江蘇省揚州市教院2024屆數(shù)學九年級第一學期期末綜合測試試題含解析

江蘇省揚州市教院2024屆數(shù)學九年級第一學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，⊙O外接于△ABC，AD為⊙O的直徑，∠ABC=30°，則∠CAD=（）A．30° B．40° C．50° D．60°2．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝2，BC＝6，則＝（）A． B． C． D．3．如圖，在半徑為1的⊙O中，直徑AB把⊙O分成上、下兩個半圓，點C是上半圓上一個動點(C與點A、B不重合)，過點C作弦CD⊥AB，垂足為E，∠OCD的平分線交⊙O于點P，設CE＝x，AP＝y(tǒng)，下列圖象中，最能刻畫y與x的函數(shù)關系的圖象是()A． B．C． D．4．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（m，3m），則此反比例函數(shù)的圖象在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限5．已知拋物線與軸沒有交點，那么該拋物線的頂點所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．二次函數(shù)的圖象可以由二次函數(shù)的圖象平移而得到，下列平移正確的是（）A．先向右平移2個單位，再向上平移1個單位B．先向右平移2個單位，再向下平移1個單位C．先向左平移2個單位，再向上平移1個單位D．先向左平移2個單位，再向下平移1個單位7．在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，則AC=（）A．3sin40°B．3sin50°8．已知方程的兩根為，則的值為（）A．-1 B．1 C．2 D．09．一元二次方程的根的情況是A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷10．如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和點D、E、F．若，DE＝4，則EF的長是（）A． B． C．6 D．1011．下面四組圖形中，必是相似三角形的為（）A．兩個直角三角形B．兩條邊對應成比例，一個對應角相等的兩個三角形C．有一個角為40°的兩個等腰三角形D．有一個角為100°的兩個等腰三角形12．下列手機手勢解鎖圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻(墻的長度不限)的矩形菜園ABCD，設AB的長為x米，則菜園的面積y(平方米)與x(米)的函數(shù)表達式為________．(不要求寫出自變量x的取值范圍)14．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB＝35o，則∠OAB＝o．15．四邊形ABCD與四邊形位似，點O為位似中心．若，則________．16．一個圓錐的底面圓的半徑為3，母線長為9，則該圓錐的側面積為__________．17．已知直線:交x軸于點A，交y軸于點B；直線:經(jīng)過點B，交x軸于點C，過點D（0，-1）的直線分別交、于點E、F，若△BDE與△BDF的面積相等，則k=____.18．如圖，CD是的直徑，E為上一點，，A為DC延長線上一點，AE交于點B，且，則的度數(shù)為__________．

三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，為⊙的直徑，為⊙上一點，為的中點．過點作直線的垂線，垂足為，連接．（1）求證：；（2）與⊙有怎樣的位置關系？請說明理由．20．（8分）如圖，在直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx－2與x軸交于點A(－3,0)、B(1,0)，與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式．（2）在拋物線上是否存在點D，使得△ABD的面積等于△ABC的面積的倍？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．（3）若點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點，點F是AE的中點，請直接寫出線段OF的最大值和最小值．21．（8分）解方程組:22．（10分）在正方形中，點是邊上一點，連接.圖1圖2（1）如圖1，點為的中點，連接.已知，，求的長；（2）如圖2，過點作的垂線交于點，交的延長線于點，點為對角線的中點，連接并延長交于點，求證：.23．（10分）某學校的學生為了對小雁塔有基本的認識，在老師的帶領下對小雁塔進行了測量．測量方法如下：如圖，間接測得小雁塔地部點D到地面上一點E的距離為115.2米，小雁塔的頂端為點B，且BD⊥DE，在點E處豎直放一個木棒，其頂端為C，CE＝1.72米，在DE的延長線上找一點A，使A、C、B三點在同一直線上，測得AE＝4.8米．求小雁塔的高度．24．（10分）如圖，，平分，過點作交于，連接交于，若，，求，的長．25．（12分）不透明的袋中有四個小球，分別標有數(shù)字1、2、3、4，它們除了數(shù)字外都相同。第一次從中摸出一個小球，記錄數(shù)字后放回袋中，第二次搖勻后再隨機摸出一個小球.（1）求第一次摸出的小球所標數(shù)字是偶數(shù)的概率；（2）求兩次摸出的小球所標數(shù)字相同的概率.26．（如圖1，若拋物線l1的頂點A在拋物線l2上，拋物線l2的頂點B也在拋物線l1上（點A與點B不重合）．我們稱拋物線l1，l2互為“友好”拋物線，一條拋物線的“友好”拋物線可以有多條．（1）如圖2，拋物線l3：與y軸交于點C，點D與點C關于拋物線的對稱軸對稱，則點D的坐標為；（2）求以點D為頂點的l3的“友好”拋物線l4的表達式，并指出l3與l4中y同時隨x增大而增大的自變量的取值范圍；（3）若拋物線y＝a1(x－m)2＋n的任意一條“友好”拋物線的表達式為y＝a2(x－h(huán))2＋k，寫出a1與a2的關系式，并說明理由．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根據(jù)AD為⊙O的直徑，推出∠DCA=90°，最后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通過計算即可求出結果．【題目詳解】解：∵∠ABC=30°，∴∠ADC=30°，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=90°-30°=60°．故選D．【題目點撥】本題主要考查圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，角的計算，關鍵在于通過相關的性質(zhì)定理推出∠ADC和∠DCA的度數(shù)．2、D【解題分析】由DE∥BC知△ADE∽△ABC，然后根據(jù)相似比求解．【題目詳解】解：∵DE∥BC

∴△ADE∽△ABC.又因為DE＝2，BC＝6，可得相似比為1:3.即==.故選D.【題目點撥】本題主要是先證明兩三角形相似，再根據(jù)已給的線段求相似比即可．3、A【分析】連接OP，根據(jù)條件可判斷出PO⊥AB，即AP是定值，與x的大小無關，所以是平行于x軸的線段．要注意CE的長度是小于1而大于0的．【題目詳解】連接OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠OPC．∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC＝∠DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵OA＝OP＝1，∴AP＝y(tǒng)＝(0＜x＜1)．故選A．【題目點撥】解決有關動點問題的函數(shù)圖象類習題時，關鍵是要根據(jù)條件找到所給的兩個變量之間的函數(shù)關系，尤其是在幾何問題中，更要注意基本性質(zhì)的掌握和靈活運用．4、B【題目詳解】解：將點（m，3m）代入反比例函數(shù)得，k=m?3m=3m2＞0；故函數(shù)在第一、三象限，故選B．5、D【分析】根據(jù)題目信息可知當y=0時，，此時，可以求出a的取值范圍，從而可以確定拋物線頂點坐標的符號，繼而可以確定頂點所在的象限.【題目詳解】解：∵拋物線與軸沒有交點，∴時無實數(shù)根；即，，解得，，又∵的頂點的橫坐標為：；縱坐標為：；故拋物線的頂點在第四象限.故答案為：D.【題目點撥】本題考查的知識點是拋物線與坐標軸的交點問題，解題的關鍵是根據(jù)拋物線與x軸無交點得出時無實數(shù)根，再利用根的判別式求解a的取值范圍.6、C【解題分析】二次函數(shù)平移都是通過頂點式體現(xiàn)，將轉化為頂點式，與原式對比，利用口訣左加右減，上加下減，即可得到答案【題目詳解】解：∵，∴的圖形是由的圖形，向左平移2個單位，然后向上平移1個單位【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)圖形的平移問題，學生熟練掌握左加右減，上加下減即可解決這類題目7、D【解題分析】試題分析：∵∠C=90°，∠A=40°，∴∠B=50°.∵BC=3，tanB=ACBC故選D.考點：1.直角三角形兩銳角的關系；2.銳角三角函數(shù)定義.8、D【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2-a-1=1，即a2-a=1，則a2-2a-b可化簡為a2-a-a-b，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得a+b=1,ab=-1，然后利用整體代入的方法計算．【題目詳解】解：∵a是方程的實數(shù)根，

∴a2-a-1=1，

∴a2-a=1，

∴a2-2a-b=a2-a-a-b=(a2-a)-(a+b)，

∵a、b是方程的兩個實數(shù)根，

∴a+b=1，

∴a2-2a-b=1-1=1．

故選D．【題目點撥】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=1(a≠1)的兩根時，x1+x2=，x1?x2=．9、A【分析】把a=1,b=-1,c=-1,代入，然后計算，最后根據(jù)計算結果判斷方程根的情況.【題目詳解】方程有兩個不相等的實數(shù)根.故選A.【題目點撥】本題考查根的判別式，把a=1,b=-1,c=-1,代入計算是解題的突破口.10、C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入計算即可解答．【題目詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴，即，解得：EF＝1．故選：C．【題目點撥】本題主要考查平行線分線段成比例定理，熟悉定理是解題的關鍵．11、D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定方法即可判定.【題目詳解】解：兩個直角三角形不一定相似，因為只有一個直角相等，∴A不一定相似；兩條邊對應成比例，一個對應角相等的兩個三角形不一定相似，因為這個對應角不一定是夾角；∴B不一定相似；有一個角為40°的兩個等腰三角形不一定相似，因為40°的角可能是頂角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一個角為100°的兩個等腰三角形一定相似，因為100°的角只能是頂角，所以兩個等腰三角形的頂角和底角分別相等，∴D一定相似；故選：D．【題目點撥】本題考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定，屬于基礎題型，熟練掌握相似三角形的判定方法是關鍵.12、B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷即可．【題目詳解】A．不是中心對稱圖形；B．是中心對稱圖形；C．不是中心對稱圖形；D．不是中心對稱圖形．故選B．【題目點撥】本題考查了中心對稱圖的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．二、填空題（每題4分，共24分）13、y＝－x2＋15x【分析】由AB邊長為x米，根據(jù)已知可以推出BC=（30-x），然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關系式．【題目詳解】∵AB邊長為x米，而菜園ABCD是矩形菜園，∴BC=（30-x），菜園的面積=AB×BC=（30-x）?x，則菜園的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數(shù)關系式為：y＝－x2＋15x，故答案為y＝－x2＋15x.【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的應用，正確分析，找準各量間的數(shù)量關系列出函數(shù)關系式是解題的關鍵.14、55【解題分析】分析：∵∠ACB與∠AOB是所對的圓周角和圓心角，∠ACB＝35o，∴∠AOB=2∠ACB=70°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=．15、1∶3【解題分析】根據(jù)四邊形ABCD與四邊形位似，，可知位似比為1：3，即可得相似比為1：3，即可得答案.【題目詳解】∵四邊形與四邊形位似，點為位似中心．，∴四邊形與四邊形的位似比是1∶3，∴四邊形與四邊形的相似比是1∶3，∴AB∶OA∶OA′=1∶3，故答案為1∶3.【題目點撥】本題考查了位似的相關知識，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的面積比等于相似比的平方．16、【分析】先求出底面圓的周長，然后根據(jù)扇形的面積公式：即可求出該圓錐的側面積．【題目詳解】解：底面圓的周長為，即圓錐的側面展開后的弧長為，∵母線長為9，∴圓錐的側面展開后的半徑為9，∴圓錐的側面積故答案為：【題目點撥】此題考查的是求圓錐的側面積，掌握扇形的面積公式：是解決此題的關鍵．17、【分析】先利用一次函數(shù)圖像相關求出A、B、C的坐標，再根據(jù)△BDE與△BDF的面積相等，得到點E、F的橫坐標相等，從而進行分析即可.【題目詳解】解：由直線:交x軸于點A，交y軸于點B；直線:經(jīng)過點B，交x軸于點C，求出A、B、C的坐標分別為，將點D（0，-1）代入得到，又△BDE與△BDF的面積相等，即知點E、F的橫坐標相等，且直線分別交、于點E、F，可知點E、F為關于原點對稱，即知坡度為45°，斜率為.故k=.【題目點撥】本題考查一次函數(shù)圖像性質(zhì)與幾何圖形的綜合問題，熟練掌握一次函數(shù)圖像性質(zhì)以及等面積三角形等底等高的概念進行分析是解題關鍵.18、16°【分析】連接OB，根據(jù)，可得，設∠A=x，則∠AOB=x，列方程求出ｘ的值即可．【題目詳解】連接OB設∠A=x，則∠AOB=x即∠A的度數(shù)為16°故答案為：16°．【題目點撥】本題考查了圓的角度問題，掌握等邊對等角、三角形外角定理是解題的關鍵．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）與⊙相切，理由見解析.【分析】(1)連接，由為的中點，得到，根據(jù)圓周角定理即可得到結論；(2)根據(jù)平行線的判定定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到于是得到結論．【題目詳解】(1)連接，為的中點，∴，，，；(2)與⊙相切，理由如下：，，∴∠ODE+∠E=180°，，∴∠E=90°，∴∠ODE=90°，，又∵OD是半徑，與⊙相切．【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．20、（1）；（2）存在，理由見解析；D(－4,)或（2，）；（3）最大值；最小值【分析】（1）將點A、B的坐標代入函數(shù)解析式計算即可得到；（2）點D應在x軸的上方或下方，在下方時通過計算得△ABD的面積是△ABC面積的倍，判斷點D應在x軸的上方，設設D(m,n)，根據(jù)面積關系求出m、n的值即可得到點D的坐標；（3）設E(x,y)，由點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點,用兩點間的距離公式得到點E的坐標為E,再根據(jù)點F是AE中點表示出點F的坐標，再設設F(m,n),再利用m、n、與x的關系得到n=，通過計算整理得出，由此得出F點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，再計算最大值與最小值即可.【題目詳解】解：（1）將點A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得，解得，∴（2）若D在x軸的下方，當D為拋物線頂點（－1，）時，，△ABD的面積是△ABC面積的倍，，所以D點一定在x軸上方．設D(m,n),△ABD的面積是△ABC面積的倍，n＝＝m＝－4或m＝2D(－4,)或（2，）（3）設E(x,y),∵點E是以點C為圓心且1為半徑的圓上的動點，∴,∴y=,∴E,∵F是AE的中點,∴F的坐標,設F(m,n),∴m=,n=,∴x=2m+3,∴n=,∴2n+2=,∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,∴4(n+1)2+4()2=1,∴,∴F點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，∴最大值：，最小值：最大值；最小值【題目點撥】此題是二次函數(shù)的綜合題，考察待定系數(shù)法解函數(shù)關系式，圖像中利用三角形面積求點的坐標，注意應分x軸上下兩種情況，（3）還考查了兩點間的中點坐標的求法，兩點間的距離的確定方法：兩點間的距離的平方=橫坐標差的平方+縱坐標差的平方.21、.【分析】根據(jù)加減消元法即可求解.【題目詳解】解:得:.解得:代入①，解得:所以，原方程組的解為【題目點撥】此題主要考查二元一次方程組的求解，解題的關鍵是熟知加減消元法的運用.22、（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）作于點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推出，，在中，利用三角函數(shù)求出BP，F(xiàn)P，在等腰三角形中，求出BE，再由勾股定理求出AB，進而得到BC和CP，再次利用勾股定理即可求出CF的長度.（2）過作垂直于點，得矩形，首先證明，得，再證明，可推出得.【題目詳解】解：（1）中，為中線，，，.作于點，如圖，中，在等腰三角形中，，由勾股定理求得，（2）過作垂直于點，得矩形，∵AB∥CD∴∠MAO=∠GCO在△AMO和△CGO中，∵∠MAO=∠GCO，AO=CO，∠AOM=∠COG∴△AMO≌△CGO（ASA）∴AM=GC∵四邊形BCGP為矩形，∴GC=PB，PG=BC=AB∵AE⊥HG∴∠H+∠BAE=90°又∵∠AEB+∠BAE=90°∴∠AEB=∠H在△ABE和△GPH中，∵∠AEB=∠H，∠ABE=∠GPH=90°，AB=PG∴△ABE≌△GPH（AAS）∴BE=PH又∵CG=PB=AM∴BE=PH=PB+BH=CG+BH=AM+BH即AM+BH=BE.【題目點撥】本題考查了正方形和矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，利用全等三角形對應邊相等將線段進行轉化是解題的關鍵.23、43m.【解題分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出，進而得出答案．【題目詳解】解由題意可得△AEC∽△ADB，則＝，故＝，解得DB＝43，答：小雁塔的高度為43m.【題目點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出△AEC∽△ADB是解題的關鍵．24、BD=，DN=【分析】由平行線的性質(zhì)可證∠MBD=∠BDC，即可證AM=MD=MB=4，由BD2=AD?CD可得BD長，再由勾股定理可求MC的長，通過證明△MNB∽△CND，可得，即可求DN的長．【題目詳解】解：∵BM∥CD

∴∠MBD=∠BDC

∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°

∴BM=MD，∠MAB=∠MBA

∴BM=MD=AM=4∵平分，∴∠ADB=∠CDB，∵，∴△ABD∽△BCD，

∴BD2=AD?CD，∵CD=6，AD=8，

∴BD2=48，即BD=，

∴BC2=BD2-CD2=12

∴MC2=MB2+BC2=28

∴MC=，∵BM∥CD

∴△MNB∽△CND，∴，且BD=，∴設DN=x，則有，解得x=，即DN=.【題目點撥】本題考查了相