扇形面積為12cm2.()×××√探究新知制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖所示管道的展直長度L(單位：mm，精確到1mm)解：由弧長公式，可得弧AB的長因此所要求的展直長度L=2X700+500π≈2970L===500πnπr180100x900xπ180探究新知在半徑為

R的圓中，n°的圓心角所對的弧長（arclength

）的計算公式為：弧長公式.n°R【示范題1】如圖,一塊等邊三角形的木板,邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾,那么B點從開始至結(jié)束(B′)所走過的路徑長度是多少?弧長公式及應(yīng)用探究新知探究新知【解題探究】(1)找到等邊△ABC每一次翻轉(zhuǎn)的中心,畫出點B所走的路徑.

(2)等邊△ABC每一次旋轉(zhuǎn)的角度是多少?旋轉(zhuǎn)的半徑是多少?提示:等邊△ABC每一次旋轉(zhuǎn)的角度是120°,旋轉(zhuǎn)的半徑是1.弧長公式及應(yīng)用【示范題1】如圖,一塊等邊三角形的木板,邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾,那么B點從開始至結(jié)束(B′)所走過的路徑長度是多少?探究新知【想一想】1°的圓心角所對的弧長是多少？n°的圓心角呢？提示：圓周長為2πR，可看作是360°的圓心角所對的弧長；1°的圓心角所對的弧長為；圓心角為n°的弧長是圓心角為1°的弧長的n倍,∴n°的圓心角所對的弧長為弧長公式及應(yīng)用探究新知弧長公式及應(yīng)用【備選例題】矩形ABCD的邊AB=8,AD=6,現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無滑動翻滾,當(dāng)它翻滾至類似開始的位置A1B1C1D1時(如圖所示),求頂點A所經(jīng)過的路線長.弧長公式及應(yīng)用【解析】點A經(jīng)過的路線長由三部分組成:以B為圓、AB為半徑旋轉(zhuǎn)90°的弧長;以C為圓心、AC為半徑旋轉(zhuǎn)90°的弧長;以D為圓心、AD為半徑旋轉(zhuǎn)90°的弧長,利用弧長公式可得探究新知弧長公式及應(yīng)用【方法一點通】求與弧長相關(guān)計算的兩個步驟（1）弧長公式涉及三個量，弧長、圓心角的度數(shù)、弧所在的半徑，知道其中兩個量，就可以求第三個量（2）當(dāng)問題涉及多個未知量時，可考慮用列方程組來求解.探究新知探究新知針對性練習(xí)某傳送帶的一個轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm.（1）轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？（2）轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？（3）轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？探究新知針對性練習(xí)解：（1）轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A被送；（2）轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品A被傳送；（3）轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送.

.探究新知扇形的面積公式及應(yīng)用圓的面積：OABS=πR2圓面可以看作是多少度的圓心角所對的扇形？360°1°圓心角所對扇形面積：S扇形=πR2360Rn°圓心角所對扇形面積：n°nπR2360S扇形

=探究新知扇形的面積公式及應(yīng)用在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形面積的計算公式為：扇形面積公式.n°R注意:（1）公式中n

的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；（2）公式要理解記憶（即按照上面推導(dǎo)過程記憶）.探究新知扇形的面積公式及應(yīng)用知識點二扇形的面積公式及應(yīng)用【示范題2】CD為☉O的直徑,CD⊥AB,垂足為F,AO⊥BC,垂足為點E,AO=1.(1)求∠C的大小.(2)求陰影部分的面積.探究新知扇形的面積公式及應(yīng)用【思路點撥】(1)由垂徑定理得，再由圓周角和圓心角的關(guān)系，求出∠C=∠AOD，由直角三角形的兩銳角互余，求出∠C.(2)不難得出∠AOB=120°，由直角三角形中30°的性質(zhì)和勾股定理求出OF,AF，扇形OAB的面積減去△AOB的面積為陰影部分的面積.探究新知扇形的面積公式及應(yīng)用【自主解答】(1)∵CD為⊙O的直徑,CD⊥AB,∴,∴∠C=∠AOD.∵∠AOD=∠COE,∴∠C=∠COE.∵AO⊥BC,∴∠C=30°.(2)連接OB.由(1)知∠C=30°,∴∠AOD=60°,∴∠AOB=120°.在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°,探究新知扇形的面積公式及應(yīng)用【想一想】扇形和弓形有什么區(qū)別?提示:弓形是由弦及其所對的弧組成的圖形,扇形是由兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形.探究新知扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？想一想：扇形的面積公式與什么公式類似？探究新知扇形的面積公式及應(yīng)用【微點撥】扇形的面積公式有兩個：(1)已知扇形的半徑和圓心角度數(shù)求面積時選用(2)已知半徑和弧長求面積時選用例題講解例題精講水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面積？（精確到0.01m2)鞏固練習(xí)解：連接OA、OB，作OC⊥AB

于D，交弧AB

于點C.∵OC=0.6，DC=0.3,

在Rt△OAD

中，OA=0.6，利用勾股定理可得：∴OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3.∴∠OBD=30°，∴∠AOB=120°在Rt△OAD

中，∵OD=0.5OA,∴∠OAD=30°.有水部分的面積為=∵OA=OB，∵OC⊥AB

，∴AD=BD,∴AB=

.鞏固練習(xí)0.60.30BACD120π×0.62

13602－－AB－OD=探究新知如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面積.0ABDCE弓形的面積=S扇+S△變式練習(xí)探究新知00弓形的面積是扇形的面積與三角形面積的和或差規(guī)律提升課堂小結(jié)對弧長和扇形面積計算公式的靈活運用.

算一算積的計算，培養(yǎng)分析解決問題的能力.

弧長和扇形面積計算公式的推導(dǎo).

弧長和扇形面積第二十四章圓導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時

學(xué)習(xí)目標1.理解弧長和扇形面積公式的探求過程.(難點）2.會利用弧長和扇形面積的計算公式進行計算.（重點）導(dǎo)入新課圖片欣賞問題1

如圖，在運動會的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第2跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？問題2

怎樣來計算彎道的“展直長度”？因為要保證這些彎道的“展直長度”是一樣的.導(dǎo)入新課情境引入講授新課與弧長相關(guān)的計算一問題1半徑為R的圓,周長是多少？OR問題2下圖中各圓心角所對的弧長分別是圓周長的幾分之幾?OR180°OR90°OR45°ORn°合作探究(1)

圓心角是180°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的__________.(2)

圓心角是90°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的__________.(3)

圓心角是45°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的__________.(4)

圓心角是n°，占整個周角的，因此它所對的弧長是圓周長的__________.

用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.注意算一算

已知弧所對的圓心角為60°，半徑是4，則弧長為____.知識要點弧長公式例1

制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖所示管道的展直長度l.(單位：mm，精確到1mm)解：由弧長公式，可得弧AB的長因此所要求的展直長度l=2×700+1570=2970（mm）.

答：管道的展直長度為2970mm．700mm700mmR=900mm(100°ACBDO·OA解：設(shè)半徑OA繞軸心O逆時針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為n°.解得n≈90°因此，滑輪旋轉(zhuǎn)的角度約為90°.一滑輪起重機裝置（如圖），滑輪的半徑r=10cm，當(dāng)重物上升15.7cm時，滑輪的一條半徑OA繞軸心O逆時針方向旋轉(zhuǎn)多少度（假設(shè)繩索與滑輪之間沒有滑動，取3.14）？練一練圓的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.如圖，黃色部分是一個扇形，記作扇形OAB.半徑半徑OBA圓心角弧OBA扇形與扇形面積相關(guān)的計算二概念學(xué)習(xí)下列圖形是扇形嗎？判一判√×××√合作探究問題1半徑為r的圓,面積是多少？Or問題2下圖中各扇形面積分別是圓面積的幾分之幾，具體是多少呢?圓心角占

周角的比例扇形面積占

圓面積的比例扇形的面積=Or180°Or90°Or45°Orn°扇形面積公式半徑為r的圓中，圓心角為n°的扇形的面積①公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的；②公式要理解記憶（即按照上面推導(dǎo)過程記憶）.注意知識要點

___大小不變時，對應(yīng)的扇形面積與

__

有關(guān)，

___越長，面積越大.圓心角半徑半徑圓的

不變時，扇形面積與

有關(guān)，

越大，面積越大.圓心角半徑圓心角總結(jié)：扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān).O

●

ABDCEFO

●ABCD問題扇形的面積與哪些因素有關(guān)？問題：扇形的弧長公式與面積公式有聯(lián)系嗎？想一想扇形的面積公式與什么公式類似？ABOO類比學(xué)習(xí)例3

如圖，圓心角為60°的扇形的半徑為10cm.求這個扇形的面積和周長.（精確到0.01cm2和0.01cm）OR60°解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面積為扇形的周長為1.已知半徑為2cm的扇形，其弧長為，則這個扇形的面積S扇=

．2.已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個扇形的面積S扇=

.試一試例4如圖，水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面積.（精確到0.01cm）(1)O.BAC

討論：(1)截面上有水部分的面積是指圖上哪一部分？陰影部分.O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是指哪一條線段的長？這條線段應(yīng)該怎樣畫出來？線段DC.過點O作OD垂直符號于AB并長交圓O于C.(3)要求圖中陰影部分面積，應(yīng)該怎么辦？

陰影部分面積=扇形OAB的面積-

△OAB的面積解：如圖，連接OA，OB，過點O作弦AB的垂線，垂足為D，交AB于點C,連接AC.∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-

DC＝0.3，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是線段OC的垂直平分線，∴AC＝AO＝OC.

從而∠AOD＝60?,∠AOB=120?.O.BACD(3)

有水部分的面積：S＝S扇形OAB

-SΔOABOBACD(3)OO弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形知識要點弓形的面積公式

2.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分別為AB、AC的中點，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°到△A1BC1的位置，則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過的面積為（）B．C.D.1.已知弧所對的圓周角為90°,半徑是4,則弧長為

.當(dāng)堂練習(xí)CABCOH