2020-2021學(xué)年江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高二（下）期

末數(shù)學(xué)試卷

1.設(shè)集合4B是全集U的兩個(gè)子集，則“4UB”是“AnCuB=。”的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.函數(shù)f（x）=筌;,cosx的圖象大致是（）

3.“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究、應(yīng)用與推廣，發(fā)明了

“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技

術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全、農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)；某雜交

水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其密度

曲線函數(shù)為〃x）=G&e-嘲￡%6（-8,+8）,則下列說法正確的是（）

A.該地水稻的平均株高為100（772

B.該地水稻株高的方差為10

C.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120c,”以上的概率比株高在以下的概率大

D.隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）（單位：cm）的概率一樣大

4.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏

時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群，是中國(guó)現(xiàn)存最大且排列最整

齊的喇嘛塔群之一，一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得

名，塔群隨山勢(shì)鑿石分階而建，由下而上逐層增高，

依山勢(shì)自上而下各層的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,....該數(shù)列從第5項(xiàng)開始成

等差數(shù)列，則該塔群最下面三層的塔數(shù)之和為（）

A.39B.45C.48D.51

5.設(shè)向量W=(1,0),K=(i,i),則下列結(jié)論正確的是()

A.|a|=|h|B?為不=當(dāng)C.(a-K)1KD.a//b

6.已知a=cosl°—sinl°,b=2V2cosz22.5°—V2,霞，貝3江c的大小順序

為()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

7.已知拋物線Cy2=4x的焦點(diǎn)為凡其準(zhǔn)線/與X軸相交于點(diǎn)M,過點(diǎn)〃作斜率

為人的直線與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),若乙4FB=60。，則k=()

A.+|C

B-±T-±TD-±T

8.3。打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字

模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合

材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)(

即“積層造型法”).過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等

領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制

造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用(比如微關(guān)節(jié)、牙齒或一

些飛機(jī)零部件等).已知利用3。打印技術(shù)制作如圖所

示的模型，該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分(正方體四個(gè)頂點(diǎn)在

圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10&cm，母線與底面所成

角的正切值為企.打印所用原料密度為lg/cm3,不考慮打印損耗，制作該模型所需

原料的質(zhì)量約為(取兀=3.14,精確到0.1)()

A.609.4gB.447.3gC.398.3gD.357.3g

9.下列結(jié)論中正確的有()

A.若m6為正實(shí)數(shù)，a*b,則Q3+v。2匕+Q}2

B.若喧>*則a>b

若a,6,機(jī)為正實(shí)數(shù)，a<b,則產(chǎn)

b+mo

D.當(dāng)x>0時(shí)，x+|的最小值為2或

10.關(guān)于函數(shù)/(x)=|sinx|+\cosx\(xeR),如下結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)/(x)的周期是與

B.函數(shù)/(x)的值域是［0,夜］

第2頁(yè)，共23頁(yè)

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=7T對(duì)稱

D.函數(shù)/(%)在?，牛)上遞增

11.已知雙曲線C：攝一，=l(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為4,F,過點(diǎn)A

的直線/與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q,直線Q尸與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，AQ.AB=AQ.

短，且麗=3而，則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/與x軸垂直B.C的離心率為*

3

。<：的漸近線方程為'=±*％D.|FQ|=|O尸|(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))

12.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各

任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)n(n€N*)次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)

數(shù)為的，恰有2個(gè)黑球的概率為外，恰有1個(gè)黑球的概率為金，則下列結(jié)論正確的

是()

.167

A.rP2=T27T,“《乙2=不27

B.數(shù)列｛2pn+qn-1｝是等比數(shù)列

C.Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)=1+G)"(n6N*)

D.數(shù)列｛Pn｝的通項(xiàng)公式為Pn=一9n一家之尸+*"GN*)

13.若一組樣本數(shù)據(jù)2,3,7,8,〃的平均數(shù)為5,則該組數(shù)據(jù)的方差s2=.

14.已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面第四象限內(nèi)，甲、乙、丙、丁四人對(duì)復(fù)數(shù)z的陳述如

下(i為虛數(shù)單位)：甲：z+z=2;乙：z—z=-2y/3i;丙：z-z=4;?。?在

z2

甲、乙、丙、丁四人陳述中，有且只有兩個(gè)人的陳述正確，則復(fù)數(shù)z=.

15.已知圓G：x2+y2+2x-8y4-8=0,若圓C2與圓Q關(guān)于直線y=-x+2對(duì)稱，

且與直線/：mx+y+m-2=0交于4B兩點(diǎn)，則|4B|的取值范圍是.

16.已知三棱錐P—4BC內(nèi)接于表面積為367r的球中，面PABJL面ABC,PA=PB=1,

PB1BC,乙4PB=120。，則三棱錐P-ABC體積為.

1

17.在①％="2+〃，②(13+。5=16，53+Ss=42>③誓==56這三個(gè)

條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

設(shè)等差數(shù)列｛%J的前"項(xiàng)和為5,數(shù)列｛,｝為等比數(shù)列，，瓦=%為2=等.

求數(shù)歹式=+%｝的前"項(xiàng)和T

18.2019年12月份，我國(guó)湖北武漢出現(xiàn)了新型冠狀病毒，人感染后會(huì)出現(xiàn)發(fā)熱、咳嗽、

氣促和呼吸困難等，嚴(yán)重的可導(dǎo)致肺炎甚至危及生命.為了增強(qiáng)居民防護(hù)意識(shí)，增

加居民防護(hù)知識(shí)，某居委會(huì)利用網(wǎng)絡(luò)舉辦社區(qū)線上預(yù)防新冠肺炎知識(shí)答題比賽，所

有居民都參與了防護(hù)知識(shí)網(wǎng)上答卷，最終甲、乙兩人得分最高進(jìn)入決賽，該社區(qū)設(shè)

計(jì)了一個(gè)決賽方案：①甲、乙兩人各自從6個(gè)問題中隨機(jī)抽3個(gè).已知這6個(gè)問題

中，甲能正確回答其中的4個(gè)，而乙能正確回答每個(gè)問題的概率均為|,甲、乙兩

人對(duì)每個(gè)問題的回答相互獨(dú)立、互不影響；②答對(duì)題目個(gè)數(shù)多的人獲勝，若兩人

答對(duì)題目數(shù)相同，則由乙再?gòu)氖Ｏ碌?道題中選一道作答，答對(duì)則判乙勝，答錯(cuò)則

判甲勝.

(1)求甲、乙兩人共答對(duì)2個(gè)問題的概率；

(2)試判斷甲、乙誰更有可能獲勝？并說明理由；

(3)求乙答對(duì)題目數(shù)的分布列和期望.

19.如圖，在梯形ABCD中，已知力?！˙C,AD=1,BD=24U，"4。=1tan^ADC=

-2,

求：(1)CD的長(zhǎng)；

(2)△BCD的面積.

第4頁(yè)，共23頁(yè)

20.如圖，在四棱錐P-48C。中，AD//BC,^ADC=

/.PAB=90°,BC=CD=^aD.E為棱AZ)的中點(diǎn),

異面直線PA與CO所成的角為90。.

(I)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM〃平面

PBE,并說明理由；

(II)若二面角P-CD-4的大小為45。，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

21.橢圓E：'+'=1(。>b>0)的離心率：，長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)的距離為V7.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)P是圓/+y2=/&>°)上異于點(diǎn)4(_「,0)和8(匕0)的任一點(diǎn)，直線AP與

橢圓E交于點(diǎn)M，N,直線BP與橢圓E交于點(diǎn)S,7.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM,

ON,OS,OT的斜率分別為k°M，AON，kos，k”.問：是否存在常數(shù)，，使得+k0N=

kos+k”恒成立？若存在，求，?的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.已知函數(shù)f(%)=x-：-minx,g[x')=x+^-(lnx)m,其中x>0,m&R.

(I)若函數(shù)/(x)無極值，求機(jī)的取值范圍；

(n)當(dāng)力取(I)中的最大值時(shí)，求函數(shù)g(久)的最小值;

(IE)若不等式(1+?…<e對(duì)任意的neN*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第6頁(yè)，共23頁(yè)

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由韋恩圖可知

AQB=>AC\C(jB=0,

反之也可得出AnQB=。今AGB

aAUB”是“AnCyB=0”的充要條件

故選：C.

結(jié)合韋恩圖進(jìn)行判定au8=4nQB=。，而AnQB=。0auB,從而確定出力uB

與AnCuB=。的關(guān)系.

本題主要考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，若力=8,則A是B的充分條

件，8是4的必要條件，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)圖象的作法與應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，考查數(shù)形結(jié)合思想及識(shí)圖的能力，屬

于基礎(chǔ)題.

先由函數(shù)的奇偶性排除A,B,再判斷函數(shù)值，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：由題意，f(x)的定義域?yàn)閧x|x。0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且/'(-X)=,cos(-x)=普-COSX=-/(X).

???函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，

???函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A,B；

當(dāng)上€(')?[)時(shí)，cosx>0,>0,f(x)>0,排除￡).

故選C.

3.【答案】AC

【解析】解：由正態(tài)分布密度曲線函數(shù)為f(無)=行力=e200一,%￡(—8,+8),

得〃=100,a=10.

二該地水稻的平均株高為E(X)=100cm,故A正確；

該地水稻株高的標(biāo)準(zhǔn)差。=10,方差為100,故3錯(cuò)誤；

”P(X>120)=；[1-P(4-2b<X<〃+2(7)]=i(l-0.9544)=0.0228,

P[X<70)=|[1--3<r<X<^+3CT)]=|(1-0.9974)=0.0013,

???隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70"?以下的概率大，故C

正確；

1

P(80<X<90)=-[P(〃-2a<X<fl+2a)-P(n-a<X<n+a)]

=1(0.9544-0.6826)=0.1359,

P(100<X<110)=i[P(/z-<T<X<M+<T)]=|X0.6826=0.3413.

隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)(單位：cm)的概率不一樣大，

故。錯(cuò)誤.

故選：AC.

由已知可得〃=100,。=10.由此判斷A正確，B錯(cuò)誤;然后再由2八3。原則求解

概率判斷C與。.

本題考查正態(tài)分布密度曲線函數(shù)，考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查

正態(tài)分布中兩個(gè)量”和a的應(yīng)用，考查曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：設(shè)該數(shù)列為{an},由題意得，。5,。6,…成等差數(shù)列，公差d=2,。5=5,

設(shè)塔群共有n層,則1+3+3+5+5(n—1)+(…彳)*2=108)

解得，71=12,

故最下面三層的塔數(shù)之和為a1。+an+a12=3ali=3(5+2x6)=51.

故選：D.

設(shè)該數(shù)列為{an},由題意得，。5,。6,…成等差數(shù)列，公差d=2,a5=5,然后結(jié)合等

差數(shù)列的求和公式可求”，進(jìn)而可求.

本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

第8頁(yè)，共23頁(yè)

5.【答案】C

【解析】解：對(duì)于A：?.?向量五=(1,0),b=|a|=l,|^|=^,故A錯(cuò)誤,

對(duì)于8：a-b=lx|+0x^=p故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C：位—b)?b=G，—5?G，｝=；—；=0,：.(五—9)1另，故C正確，

對(duì)于D：vlxl-0xl=1^0,二日不平行于石，故O錯(cuò)誤

故選：C.

根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的垂直和平行的關(guān)系，分別判斷即可.

本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)值的大小比較，考查三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

利用三角恒等變換可得a<1,b=l,c>1,即可得出結(jié)論.

【解答】

解：a=cosl°—sinl°,

■■■a=V2sin(45°—1°)=V2stn440<1>

又???b=2V2cos222.5°-V2=V2cos45°=1.

.V7l+tanl°

又丫C=------,

1-tanl°

Ac=tan(45°4-1°)=tan460>1,

可得a<b<c,

故選：B.

7.【答案】D

【解析】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(l,0)，準(zhǔn)線方程為％=-1,M(-1,0),

過點(diǎn)M作斜率為我的直線方程設(shè)為y=k(x+l),聯(lián)立拋物線方程，可得

k2x24-(2k2-4)x+好=o,k手0,

設(shè)可得|4F|=%1+1,|BF|=列+1，

則△=(21-4)2—4k4>0,即且k40,

4

%1+%2=/-2,=1，

222

可得=Vl+k\xr—x2\=Vl4-k?J(%]+&)2—4%I%2=V1+/c?

Je_2)2_4=4-管，

2

在△力尸B中，由余弦定理可得|4B產(chǎn)=M用2+\BF\-2\AF\■\BF\-cos60°

222

=(%1+l)+(x2+l)-2(%i+DS4-1)-i=(%i+x2)+01+不)-2=煨一

2>+『2)-2=*A*,

解得k=±4，

故選：D.

求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，過點(diǎn)"作斜率為上的直線方程設(shè)為y=k(x+l),聯(lián)立

拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及余弦定理，化簡(jiǎn)整理，解方程可得斜率&.

本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理

和弦長(zhǎng)公式，考查三角形的余弦定理，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：如圖，是幾何體的軸截面

???圓錐底面直徑為10&cm，?,?半徑為5魚cm，

???母線與底面所成角的正切值為混，.??圓錐的高為10。”,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為“，則是=UW,解得a=5.

5V210

該模型的體積V=|?rx(5V2)2x10-53=等一125(cm3).

.?.制作該模型所需原料的質(zhì)量約為(等一125)x1=等一125Z398.3(g).

故選：C.

作出幾何體的截面圖，由已知求得圓錐的高，再由三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出正方體

的棱長(zhǎng)，運(yùn)用圓錐與正方體的體積公式求解.

本題考查空間多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是中檔

題.

第10頁(yè)，共23頁(yè)

9.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：若m匕為正實(shí)數(shù)，a豐b,因?yàn)?蘇+心)一+。力2)=

22

(a—h)(a+b)>0,即M+廬>a2b+afe,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?>g所以3z-々=號(hào)z>0,又因?yàn)閏2>0,所以a-b>0,即a>b,

C乙c，cC4c

故8正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若小4加為正實(shí)數(shù)，a<b，則孤一合黜>。，即黑嗎故C

錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。：當(dāng)x>0時(shí)，x+->2lx~^=2V2,故。正確.

X7X

故選：BD.

利用作差法判斷。3+尸與a2b+a爐的大小即可判斷選項(xiàng)A的正誤；利用不等式的性質(zhì)

即可判斷選項(xiàng)B的正誤；利用作差法判斷可判斷選項(xiàng)C的正誤；利用基本不等式即可

判斷選項(xiàng)D的正誤.

本題考查不等式的基本性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：當(dāng)2k?rWYW2/OT+6Z,/(x)=sizix+cosx=&sin(x+》,

當(dāng)2/OT+^<x<2kn+7T,fcGZ,/(x)=sinx-cosx=V2sin(x—^),

當(dāng)2/OT+TT<x<2krt+手，kGZ,f(x)=—sinx-cosx=-V2sin(x+》

當(dāng)2/CTT+^<x<2kn+2n,k6Z,/(x)=-sinx+cosx=—&sin(x—)

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：

函數(shù)/(x)的周期是故A正確;

函數(shù)/(x)的值域是口,魚］,故B錯(cuò)誤；

函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線X=7T對(duì)稱，故C正確；

函數(shù)/(X)在?冷)上遞增，故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系，將函數(shù)/(?表示為分段函數(shù)形式，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)

形結(jié)合進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)將函數(shù)表示成分段函數(shù)形式,

利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大.

11.【答案】AB

【解析】解：由雙曲線的方程可得A(a,O),設(shè)尸(c,0),由而.四=福?麗，

可得而?(荏+而()=而?存=0,所以/垂直于x軸，即/：x=a,故A正確；

設(shè)BQ。,%),由BQ=3尸Q,所以(c-和,-y。)=2(a—c,b),

所以％o=3c—2a,y0=-2b,即B(3c—2Q,-2b),

因?yàn)锽(&,yo)在雙曲線上，所以受Z誓—耳笠=1,

az

整理可得9c2-12ac—a?=o,

由e=：,可得9e2-12e-l=0,解得6=等(負(fù)的舍去)，故B正確；

*=e2-l=(2)2_i=延，

即有雙曲線的漸近線的斜率的平方為延，故C錯(cuò)誤；

9

不妨設(shè)。在第一象限，則Q(a,6),

所以|PQ|=*2+=J(c—。產(chǎn)+爐=\OF\,故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

由雙曲線的方程可得A,F的坐標(biāo)，運(yùn)用向量加減運(yùn)算和數(shù)量積的性質(zhì)，可判斷A；由

向量共線的坐標(biāo)表示和雙曲線的方程和離心率公式，可判斷B;

由＜=e2-l,計(jì)算可判斷雙曲線的漸近線的斜率，可判斷C；不妨設(shè)。在第一象限,

求得|PQ|，可判斷D.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及向量共線定理和向量數(shù)量積的性質(zhì)，考查方程思想

和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

第12頁(yè)，共23頁(yè)

12.【答案】BC

【解析】解：(1)由題意可知：Pi=|>Qi=|,

則P2=?i+*qi=*

?2=|PI+(|X|+|X加1=，.故A錯(cuò)誤；

1911o

由題意可知：PTI+I=5匕+§X,qn=3七+gqn，

22211212

Qn+1=gPn+(3X3+3X3^n+3^~Pn-Qn)=-gQn+&，

兩式相加可得：

2Pn+l+Qn+1=|Pn+|=1(2Pn+Qn)+1'

12

???2Pn+Qn=3(2Pn-l+Qn-1)+?

???2pn+五-1=|(2pn_1+Qn-i-l),

???2pi+qi—1=g,.?.數(shù)列｛2pn+qn-1｝是首項(xiàng)為號(hào)公比為抽等比數(shù)列，故B正確；

?；數(shù)列｛2Pn+q”-1｝是首項(xiàng)為號(hào)公比為|的等比數(shù)列，

n

?1?2pn+qn-1=(|),即2pn+qn=?)"+1，

?-E(XQ=2pn+qn+0X(1-Pn-Qn)=(|)n+1，(n€N*),故C正確；

若數(shù)列仇｝的通項(xiàng)公式為Pn=^(-1)n-|(1)n+|(neN*),

則Pi=V>(_qW+：=o智，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

利用已知條件求出Pl=1,qi=|，推出P2；“2即可判斷A推出Pn+l=+|q?i，Qn+1=

一"+|，得到2pn+l+Qn+1=|(2pn+冊(cè))+1推出2pn+T=|(2pn-l+<7n-l-

1),說明數(shù)列｛2pa+勺4-1｝是首項(xiàng)為號(hào)公比為1的等比數(shù)列，然后求解的通項(xiàng)公式以及

期望即判斷8,C；把幾=1代入，可判斷。.

本題考查數(shù)列與概率相結(jié)合，期望的求法，數(shù)列的遞推關(guān)系式以及通項(xiàng)公式的求法，考

查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是難題.

13.【答案】y

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題可運(yùn)用平均數(shù)的公式：元=4+0++X"解出「的值,再代入方差的公式中計(jì)算得出

n

方差即可.

本題主要考查的是平均數(shù)和方差的求法，解題的關(guān)鍵弄清計(jì)算公式，同時(shí)考查了運(yùn)算求

解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：?.?數(shù)據(jù)2,3,7,8,a的平均數(shù)為5,

???2+3+7+8+a=25,解得a=5,

二方差s2=i[(2-5)2+(3-5)24-(7-5)2+(8-5)2+(5-5)2]=y.

故答案為

14.【答案】1+i

【解析】解：設(shè)2=。+6，則2=a—

甲：由Z+Z=2=2Q,即Q=1；

乙：由z—2=-2V5i=26,即6=一百；

丙：由Z?Z=4=。2+廬；

T：由2=9得號(hào)=號(hào)=9，

z2a-bia2+b22

所以。2+爐=2,

若b=―相，則a?+3=2顯然不成立，

故丙丁不能同時(shí)成立，乙丁不能同時(shí)成立，且甲乙丙可以知二推一，

所以甲丁正確，此時(shí)a=l,b=l,z=l+i.

結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算分別求出每個(gè)情況對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，進(jìn)而可判斷成立情況，可求.

本題主要考查了復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

第14頁(yè)，共23頁(yè)

15.【答案】[2夕,6]

【解析】解：化圓Ci：/+V+2%-8y+8=0為(x++(y-4)2=9,

可得圓心G(-l,4),半徑G=3.

設(shè)6關(guān)于直線y=-%+2的對(duì)稱點(diǎn)C2(Q,b),

"=1/__9

則豈=_紇1+2'解得卷二，即。2(-2.3),

I2-2

???圓的方程為。+2)2+(y-3)2=9.

由直線/：mx+y+m—2=0,即+1)+y—2=0,

明:;,解瞰：二

???直線/過定點(diǎn)P(-l,2),

把尸代入圓C2的方程，可知點(diǎn)P在圓內(nèi)，則當(dāng)AB與C2P垂直時(shí)|4B|最小，

由|C2Pl=>/(-2+1)2+(3—2/=V2,可得|C2P|min=2V9^2=2夕，

\^2^\max=6.

??.|AB|的取值范圍是[2夕,6].

故答案為：[2近,6].

由圓CI的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)得到圓C2的圓心坐標(biāo)，得到

圓C2的方程，再求出直線/所過定點(diǎn)，利用勾股定理求得最小弦長(zhǎng)，最大弦長(zhǎng)為圓的直

徑，則|AB|的取值范圍可求.

本題考查點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，明確過圓內(nèi)一點(diǎn)

的動(dòng)弦何時(shí)取得最小弦長(zhǎng)是關(guān)鍵，是中檔題.

16.【答案展

【解析】解：如圖,

取的中點(diǎn)￡>,連接尸￡>,取AC的中點(diǎn)F,連接。F,

vPA=PB,??ABA.PD,

又平面P4B1平面ABC,平面P4Bn平面4BC=4B,

P。_L平面ABC,則P01.BC,

又PB1BC,PDClPB=P,BC_L平面PA8,^BCLAB,

F為4ABC的外心，又ZP4B的外心在PD的延長(zhǎng)線上，

球心。滿足OF1平面ABC,0E1平面PAB,

???PA=PB=1,/.APB=120°,可得PD=I，AB=百，

在APAB中，由正弦定理求得PE=1,

???三棱錐P-ABC內(nèi)接于表面積為367r的球，二OP=3,

求得￡。=DF=2V2.則BC=4&，

???三棱錐P-4BC體積為U=Lx^x遍x4&x」=漁，

3223

故答案為：叵

3

由題意畫出圖形，證明BC,平面PAB,由已知球的表面積求得球的半徑，然后求解三

角形求得PD與BC,再由棱錐體積公式求三棱錐P-ABC體積.

本題考查球內(nèi)接多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力,

是中檔題.

17.【答案】解：選①：

當(dāng)Ji=1時(shí)，%=S[=2,當(dāng)?i>2時(shí),%]=5“一S.-i=2n,又n=1滿足=2n,所

以a”=2n.設(shè)｛%｝的公比為4,又因?yàn)?=2,a2=4,由瓦=avb2=歿得瓦=2,q=

2,所以d=2"；

由數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)和為彳：=2-2,又可帳=高=正x=5-+，

數(shù)列W~｝的前〃項(xiàng)和為1++…+工77=1---77，

on223nn+1n+1

故%=2n+1-2+1--=2n+1---1.

'n+1n+1

選②：

設(shè)公差為d,由=16,S3+S5=42,得]敲+甯=1：2解得｛建2‘

2

所以0n=2n,Sn=n+幾設(shè)｛%｝的公比為4,又因?yàn)榫?2,a2=4,由瓦=alfb2=號(hào)Z

得瓦=2,q=2,所以垢=2n.

由數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為彳;=2"】一2,又可知2=念=點(diǎn)=:總數(shù)列

第16頁(yè)，共23頁(yè)

n

｛勺的前n項(xiàng)和為1一：+?-+工---77=1---三，故4t=2+i-2+1---9=

、n223nn+1n+1n+1

2n+1---1.

n+1

選③：

由久立=生口，得%詈=&.,所以0.=?,即Q=an,S=7a=28%=56,所以%=2,

174x

annn+1nn1'、'

2

所以an=2n,Sn=n+n.

設(shè)｛bn｝的公比為q,

又因?yàn)?=2,a2=4,由瓦=%,%=等，得瓦=2,q=2,所以b=2n.

由數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為彳；=2"1-2,又可知廣念=而%=；一看

數(shù)列右｝的前〃項(xiàng)和為++???+；-+=1一擊,

故7；=2n+1-2+1--=2"+i---1.

“n+1n+1

【解析】先由題設(shè)條件求出時(shí)與耳，再求得三，然后利用分組求和與裂項(xiàng)相消法求數(shù)列

{/+%}的前〃項(xiàng)和

本題主要考查等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及裂項(xiàng)相消法與分組求和在數(shù)列求和中的

應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)甲、乙共答對(duì)2個(gè)問題分別為：兩人共答6題，甲答對(duì)2個(gè)，乙答

對(duì)0個(gè)；兩人共答7題，甲答對(duì)1個(gè)，乙答對(duì)1個(gè).

33

所以甲、乙兩名學(xué)生共答對(duì)2個(gè)問題的概率：P=xC°(i)+xx|x(1)=

i

27"

(2)設(shè)甲獲勝為事件，則事件包含“兩人共答6題甲獲勝”和“兩人共答7題甲獲勝”

兩類情況，其中第一類包括甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為1：0,2：0,3：0,2：1,3：1,3：

2六種情況，第二類包括前三題甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為1：1,2：2,3：3三種情況，所以

甲獲勝的概率P(A)=警x[C°(|)3+廢|x(|)3]+甯x[以0)3+^x|x?2+

以|)2X(2+普X[C招)3+瑪X|X守+或X(|)2X|+0令X”黑，

設(shè)乙獲勝為事件8,則A,B為對(duì)立事件，

所以P(4)+P(B)=1,P(B)=1-PQ4)=煞>P(A),

所以乙勝出的可能性更大.

(3)設(shè)學(xué)生乙答對(duì)的題數(shù)為X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,P(X=0)=或?)3=

/(X=1)=xC年鏟+箸x禺|(93=^P(X=2)=x

熊(|)2X/警XC照)2X|x|十等x廢(|)2x(1)2=累熱=3)=X

索)3+fX/守X抖警X*)3?=.(X=4)嗎X霏)4=蔡

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

126817616

P

2713527405405

所以期望E(X)=^.

ol

【解析】(1)推出兩人共答6題，甲答對(duì)2個(gè)，乙答對(duì)0個(gè)；兩人共答7題，甲答對(duì)1

個(gè)，乙答對(duì)1個(gè).然后求解甲、乙兩名學(xué)生共答對(duì)2個(gè)問題的概率.

(2)設(shè)甲獲勝為事件，則事件包含“兩人共答6題甲獲勝”和“兩人共答7題甲獲勝”

兩類情況，其中第一類包括甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為1：0,2：0,3：0,2：1,3：1,3：

2六種情況，第二類包括前三題甲乙答對(duì)題個(gè)數(shù)比為I：1,2：2,3：3三種情況，然后

求解概率；設(shè)乙獲勝為事件B,則A,8為對(duì)立事件，求出3的概率，得到結(jié)論.

(3)設(shè)學(xué)生乙答對(duì)的題數(shù)為X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,求出概率，得到

隨機(jī)變量X的分布列，然后求解期望.

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，古典概型概率的求法，考查轉(zhuǎn)化思

想以及計(jì)算能力，是中檔題.

19.【答案】解：⑴tanzXDC=-2,

sinz/lDC=—,cos^ADC=

55

???sinz.ACD=sin(z.CAD+乙ADC)=sinz.CADcosz.ADC+cosz.CADsinz.ADC=yx

(------)H-----X—=—.

'5'2510

ACD

在△ACD中，由正弦定理得一n生=—^去，即而1=而，

sinzxlCDsinz.CAD——

解得CO=V5.

(2)vADIIBC,

第18頁(yè)，共23頁(yè)

:,乙ADC+乙BCD=180°,

???sinZ-BCD=sinZ-ADC=—?cos乙BCD=-cosZ-ADC=—-

在4BCD中，由余弦定理得BZ）2=CD2+BC2-2BC?CDcos乙BCD,

即40=5+BC?_2BC,解得BC=7或BC=-5（舍）.

SA8。=\BC-CDsin乙BCD=^x7x的xg=7-

【解析】本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題.

⑴根據(jù)tan乙4DC=—2,得出sin乙4CD,在△力CD中使用正弦定理求出CD；

(2)根據(jù)N4OC+NBCO=180。求出sin/BCO,cos乙BCD,在△BCO中使用余弦定理解出

-1

BC,貝USABCD=?CDsin^BCD.

20.【答案】解：(I)延長(zhǎng)AB交直線C￡＞于點(diǎn)M,

?.?點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，AE=ED=\AD,

???BC=CD=-AD,：.ED=BC,

2

-?AD//BC,即ED〃BC,

???四邊形BCQE為平行四邊形，即EB〃CD.

vABCtCD=M,M6CD,：.CM//BE,

???BEu平面PBE,CM仁平面PBE,

CM〃平面PBE,

MGAB,ABu平面PAB,

：.Me平面PAB,

故在平面PAB內(nèi)可以找到一點(diǎn)M(M=ABnCD),使得直線CM〃平面PBE.

(II)如圖所示,vZ.ADC=/.PAB=90°,即P41AB,

且異面直線PA與CZ)所成的角為90。，BPM1CD,

又ABCiCD=M,AB,CDu平面ABCD,AP1平面ABCD.

-?ADu平面ABCD,：.PALAD,

義ADLCD,PA1CD,ADCtPA=A,AD,PAu平面PA。，

CD1平面PAD,

■：PDu平面PAD,：.CDLPD.

因此4PzM是二面角P-CD-A的平面角，大小為45。.

.-.PA=AD.

不妨設(shè)4。=2,則BC=CD=^AD=1.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于CO的直線為x軸，AO為y軸，AP為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

???P(0,0,2),E(0,l,0),C(-l,2,0),

.?.就=(-1,1，0),兩=(0,1,-2),AP=(0,0,2),

設(shè)平面PCE的法向量為元=(x,y,z),

則匕匡=。，可得：

E?EC=0(-x+y=0

令y=2,則x=2,z=1,n=(2,2,1).

設(shè)直線PA與平面PCE所成角為。，

則s譏0=|cos<^，記>1=制=島=%

【解析】本題考查了線面平行的判定定理，以及利用空間向量求線面的夾角，同時(shí)考查

了二面角，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

(1)延長(zhǎng)48交直線。。于點(diǎn)加，由點(diǎn)E為A。的中點(diǎn)，可得AE=ED=：AO,由8C=

CD=\AD,可得ED=BC,已知ED〃8C,可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EB〃CD.

利用線面平行的判定定理證明直線CM〃平面28￡即可.

(U)由乙4OC=4PA8=90。，異面直線PA與CD所成的角為90。，以及4BnC0=M,

可得_L平面4BCD利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得CD1PD,PAI.AD.因此

/PDA是二面角P-CC-A的平面角，大小為45。，所以P4=4D,不妨設(shè)力。=2,

則BC=C。=1.建系，可得P(0,0,2),E(0,l,0),C(-l,2,0),利用法向量的

性質(zhì)、向量夾角公式、線面角計(jì)算公式即可得出.

第20頁(yè)，共23頁(yè)

21.【答案】解：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0),

(b2+c2=a2

\c1

EfK-=2，解得a=2,b=后

wa2+b2=

二橢圓方程為史+竺=1;

43