06.幻方(一)-三階幻方

1、幻方（一）——三階幻方在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重復又不遺漏地填上1～9這九個連續(xù)的自然數(shù)，使每行、每列、每條對角線上的三個自然數(shù)的和均相等，這樣的圖形叫做三階幻方。在4×4（四行四列）的正方形方格中進行填數(shù)，就要不重復，不遺漏地在4×4方格內(nèi)填上十六個連續(xù)自然數(shù)，且使每行、每列、每條對角線的四個自然數(shù)之和均相等，這樣的圖形叫四階幻方。一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重復又不遺漏地填上n×n個連續(xù)自然數(shù)，（注意這些連續(xù)自然數(shù)不一定非要從1開始），每個數(shù)占一個格，且每行、每列、每條對角線上的n個自然數(shù)和均相等，我們把這個相等的和叫做幻和，n叫做階，這樣排成的數(shù)的圖形叫做n階幻方。例1.用1～9這九個數(shù)編排一個三階幻方。分析：我們先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分別填入九個空格內(nèi)以代表應填的數(shù)(圖2）：（1）通過審題，我們知道幻和是多少才好進行填數(shù)。同時可以看到圖2中，e是一個中間數(shù)，也是關(guān)鍵數(shù)。因為它分別要與第二行、第二列以及兩條對角線上的另外兩個數(shù)進行求和運算，結(jié)果都等于幻和；其次是三階幻方中四個角上的數(shù)：a、c、g、i它們各自都要參加一行，一列及一條對角線的求和運算。如果e以及四個角上的數(shù)被確定之后，其它的數(shù)字便可以根據(jù)幻和是多少填寫出來了。（2）求幻和：幻和＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15（3）選擇突破口，顯然是e，看圖2。因為：a＋e＋i＝b＋e＋h＝c＋e＋g＝d＋e＋f＝15所以：（a＋e＋i）＋（b＋e＋h）＋（c＋e＋g）＋（d＋e＋f）＝15×4＝60也就是：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i）＋e×3＝60又因為：a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i＝45所以45＋e×3＝60e×3＝15e＝5也就是說，圖1中的中心方格中應填5，請注意，這個數(shù)正好是1～9這九個數(shù)的中間數(shù)。（4）四個角上的數(shù)，a、c、g、i的特點。我們先從a開始：想：a是奇數(shù)還是偶數(shù)。如果a為奇數(shù)，因為a＋i＝10，所以i也是奇數(shù)。因為奇＋奇＝偶。又因為a＋d＋g＝15，所以d與g同是奇數(shù)或同是偶數(shù)。分兩種情況：<1>當d、g都是奇數(shù)時，因為d＋e＋f＝15，g＋h＋i＝15，其中e，i都是奇數(shù)，所以f、h也只能是奇數(shù)。這樣在圖1中應填的數(shù)有a、d、e、f、g、h、i這七個奇數(shù)，而1～9中九個數(shù)只有五個奇數(shù)，所以矛盾，說明d、g不可能為奇數(shù)。<2>當d、g為偶數(shù)時，因為d＋f＝10，g＋h＋i＝15，c＋g＝10，且i為奇數(shù)，所以f、h、c只能是偶數(shù)，這樣就有c、d、f、g、h五個偶數(shù)，而1～9這九個數(shù)中只有四個偶數(shù)，矛盾。說明d、g都是偶數(shù)也不行。所以a不能是奇數(shù)，那么只能是偶數(shù)，于是由a＋i＝10，可知i也是偶數(shù)。用同樣的方法可以得到c、g也只能是偶數(shù)。也就是說圖1中四個角上的數(shù)都應填偶數(shù)。（5）試驗填數(shù)排出幻方。因為e＝5，且a、c、g、i是偶數(shù)，所以a的范圍有2、4、6、8四個數(shù)，根據(jù)幻和等于15進行試驗。當a＝2時，i＝8，c＝4，則有g(shù)＝6，b＝9，d＝7，f＝3，h＝1；當a＝2時，i＝8，c＝6，則有g(shù)＝4，b＝7，d＝9，f＝1，h＝3；這樣可填出下圖的A、B兩個幻方。當a＝4、6、8時，請同學們自己練習填寫。用1～9這九個數(shù)編排的三階幻方有八個：注意：在上面圖形中給出的用1～9這九個數(shù)字編排的八個三階幻方中的任何一個，都可以對它上面的數(shù)字進行適當?shù)膶φ{(diào)與旋轉(zhuǎn)，從而得到其它七個圖形。例2.請編出一個三階幻方，使其幻和為24。分析：根據(jù)題意，要使三階幻方的幻和為24，所以中心數(shù)必為24÷3＝8，那么與8在一條直線上的各個組的其余兩個數(shù)的和為24－8＝16。因為：1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16。按上述條件填出并調(diào)整后可得到一個三階幻方，其幻和為24。例3.在下面圖中的A、B、C、D處填上適當?shù)臄?shù)，使其成為一個三階幻方。分析：從第一行和對角線可得：A＋7＋D＝A＋10＋67＋D＝16