初二數(shù)學(xué)平行線分線段成比例定理講義及測(cè)驗(yàn)

#/5解之，得BD=10(cm)例3、如圖7,A、C、E和B、F、D分別是NO的兩邊上的點(diǎn)，且AB〃ED、BC〃FE。求證：AF//CD分析要證明AF//CD,應(yīng)推導(dǎo)出能使AF//CD的比例線段，由題中圖形可知，應(yīng)證明OA=OF，而由AB//ED,OCODBC//FE,容易得到此關(guān)系。證明：?「AB//ED OA=OB①\，BC//FE二OB=OC②OEOD OFOE由①得OA-OD=OB-OE由②得OC-OF=OB-OE，OA-OD=OC-OF貝UOA=OF Z.AF//CDOCOD點(diǎn)評(píng)：本題是采用的是“公比過(guò)渡”的方法來(lái)解決問(wèn)題的，“公比”是指兩個(gè)或兩個(gè)以上的比例式中均有一個(gè)公共比， 有時(shí)公比是采用乘積式的形式。例4如圖8梯形ABCD中，AB//CD,M為AB的中點(diǎn)， \:%黃分別連結(jié)AB、BD、MD、MC,且AC與MD交于E,DB與MC交于F,求證EF//CD 圖8分析：要證EF//CD,可根據(jù)三角形一邊平行線的判定定理證明，首先觀察EF、CD截哪個(gè)三角形，然后證明它截得兩邊上的對(duì)應(yīng)線段成比例即可。證明：,ZAB//CDCD_證明：,ZAB//CDCD_DECDCF

~TZ-.,=AMEMMBFMXVAM=BMDE_CF

EM~FM???EF//CD點(diǎn)評(píng)利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：(1)首先觀察欲證平行線截哪個(gè)三角形 (2)再觀察它們截這個(gè)三角形的哪兩邊(3)最后只須證明這兩條邊上對(duì)應(yīng)線段成比例即可點(diǎn)評(píng)利用三角形一邊平行線的判定定理證明兩直線平行的一般步驟為：(1)首先觀察欲證平行線截哪個(gè)三角形 (2)再觀察它們截這個(gè)三角形的哪兩邊(3)最后只須證明這兩條邊上對(duì)應(yīng)線段成比例即可當(dāng)已知中有相等線段時(shí),常利用它們和同一條線段(或其它相等線段)的比作為中間比例5如圖9,A「B；C:分別在^ABC的三邊BC、AC、AB上或其延長(zhǎng)線上，且AA'//BB'//CC'求證：分析所證結(jié)論中出現(xiàn)的三條線段的倒數(shù)，解決此類問(wèn)題，圖9一般情況下，要將其轉(zhuǎn)化為線段比的形式。證明：VCC,證明：VCC,//AA'.CC'BC,? =AA'BA1 1 1 1 =

AA'BB'CC'只需證臉+需二1 1 1 1 =

AA'BB'CC'只需證臉+需二-即將倒數(shù)和的形式化圖10?.CC+CC="+g=也2=1

AA'BB'BAABAB點(diǎn)評(píng)對(duì)于線段倒數(shù)和的證明，常見的方法是化倒數(shù)形式為線段的比的形式，再利用平行線或相似三角1 1 1形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解，如本題中，要證 +—-=—，AABBCC為線段比的形式。例6如圖10四邊形ABCD中，NBAD的平分線交BD于E,EF//CD交BC于F,求證：BC=AD=1BFAB分析結(jié)論是兩個(gè)線段比的差，可分別求出每一組線段的比，再進(jìn)行減法運(yùn)算。證明：VAE平分NBAD.??AD=DE①ABBEDBCB在ABCD中VEF〃CD?，? =——②BEBF②—①得BCADDBDE1 .BC = =1 ?? BFABBEBE BFADAB例7如圖11,AD為^ABC的角平線，BF±AD的延長(zhǎng)線于F,AM±AD于A交BC的延長(zhǎng)線于M,FC的延長(zhǎng)線交AM于E,求證：AE=EM分析要證AE=EM,可利用比例緞來(lái)證明，而由BFXAF,可延長(zhǎng)BF交AC延于N，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)有BF=FN，再由BN//AM,得比例線段，即可得出結(jié)論。證明：延長(zhǎng)BF交AC的延長(zhǎng)線于NVAFXBF.\ZBFA=ZNFA=900XVZBAF=ZNAF,AF=AFBFFCENFC.?.△ABFSANF .\BF=NFVBFXAFAM±AFZ.BF//AM.\——二——，——二——EMECAECE.BFFN'? =EMAEXVBF=FN.\EM=AE點(diǎn)評(píng)（1）有和角平分線垂直線段時(shí)常把它延長(zhǎng)，構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)證題（2）利用比例證明線段相等主要有以下形式ac==一③bd>na=cb=dac==一④bd>nb=da=c圖12例8如圖12把線段AB分成2：3兩部分分析利用平行線分線段成比例定理作圖作法；1.以點(diǎn)A為端點(diǎn)，作射線AM2.在AM上順次截AD=2a,DE=3a（a為任意長(zhǎng)）3.連結(jié)BE,過(guò)點(diǎn)D作DC//BE交AB于C,則點(diǎn)C即為所求［練習(xí)與測(cè)試］1.如圖4ABC中，D、E、F分別在AB、AC、BC上，且DE//BC,EF//AB,AD=9,EF=6,CF=5,則BF= .直線DE分別交4ABC的邊AB、AC于點(diǎn)D、E,且AD=4cm,AE=6cm、AB=12cm,AC=那么DE//BCAD2.如圖DE//BCAD=2,DB3那么AC=匹=EC BC.如圖在LJABCD中，E在AD上，BF且4AE=5DE,CE交BD于F,則BF-=DF.如圖，梯形ABCD中，AD//BC,對(duì)角線AC、BD相交于O,CE//AB交BD的延長(zhǎng)線于E,若OB=6,OD=3,則UDE=.如圖，已知DC//EF//GH//AB, 1AB=30,CD=6,<DE：EG：GA=1：2：3, F<\則EF=GH=.如圖，在口ABCD中， 2O1、O2、O3分別為對(duì)角線BD上三點(diǎn)， （第8題）且BO]=O1O2=O2O3=O3D,連結(jié)AO1,并延長(zhǎng)交BC于E,連結(jié)EO3,并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F,則AD：FD=/G4/5 （第10題）（第13題（1））同理EF同理EF=CE，而EB=CE,CD=AD,AFAD2.圖，l//1,AF=2GB,BC=4CD,1 2, 5若AE=k.EC,則k=.如圖，CD是^ABC的角平分線，點(diǎn)E在AC上，AD=AE=2,AC=10,求DEABAC5.如圖，CD是^ABC中，E為AC的中點(diǎn)，D為BC上的點(diǎn)，且BD=AB,求證：BC=AGABGD.已知，C是線段AB上一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊，在AB的同側(cè)作兩個(gè)等邊三角形ACD和BCE,AE交CD于F,BD交CG于G,求證FG//AB.已知，BD為4ABC的角平分線，DE//BC,交AB于E,求證：1—+1—=1—ABBCDE.已知，如圖（1）,梯形ABCD中，AD//BC,E、F分別在AB、CD上，且EF//BC,EF分別交BD、AC于M、N。①求證ME=NF②當(dāng)EF向上平移圖（2）各個(gè)位置其他條件不變時(shí)，①的結(jié)論是否成立，請(qǐng)證明你的判斷。［練習(xí)與測(cè)試參考解答或提示］TOC\o"1-5"\h\z15 521.15；2.18cm； 3.5,-； 4. 9： 4； 5.9； 6.10, 18； 7. 9： 1； 8. 2； 9. 62 35AGAEBCEC.提示，過(guò)D作DH//AC交BG于H點(diǎn)，則八八二八口，D八二八口，又AE=EC,BD=AB,即可GDDHBDDH得結(jié)論。.略證，由NDCA=NEBA=600,有CD〃BE,則UBE=EG,CDCG貝UEG=EF，所以FG//ABCGAF12.略證，由DE/