巴西圓盤劈裂試驗(yàn)中巖石拉伸模量的解析算法

巴西圓盤劈裂試驗(yàn)中巖石拉伸模量的解析算法

1試驗(yàn)方法的選擇巖石的抗拉特性是巖石的一個(gè)重要特征。很多巖石結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞或失穩(wěn)往往是由于結(jié)構(gòu)本身局部或整體承受拉應(yīng)力引起的。目前用于測(cè)定巖石的抗拉參數(shù)主要有直接拉伸試驗(yàn)和間接拉伸試驗(yàn)2種方法。一般認(rèn)為直接拉伸試驗(yàn)結(jié)果更加符合巖石實(shí)際受拉的情況,但是由于直接拉伸試驗(yàn)的巖石試樣在加工過(guò)程中比較困難,另外試驗(yàn)加載過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏心,不能保證拉力通過(guò)試樣中心軸。因此,考慮到直接拉伸試驗(yàn)在實(shí)際操作過(guò)程中不夠簡(jiǎn)便,通常情況下會(huì)采用間接拉伸試驗(yàn)方法進(jìn)行抗拉試驗(yàn)。巴西劈裂試驗(yàn)是目前最經(jīng)常被采用的一種間接拉伸試驗(yàn)方法。雖然喻勇等[2~4]對(duì)巴西劈裂試驗(yàn)方法的適用性進(jìn)行了探討,但是在目前還沒(méi)有其他更簡(jiǎn)便宜行的試驗(yàn)方法,正如王啟智等所說(shuō)“由于直接拉伸的困難,用巴西試驗(yàn)測(cè)巖石材料的抗拉強(qiáng)度比較普遍”。該方法在1978年被國(guó)際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)(ISRM)推薦為測(cè)定巖石抗拉強(qiáng)度的方法。該方法也是美國(guó)材料和試驗(yàn)協(xié)會(huì)(ASTM)制定的標(biāo)準(zhǔn)方法之一,其他標(biāo)準(zhǔn)如英國(guó)的BS標(biāo)準(zhǔn)和國(guó)際ISO標(biāo)準(zhǔn)也進(jìn)行了采用。在國(guó)內(nèi),眾多規(guī)程和標(biāo)準(zhǔn)[6~8]也推薦使用該方法。很多巖石力學(xué)試驗(yàn)機(jī),如Instron,MTS和RMT150試驗(yàn)機(jī)也設(shè)計(jì)了進(jìn)行巴西劈裂試驗(yàn)的操作裝置和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。采用巴西圓盤劈裂試驗(yàn)方法,巖石的劈裂抗拉強(qiáng)度可以采用公認(rèn)的計(jì)算公式進(jìn)行求解。但是圓盤劈裂拉伸不同于直接拉伸,因?yàn)閹r石試樣在圓盤平面范圍內(nèi)各點(diǎn)所受的拉應(yīng)力不完全一致,導(dǎo)致各點(diǎn)的應(yīng)變值也不完全相同,因此在抗拉強(qiáng)度能夠求解的情況下,拉伸模量卻不容易確定。為了確定拉伸模量,很多研究者采用在圓盤中心垂直于加載方向的中心處貼應(yīng)變片的方法,利用該應(yīng)變片的測(cè)量值代替試樣中心受拉區(qū)域的應(yīng)變值,進(jìn)而求解巖石的拉伸模量[9~11]。該方法有試驗(yàn)原理和操作上的簡(jiǎn)化和便利。需要注意的是,有限長(zhǎng)度的電阻片所反映的應(yīng)變要小于圓盤中心處的真實(shí)應(yīng)變,電阻片不能大于圓盤直徑的1/10;而且在黏貼過(guò)程中如何保證應(yīng)變片正好貼在試樣受拉區(qū)域的中心并且和受拉方向完全垂直,也不容易做到,因此所得結(jié)果的精確性有時(shí)難以得到保證。實(shí)際上在試驗(yàn)過(guò)程中,加載力、加載方向位移和試樣中心垂直加載方向的位移是最方便得到的3個(gè)力學(xué)參數(shù)。而且通過(guò)經(jīng)典的圓盤對(duì)心受力的理論分析,試樣中心垂直加載方向上各點(diǎn)的應(yīng)變值都可以得到。因此,如果能夠建立起試樣中心垂直加載方向上各點(diǎn)的應(yīng)變值和總位移變形量之間的關(guān)系式,那么問(wèn)題就迎刃而解,很容易得到試樣劈裂受拉破壞的拉伸模量。基于上述思想,本文利用微積分的原理推導(dǎo)了巖石拉伸模量和試樣中心垂直加載方向上總位移變形量之間的定量關(guān)系式,為求解巴西劈裂試驗(yàn)拉伸模量提供了一種新的方法。2巴西圓斷裂試驗(yàn)方法和原理2.1u3000競(jìng)爭(zhēng)加載測(cè)試根據(jù)規(guī)程要求,利用巴西劈裂方法測(cè)試時(shí)加載方式如圖1所示(在RMT–150C試驗(yàn)機(jī)加載)。試樣的抗拉強(qiáng)度(負(fù)號(hào)為拉應(yīng)力)可表示為式中:σt為巖石抗拉強(qiáng)度,L為試樣長(zhǎng)度(厚度),D為直徑,Pt為破壞載荷。2.2巴西的爆裂試驗(yàn)巴西劈裂試驗(yàn)的受力狀態(tài)屬于圓盤對(duì)心受壓狀態(tài)(見(jiàn)圖1)。根據(jù)平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性力學(xué)解析解,可以得到圓盤內(nèi)(半徑用R表示)任一點(diǎn)T(x,y)的受力狀況:在線載荷P(加載力)的作用下,圓盤中心點(diǎn)o處,有r1=r2=0.5D,θ1=θ2=0°,根據(jù)式(2)和(3),可以得到沿試樣垂直向直徑平面內(nèi)的水平拉應(yīng)力為水平向直徑平面內(nèi)的壓應(yīng)力為可以看出,圓盤中心處的壓應(yīng)力只有拉應(yīng)力的3倍。對(duì)于巖石材料,抗壓強(qiáng)度一般是抗拉強(qiáng)度的8~10倍,因此認(rèn)為試樣是受拉破壞而非受壓破壞。式(5)中的P替換為Pt,可得到式(1),進(jìn)而計(jì)算得到試樣的劈裂抗拉強(qiáng)度。這就是巴西劈裂試驗(yàn)的基本原理。在實(shí)際試驗(yàn)過(guò)程中,考察試樣中心垂直于加載方向上的受力情況。設(shè)在ox方向上任一點(diǎn)(o,x),根據(jù)幾何關(guān)系并且有把式(7)~(9)分別代入式(2)~(4),整理后可得式(10),(11)中,-0.5D≤x≤0.5D。假設(shè),則σx(x),σy(x)分別可以表示為拉應(yīng)力σx(x)和正應(yīng)力σy(x)分別在x方向上的變化如圖2所示。根據(jù)彈性理論,ox上任一點(diǎn)(o,x)應(yīng)變?yōu)槭街?E為拉伸模量(由于試樣破裂時(shí)拉應(yīng)力起主導(dǎo)作用,因此此處E本文定義為拉伸模量),μ為泊松比。設(shè),則式(15)轉(zhuǎn)化為通過(guò)上面的分析可以看出,沿ox方向上每一點(diǎn)處的應(yīng)變值都可以得到精確解。但是實(shí)際試驗(yàn)過(guò)程中,能夠容易測(cè)量得到是ox方向試樣中心到試樣邊緣處的總位移量。因此,如何能夠建立起試樣中心到試樣邊緣處的各點(diǎn)應(yīng)變值跟總位移量之間的關(guān)系式,是下一步需要解決的問(wèn)題。本文將利用微積分的思想建立兩者之間的關(guān)系式并求解該問(wèn)題。由于對(duì)稱關(guān)系,沿ox方向上取試樣中心處到邊緣處的一半試樣作為研究對(duì)象。3分析算法和分解拉壓模型的解決方案3.1試驗(yàn)結(jié)果的描述設(shè)從試樣中心到邊緣處R的線性距離任意分為n小段(厚度不計(jì),如圖3所示),并且從試樣中心到邊緣處對(duì)每段距離依次標(biāo)示為:?x1,?x2,…,?xn。顯而易見(jiàn)有取?x1作為分析對(duì)象,由于?x1長(zhǎng)度很小,可以假設(shè)受到均勻拉力作用,設(shè)?x1均勻受拉后的微變形為?′x1,則?x1上的微應(yīng)變?yōu)?ε1,即微變形為?′x1可以表達(dá)為對(duì)每一段的微變形進(jìn)行求和,則試樣中心到邊緣處總的變形量?′x近似可以表示為顯然,當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),并且各小段長(zhǎng)度的最大值λ,即λ=max{?xi}趨于0時(shí),式(20)的極限值即為變形量?′x的精確值,可以表示為同理,當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí),根據(jù)式(15)可以得到x(0≤x≤R)處小段?x的微變形,即因?yàn)棣舩(x)在0≤x≤R上是處處連續(xù)的,因此對(duì)式(22)積分,即0≤x≤R上的總變形?′x,有實(shí)際測(cè)量過(guò)程中,-R≤x≤R上測(cè)量得到的變形量?u可以近似認(rèn)為是?′x的2倍,即式(23)可以整理為這樣可以得到拉伸模量E:在試驗(yàn)過(guò)程中,P和?u都是關(guān)于加載時(shí)間t的函數(shù),所以考慮加載情況下,拉伸模量E(t)的表達(dá)式為對(duì)式(26)積分,得最終結(jié)果為考慮加載時(shí)間t的解析表達(dá)式為根據(jù)和本次巴西劈裂試驗(yàn)相近砂巖的單軸壓縮試驗(yàn),得到泊松比μ=0.26。3.2抗拉變形模量計(jì)算方法適用性在具體求解拉伸模量E時(shí),柳賦錚等利用破壞載荷Pt、圓盤中心處的極限應(yīng)變及巖石的泊松比進(jìn)行求解,所得結(jié)果跟直接拉伸試驗(yàn)結(jié)果非常接近。參考上述做法,本文把破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u代入式(29),得進(jìn)而可以根據(jù)試驗(yàn)中測(cè)試得到的Pt和?u具體數(shù)值進(jìn)行求解。柳賦錚等利用破壞載荷Pt和試樣中心處拉伸破壞時(shí)的極限應(yīng)變求解彈性模量的方法,簡(jiǎn)捷方便,雖然從實(shí)踐上證明了該方法測(cè)定巖石抗拉變形模量的可行性,但是和直接拉伸試驗(yàn)相比,沒(méi)有從加載時(shí)間的角度考慮該方法的合理性。下面考慮加載時(shí)間,說(shuō)明本文利用破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u求解拉伸模量的適用性。在試驗(yàn)過(guò)程中,P(t)和?u(t)可以實(shí)時(shí)記錄。圖4為均質(zhì)砂巖加載力–加載時(shí)間、橫向總變形–加載時(shí)間和拉伸模量–加載時(shí)間試驗(yàn)曲線。由圖4可知,加載力隨加載時(shí)間的增加變化十分穩(wěn)定,從整個(gè)趨勢(shì)上可認(rèn)為是線載荷。在加載初期橫向總位移存在一段曲線,但是隨著加載時(shí)間的推移,橫向總位移也呈線性變化。由此可以推斷,隨著加載時(shí)間的延續(xù),式(30)中的P(t)和?u(t)都可以用線性函數(shù)表示,當(dāng)加載時(shí)間很長(zhǎng)時(shí)拉伸模量的值最終會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定值。這一點(diǎn)在圖4(c)加載時(shí)間–拉伸模量試驗(yàn)曲線中也得到了體現(xiàn)。因此,說(shuō)明利用破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u代入式(29)計(jì)算巖石拉伸模量的方法是可行的。具體計(jì)算時(shí)為了減少隨機(jī)誤差,可取最終拉伸模量前10項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均值。4延長(zhǎng)試驗(yàn)的過(guò)程和結(jié)果4.1試驗(yàn)系統(tǒng)和試樣為了具體說(shuō)明上述確定拉伸模量解析算法的運(yùn)用過(guò)程,選取均質(zhì)砂巖進(jìn)行了靜態(tài)巴西劈裂試驗(yàn)。試驗(yàn)系統(tǒng)為中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所研制的RMT–150C巖石力學(xué)試驗(yàn)系統(tǒng)(見(jiàn)圖5)。試驗(yàn)材料選用完整性和均質(zhì)性較好的砂巖。按照巖石力學(xué)常規(guī)試驗(yàn)性能測(cè)試要求進(jìn)行具體加工試驗(yàn)所需試樣。砂巖試樣取自同一塊巖石,參照試驗(yàn)規(guī)程和RMT–150C試驗(yàn)系統(tǒng)的要求,試樣長(zhǎng)徑比按照1∶1(直徑φ50mm)進(jìn)行加工,上下表面的平行度在0.05mm以內(nèi);表面的平面度在0.02mm以內(nèi)。3個(gè)試樣的物理、幾何參數(shù)如表1所示。4.2試樣拉伸模量試驗(yàn)結(jié)果圖6為砂巖試樣實(shí)際加載圖,加載控制按照0.01kN/s的標(biāo)準(zhǔn)施加,圖中位移傳感器用于記錄試樣中心橫向的總位移變形。圖7為上述3個(gè)砂巖試樣加載力–加載時(shí)間、總位移變形加載–加載時(shí)間和拉伸模量–加載時(shí)間曲線?？梢钥闯?3個(gè)試樣的加載歷程一致,整體上完全按照0.01kN/s的加載率進(jìn)行。對(duì)于試樣1–1(即節(jié)3.2中的代表性試樣),加載力–時(shí)間曲線有很多噪聲,而其他2個(gè)試樣曲線很光滑。跟節(jié)3.2中的描述類似,圖7(b)中每條曲線在開(kāi)始存在彎曲遞增段,隨后進(jìn)入線性遞增段。圖中試樣12–2的曲線十分光滑,其他2條曲線存在不同程度的噪聲,但這不影響對(duì)加載時(shí)間–橫向總位移整體變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)。圖7(c)是利用式(30)計(jì)算得到3個(gè)試樣的拉伸模量隨加載時(shí)間的變化曲線。可以看出,試樣3–1曲線中的噪聲在開(kāi)始階段很大,后來(lái)變得小幅的震蕩。而試樣12–2的原始曲線噪聲很不明顯,并且表現(xiàn)出很好的對(duì)數(shù)函數(shù)變化趨勢(shì),最終會(huì)趨于穩(wěn)定值。再次說(shuō)明了利用破壞載荷Pt和最終拉伸變形?u計(jì)算巖石拉伸模量方法的適用性。表2為上述3個(gè)砂巖試樣劈裂試驗(yàn)的結(jié)果?？芍?本次試驗(yàn)在加載率量級(jí)為10-3MPa·s-1或者應(yīng)變率量級(jí)為10-7s-1下進(jìn)行的,其中應(yīng)變率可以根據(jù)式(15)求解。最后得到砂巖的抗拉強(qiáng)度為4.36MPa左右,拉伸模量大約為3.52GPa。5相關(guān)主題討論5.1試驗(yàn)結(jié)果及討論上述解析算法是基于圓盤對(duì)心受力情況下平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性力學(xué)解和巖石材料的抗拉線彈性變形特點(diǎn)得到的。關(guān)于平面應(yīng)力問(wèn)題彈性力學(xué)解的討論,目前主要集中在載荷接觸條件對(duì)劈裂強(qiáng)度的影響分析上。其中也涉及到具體的巖石力學(xué)試驗(yàn)機(jī)加載方式和加載裝置的設(shè)計(jì)(例如平面夾具加載、墊鋼條夾具劈裂、弧形夾具劈裂、角形夾具劈裂;鋼質(zhì)壓條的形狀,尺寸等等),在此不做重點(diǎn)討論。此外,如前所述,許多文獻(xiàn)對(duì)完整巴西劈裂試驗(yàn)方法的適用性進(jìn)行了分析,提出了一些改進(jìn)建議。為了比較不同方法所得拉伸試驗(yàn)結(jié)果,劉世奇等利用同一種巖石進(jìn)行了5種不同加載率下(10-1~103)MPa·s-1的直接拉伸和間接拉伸試驗(yàn)(包括完整圓盤和平臺(tái)圓盤劈裂試驗(yàn)),抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果如圖8所示。由圖8可以看出,由完整圓盤劈裂試驗(yàn)和直接拉伸試驗(yàn)所得的結(jié)果非常接近,而且由直接拉伸得到的數(shù)據(jù)反而較間接劈裂法更為分散。同時(shí)可以看出,采用平臺(tái)圓盤進(jìn)行劈裂試驗(yàn)所得結(jié)果,要比直接拉伸試驗(yàn)結(jié)果高出很多,高出的最低百分比為20%,最高的百分比達(dá)到了35%。由此說(shuō)明了利用完整巴西圓盤進(jìn)行間接拉伸試驗(yàn)的適用性。5.2加載方向和加載方向的位移加載過(guò)程中ox方向上,本文推導(dǎo)前所做的巖石受拉呈現(xiàn)線彈性變形的假設(shè)是否合適,需要考察巖石真實(shí)受拉情況下材料的拉伸特性。對(duì)于巴西劈裂試驗(yàn)中巖石受拉的形變情況,劉世奇等在巴西盤(直徑φ50mm)2個(gè)盤面ox方向上中心處黏貼了應(yīng)變片(如圖9所示),并記錄下了該點(diǎn)在不同加載速率下的載荷–應(yīng)變曲線(如圖10所示)。在不同的加載率(100~103)MPa·s-1下,ox中心處的應(yīng)變–載荷曲線基本呈線性變化,說(shuō)明中心處的應(yīng)變?cè)谑芾饔脮r(shí)是線性變化。結(jié)合前面節(jié)3.1的推導(dǎo)過(guò)程,由此可以推斷橫向ox方向各微小段(積分時(shí)認(rèn)為長(zhǎng)度非常小)受拉時(shí)處于彈性階段,因而推導(dǎo)解析算法時(shí)所作的微小段受拉呈現(xiàn)線彈性變形的假設(shè)是適用的。為了進(jìn)一步說(shuō)明巖石各微小段受拉呈現(xiàn)線彈性變形假設(shè)的適用性,本文對(duì)加載方向和垂直加載方向的整體位移進(jìn)行分析說(shuō)明。圖11為砂巖試樣12–2劈裂拉伸過(guò)程中得到的試驗(yàn)曲線?？梢钥闯黾虞d力隨著加載時(shí)間的增加完全呈線性遞增趨勢(shì),意味著加載過(guò)程中加載率非常穩(wěn)定。圖11(b)顯示在加載初始段,位移增加速度由快變慢,最后穩(wěn)定在一個(gè)常值,即加載方向的位移最后隨著加載時(shí)間的增加而線性增加。圖11(b),(c)試驗(yàn)曲線類似,位移增加率也是在加載起始時(shí)最高,而后隨著加載時(shí)間的增加,逐漸由快減慢。圖11(b),(c)試驗(yàn)曲線初始段存在上凸現(xiàn)象,說(shuō)明在加載初期,試樣處于壓密階段,因此位移增加率相對(duì)較高。在加載后期,試樣內(nèi)部已密實(shí),因此2個(gè)方向的位移變化趨于穩(wěn)定。但是跟圖11(b)曲線相比,圖11(c)試驗(yàn)曲線最后的位移增加率沒(méi)有穩(wěn)定下來(lái),而是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)波動(dòng),這個(gè)可能跟位移傳感器的測(cè)量過(guò)程有關(guān)。如圖6所示,加載方向的位移由試驗(yàn)系統(tǒng)自動(dòng)測(cè)量,而且加載方向巖石試樣兩端跟鋼質(zhì)墊條接觸,形成線載荷,鋼質(zhì)墊條外側(cè)為帶“V”型的墊板,墊板外側(cè)跟加載端形成面載荷,因此在加載過(guò)程中試樣受力相對(duì)均勻,在恒定的加載速率下,位移增加率最終會(huì)趨于穩(wěn)定。而對(duì)于垂直加載方向的位移,由試樣兩側(cè)的位移傳感器進(jìn)行記錄,2個(gè)位移傳感器跟試驗(yàn)的接觸處為2個(gè)觸頭,即2個(gè)點(diǎn)接觸。加載過(guò)程中試樣受拉擴(kuò)張變形,2個(gè)觸頭跟試樣的接觸處會(huì)有所波動(dòng),也反映在位移曲線上。因此加載后期,該方向上記錄得到的位移增加率不呈現(xiàn)定值,而是在小范圍內(nèi)波動(dòng)。但這一點(diǎn)不影響對(duì)試驗(yàn)現(xiàn)象的整體認(rèn)識(shí)和分析。為了更好地說(shuō)明圖11(b),(c)中加載后期位移整體呈現(xiàn)線性變形的趨勢(shì),圖12(a)給出了doy-dox位移擬合關(guān)系?？煽闯?擬合關(guān)系式為線性函數(shù)dox=Kdoy+B(K,B均為擬合參數(shù)),其擬合系數(shù)R2=0.994,意味著2個(gè)方向的位移在隨著加載時(shí)間的增加,基本呈現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)線性關(guān)系。圖12(b)為3個(gè)試樣doy-dox位移擬合關(guān)系。表3給出3個(gè)試樣oy方向位移doy和ox方向位移dox擬合曲線的相關(guān)信息,擬合程度都很高。在試驗(yàn)過(guò)程中,雖然oy和ox方向各點(diǎn)受力不完全相同,但是這2個(gè)方向上的整體位移均呈現(xiàn)線性變化趨勢(shì),由此不難導(dǎo)出巖石內(nèi)部微小段受拉呈現(xiàn)線彈性變形的假設(shè)是合適的。5.3拉伸模量求解方法存在的問(wèn)題對(duì)于拉伸模量的測(cè)量和求解這一問(wèn)題,如前言所述,很多研究者采用圖9中在試樣(包括完整圓盤和平臺(tái)圓盤)2個(gè)盤面中心黏貼應(yīng)變片的方法來(lái)測(cè)量巖石的拉伸模量,該類方法在黏貼過(guò)程中保證兩個(gè)圓盤面上的應(yīng)變片位置一致需要非常仔細(xì)。J.H.Ye等最近把中心貼應(yīng)變片方法和彈性理論解結(jié)合起來(lái),給出了拉伸模量的求解方法。但是該方法有時(shí)存在問(wèn)題需要引起重視。圖13為巖石試樣3–1和12–2試驗(yàn)結(jié)果。2個(gè)試樣破裂后合在一起,破裂面吻合非常好,說(shuō)明試樣在受拉作用下破裂。從試樣12–2(見(jiàn)圖13(b))可以看出,有時(shí)受試樣