2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat22頁2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合B，根據(jù)集合的交集運算得解.【詳解】因為，，所以.故選：B2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算及共軛復(fù)數(shù)化簡，即可得解.【詳解】，，故在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第四象限.故選：D3．在中，，若，，則＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運算的知識求得正確答案.【詳解】.故選：A

4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷即可.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上有意義，所以，解得，此時二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸，在上單調(diào)遞增，又為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意，所以的取值范圍為.故選：D5．拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線相交于兩點，與拋物線的準(zhǔn)線相交于點．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義求得，根據(jù)，列出方程求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，①如圖（1）所示，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，所以，把代入拋物線，可得，即點或，當(dāng)點時，此時點在軸上方，即，由，可得，即因為且，即，解得，所以，所以.②如圖圖（2）所示，過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，所以，把代入拋物線，可得，即點或，當(dāng)點時，此時點在軸下方，即，由，可得，即因為且，即，解得，所以，所以.綜上可得，故選：A.

6．某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（

）A．124 B．246 C．114 D．108【答案】C【分析】利用分布乘法計數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計算.【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲乙兩人安排到不同學(xué)校，有種，不妨設(shè)甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用間接法計算，有種不同安排方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同安排方法.故選：C7．已知函數(shù)的圖象如圖所示，是直線與曲線的兩個交點，且，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像直接確定A，設(shè)結(jié)合，確定，利用點的坐標(biāo)確定的表達(dá)式，然后代入求值即得答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,設(shè)，由可得，令，即，結(jié)合圖像可得，則，即，將代入，即有，故，則，故選：D8．已知四面體中，，，，直線與所成的角為，且二面角為銳二面角．當(dāng)四面體的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理及均值不等式判定當(dāng)?shù)酌鏋榈妊切螘r面積最大，再確定當(dāng)垂直底面時，高最大，利用外接球的性質(zhì)確定球心，在中求出半徑.【詳解】如圖，

因為，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時底面△BCD面積最大，，將AD沿平移至，則點A與到底面BCD的距離相同，且，為使四面體ABCD高最大，則直線在底面BCD的射影為直線BC，此時面BCD，設(shè)點A在底面BCD的投影為，可知四邊形BCDB'為菱形，且的外心為，此時滿足二面角為銳二面角，故四面體ABCD的外接球的球心在直線上，因為，，，所以在中，，解得，此時外接球的表面積為，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)所給條件確定四面體何時體積最大是本題解題的第一個關(guān)鍵，分別利用余弦定理、均值不等式、三角形面積公式求出底面面積最大時需滿足條件，再確定何時高最大，據(jù)此確定四面體，第二個關(guān)鍵是確定外接球球心位置，利用方程求球的半徑.二、多選題9．下列命題成立的是（

）A．已知，若，則B．若一組樣本數(shù)據(jù)的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為C．樣本數(shù)據(jù)64，72，75，76，78，79，85，86，91，92的第45百分位數(shù)為78D．對分類變量與的獨立性檢驗的統(tǒng)計量來說，值越小，判斷“與有關(guān)系”的把握性越大【答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性判斷A，由回歸方程的系數(shù)的意義判斷B，根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷C，根據(jù)獨立性檢驗的意義判斷D.【詳解】A選項：由正態(tài)分布可知，圖象關(guān)于對稱，因為，所以，所以，故A正確；B選項：由題意知就是回歸方程，即為負(fù)相關(guān)，所以，因為樣本數(shù)據(jù)都在回歸方程上，即相關(guān)性系數(shù)為，故B正確；C選項：共由10個數(shù)，故，所以第45百分位數(shù)是由小到大排列的第5位，即78，故C正確；D選項：對分類變量X與Y的獨立性檢驗的統(tǒng)計量來說，值越小,判斷“X與Y有關(guān)系”的把握性越小，故D錯誤.故選：ABC.10．已知正方體的棱長為2，點為平面內(nèi)一動點，則下列說法正確的是（

）A．若點在棱上運動，則的最小值為B．若點是棱的中點，則平面截正方體所得截面的周長為C．若點滿足，則動點的軌跡是一條直線D．若點在直線上運動，則到棱的最小距離為【答案】BCD【分析】化折線為直線，即可判斷A，取的中點，連接、、、，即可證明四邊形即為平面截正方體所得截面，從而求出截面周長，即可判斷B，根據(jù)線面垂直判斷C，利用空間向量法判斷D.【詳解】對于A：如圖將平面展開與平面處于一個平面，連接與交于點，此時取得最小值，即，故A錯誤；對于B：如圖取的中點，連接、、、，因為點是棱的中點，所以且，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四邊形即為平面截正方體所得截面，又，，，所以截面周長為，故B正確；對于C：如圖，，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面平面，平面，平面，又，所以在直線上，即動點的軌跡是一條直線，故C正確；對于D：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，，所以到棱的距離，所以當(dāng)時，故D正確；故選：BCD11．設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．的周期為4 D．【答案】AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及圖象平移判斷A，利用軸對稱及中心對稱的性質(zhì)判斷B，根據(jù)函數(shù)既是軸對稱又是中心對稱得出函數(shù)周期判斷C，利用周期及對稱的性質(zhì)判斷D.【詳解】A選項，為奇函數(shù)，故關(guān)于點中心對稱，故，故A正確；B選項，關(guān)于點中心對稱，故，取導(dǎo)數(shù)則，即，所以關(guān)于軸對稱，故B錯誤；C選項，因為，故，，，故，令，得，故，故，關(guān)于軸對稱，又關(guān)于點中心對稱，故周期為4，則，故的周期為4，故C正確；D選項，因為，關(guān)于軸對稱，所以，因為關(guān)于點中心對稱，周期為4，所以，故，所以，而的值不確定，故D錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)函數(shù)對稱的判定與性質(zhì)，快速轉(zhuǎn)化，進(jìn)而判斷函數(shù)的對稱性是解決AB選項的關(guān)鍵，利用周期的性質(zhì)及判定確定CD的方法是常用技巧.12．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，則下列敘述中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，且，則【答案】BD【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項列方程求解判斷A，化簡所給條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)確定B，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)最值得到不等式，再由不等式求解判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)最值轉(zhuǎn)化為不等式求解判斷D.【詳解】對于A選項，，即，解得或，故A錯誤；對于B選項，，若時，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故無解，不成立，若時，，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，，由零點存在性定理知有解，故，故B正確；對于C選項，構(gòu)造，則，時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即，解得或，故C錯誤；對于D選項，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即，所以，因為，所以，故D正確.故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造合適的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最值，轉(zhuǎn)化為不等式，利用不等式證明或求解是解決此題的關(guān)鍵所在.三、填空題13．已知函數(shù)，則的解集為.【答案】【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類討論分別計算，再取并集即可；【詳解】解：當(dāng)時，，因為，所以解得，當(dāng)時，時，因為，所以，解得綜上可得不等式的解集為故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分段函數(shù)不等式的解法，考查分類討論思想，屬于中檔題.14．若過點的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為．【答案】【解析】由已知設(shè)圓方程為，代入，能求出圓的方程，再代入點到直線的距離公式即可．【詳解】由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為，則半徑為，．即圓的方程為，再把點代入，得或1，∴圓的方程為或，對應(yīng)圓心為或；由點線距離公式，圓心到直線的距離或；故答案為：．【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15．已知是橢圓的左焦點，過作直線交橢圓于兩點，則的最小值為．【答案】【分析】設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式化簡，利用均值不等式求解.【詳解】如圖，

由橢圓方程可知，，當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線，，聯(lián)立，得：，，弦長，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為；當(dāng)直線斜率為0時，.綜上，的最小值為.故答案為：16．已知不等式對恒成立，則當(dāng)取最大值時，．【答案】【分析】由題設(shè)，結(jié)合、的性質(zhì)及不等式恒成立得，再構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究其最小值得且，根據(jù)不等式恒成立得，應(yīng)用基本不等式求最大值并確定取值條件，此時有恒成立即可求參數(shù)值.【詳解】由，且，若，則在趨向于0時，函數(shù)值趨向，而趨向于，此時在上不能恒成立，所以，令且，則，令且，則，所以時，遞減，時，遞增，則，且時，趨向正無窮時趨向正無窮，故，使，即，所以時，即，時，即，所以上遞減，上遞增，則，要使對恒成立，只需恒成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，結(jié)合已知參數(shù)比值取最大值，此時，則，故，即.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先確定，再構(gòu)造研究最小值，根據(jù)不等式恒成立有，結(jié)合等號成立條件求參數(shù)m的值.四、解答題17．已知．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，角所對的邊為．若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)降冪公式及輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）先求出角，再根據(jù)正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1），令，得，所以的增區(qū)間為；（2）由，得，由，得，所以，所以，因為，所以，則，因為，所以，所以.18．已知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，，為等邊三角形．

(1)求證：平面平面；(2)是否存在一點，滿足，使直線與平面所成的角為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可證得平面平面；（2）法一，先確定出直線與平面所成的角，再求得的值即可求得的值；法二，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)題給條件列出關(guān)于的方程即可求得的值.【詳解】（1）等腰梯形中，，則，則，所以，．又，由，得到，又，平面，因此平面，又因為平面，故平面平面（2）方法一：由（1）知平面，面，則面面．作于點，則有面．則即為直線與面所成角，在直角三角形中，由，，得到由，可得，又，所以存在．方法二：過點作平面于，以點為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

其中得到，設(shè)平面的一個法向量為由，得，不妨設(shè)，則，，則，又，則，解之得（舍去）或，所以19．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前的項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，兩式相減化簡可得數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式，（2）由（1）得，然后分別利用分組求和，錯位相減法求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，相加即可.【詳解】（1）由，得，兩式相減得．令數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，（2）由題意可得，,①，則②，①②得：,∴,20．某科研所研究表明，絕大部分抗抑郁抗焦慮的藥物都有一個奇特的功效，就是刺激人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，所以又叫“快樂藥”．其實科學(xué)、合理、適量的有氧運動就會增加人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，從而緩解抑郁、焦慮的情緒．人體多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是，定義運動后多巴胺含量超過稱明顯有效運動，否則是不明顯有效運動．樹人中學(xué)為了了解學(xué)生明顯有效運動是否與性別有關(guān)，對運動后的60名學(xué)生進(jìn)行檢測，其中女生與男生的人數(shù)之比為1∶2，女生中明顯有效運動的人數(shù)占，男生中明顯有效運動的人數(shù)占．女生男生合計明顯有效運動不明顯有效運動合計(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)完成上表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否判斷明顯有效運動與性別有關(guān)？并說明理由；(2)若從樹人中學(xué)所有學(xué)生中抽取11人，用樣本的頻率估計概率，預(yù)測11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是多少？附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，認(rèn)為明顯有效運動與性別存在差異，理由見解析(2)人數(shù)最有可能是3或4【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計算，與臨界值對比即可得出結(jié)論；（2）由題意，問題可轉(zhuǎn)化為二項分布，利用二項分布概率公式列出不等式組求解.【詳解】（1）因為對60名學(xué)生明顯有效運動是否與性別有關(guān)的調(diào)查，其中女生與男生的人數(shù)之比為，女生中明顯有效運動的人數(shù)占，男生中明顯有效運動的人數(shù)占，得到下面的列聯(lián)表：女生男生合計明顯有效運動103040不明顯有效運動101020合計204060給定假設(shè)：明顯有效運動與性別沒有關(guān)系．由于，則根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，有充分的證據(jù)推斷假設(shè)不成立，因此認(rèn)為明顯有效運動與性別存在差異．（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，不明顯有效運動的頻率為，用樣本的頻率估計概率，所以不明顯有效運動的概率為，設(shè)11人不明顯有效運動的人數(shù)為，則所以假設(shè)11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是，則，解得，，故或.所以11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是3或4．21．已知雙曲線的左、右頂點分別為、，為雙曲線上異于、的任意一點，直線、的斜率乘積為．雙曲線的焦點到漸近線的距離為1．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)不同于頂點的兩點、在雙曲線的右支上，直線、在軸上的截距之比為．試問直線是否過定點？若是，求出該定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點，定點坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)所給條件，列出方程組，求出即可得解；