遼寧省沈陽市皇姑區(qū)2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

絕密★使用前遼寧省沈陽市皇姑區(qū)2022-2023學(xué)年度高三上學(xué)期11月期中考試高三數(shù)學(xué)2022.11.09命題人：沈陽市第四十中學(xué)林大勇審題人：沈陽市第二十四中學(xué)王博考生注意：1.本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘.分四大題，22小題，共5頁2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容一、單選題（每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題5分，共40分）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意，集合A為奇數(shù)集，求出集合B，根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?，故選：B.2.歐拉公式(是虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】先由歐拉公式計(jì)算可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義作出判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，故，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在第一象限.故選：A.3.如圖，某類共享單車密碼鎖的密碼是由4位數(shù)字組成，所有密碼中，恰有三個(gè)重復(fù)數(shù)字的密碼個(gè)數(shù)為（）A.90 B.324 C.360 D.400【答案】C【解析】【分析】先考慮重復(fù)的那個(gè)數(shù)字在其中三個(gè)位置上，再安排剩下的那個(gè)位置上的數(shù)字，根據(jù)分步乘法原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意，四個(gè)位置上恰有三個(gè)重復(fù)數(shù)字，可分兩步完成，第一步從10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)安排在三個(gè)位置上，共有種情況，第二步在剩下的9個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)安排在剩下的那個(gè)位置上，有9種情況，故共有種，即密碼個(gè)數(shù)為360個(gè)，故選：C4.中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲，乙，丙，丁4名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排2人，問天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，則甲乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出所有的安排情況，再求甲乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的情況，最后用古典概率公式可求解.【詳解】從甲，乙，丙，丁4名航天員中任選兩人去天和核心艙，剩下兩人去剩下兩個(gè)艙位，則有種可能，要使得甲乙在同一個(gè)艙內(nèi)，由題意，甲乙只能同時(shí)在天和核心艙，在這種安排下，剩下兩人去剩下兩個(gè)艙位，則有種可能.所以甲乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率.故選：A5.下列說法：①若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則；②設(shè)某校男生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則其體重大約為62.5kg；③有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋子中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙袋子中有4個(gè)白球，4個(gè)黑球.現(xiàn)從甲袋子中任取2個(gè)球放入乙袋子，然后再從乙袋子中任取一個(gè)球，則此球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】對(duì)于①，由正態(tài)分布的對(duì)稱性進(jìn)行判斷；對(duì)于②，直接代入回歸方程即可判斷；對(duì)于③，分從甲中取了2個(gè)白球、2個(gè)黑球、1個(gè)白球1個(gè)黑球依次計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于①，由題意知：，，又，故，錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，正確；對(duì)于③，若從甲中取了2個(gè)白球放入乙袋子，從乙袋子中取出白球的概率為，若從甲中取了2個(gè)黑球放入乙袋子，從乙袋子中取出白球的概率為，若從甲中取了1個(gè)白球1個(gè)黑球放入乙袋子，從乙袋子中取出白球的概率為，所以取到白球的概率為，正確.故選：C.6.在如今這個(gè)5G時(shí)代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會(huì)在北京舉辦．會(huì)上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時(shí)延達(dá)到亞毫秒級(jí)水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從9提升至161，則最大信息傳遞率C會(huì)提升到原來的（）參考數(shù)據(jù)：．A.2.4倍 B.2.3倍 C.2.2倍 D.2.1倍【答案】C【解析】【分析】按照題中所給公式分別求出當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的最大信息傳遞率即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，最大信息傳遞率當(dāng)時(shí)，最大信息傳遞率.故選：C.7.在△ABC中，已知∠A=90°，AB=2，AC=4，點(diǎn)P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，則的最大值為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由幾何關(guān)系分解向量，根據(jù)數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則求解【詳解】設(shè)為斜邊上的高，則圓的半徑，設(shè)為斜邊的中點(diǎn)，，因?yàn)?，，則，所以的最大值為故選：D8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】觀察分析可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)g(x)的單調(diào)性和奇偶性將問題轉(zhuǎn)化為即對(duì)恒成立.【詳解】設(shè)，則，即，由，解得，即g(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故g(x)是定義在(－2，2)上的奇函數(shù).，y＝在(－2，2)單調(diào)遞增，y＝lnx在(0，﹢∞)單調(diào)遞增，故g(x)在(－2，2)單調(diào)遞增，則變?yōu)椋嘣瓎栴}轉(zhuǎn)化為：對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.令，∵在上單調(diào)遞減，∴，∴；令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題（每題至少有一個(gè)選項(xiàng)為正確答案，少選且正確得3分，每題5分，共20分）9.我國居民收入與經(jīng)濟(jì)同步增長(zhǎng)，人民生活水平顯著提高.“三農(nóng)”工作重心從脫貧攻堅(jiān)轉(zhuǎn)向全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，穩(wěn)步實(shí)施鄉(xiāng)村建設(shè)行動(dòng)，為實(shí)現(xiàn)農(nóng)村富強(qiáng)目標(biāo)而努力.2017年~2021年某市城鎮(zhèn)居民?農(nóng)村居民年人均可支配收入比上年增長(zhǎng)率如下圖所示.根據(jù)下面圖表，下列說法一定正確的是（）A.該市農(nóng)村居民年人均可支配收入高于城鎮(zhèn)居民B.對(duì)于該市居民年人均可支配收入比上年增長(zhǎng)率的極差，城鎮(zhèn)比農(nóng)村的大C.對(duì)于該市居民年人均可支配收入比上年增長(zhǎng)率的中位數(shù)，農(nóng)村比城鎮(zhèn)的大D.2021年該市城鎮(zhèn)居民?農(nóng)村居民年人均可支配收入比2020年有所上升【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐一判斷即可.【詳解】由增長(zhǎng)率高，得不出收入高，即A錯(cuò)誤；由表中數(shù)據(jù)，可知城鎮(zhèn)居民相關(guān)數(shù)據(jù)極差較大，即B正確；由表中數(shù)據(jù)，可知農(nóng)村居民相關(guān)數(shù)據(jù)中位數(shù)較大，即C正確；由表中數(shù)據(jù)，可知增長(zhǎng)率為正，即D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若對(duì)于任意的，都有成立，則B.若對(duì)于任意的，都有成立，則C.當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為D.當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，函數(shù)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】由題可得恒成立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，利用函數(shù)的周期的含義可判斷B，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，由題可得，進(jìn)而可判斷D.【詳解】對(duì)于A，對(duì)于任意的，都有成立，所以恒成立，又，，∴，故A正確；對(duì)于B，由題可得是函數(shù)的周期，但不能推出函數(shù)的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，，故，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，故D正確.故選：ACD11.已知圓：，一條光線從點(diǎn)射出經(jīng)軸反射，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓的方程為B.若反射光線平分圓的周長(zhǎng)，則入射光線所在直線方程為C.若反射光線與圓相切于，與軸相交于點(diǎn)，則D.若反射光線與圓交于，兩點(diǎn)，則面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，由對(duì)稱的性質(zhì)直接求解即可，對(duì)于B，由題意可知入射光線所在的直線過點(diǎn)和，從而可求出直線方程，對(duì)于C，由題意可知反射光線所在的直線過點(diǎn)，則，然后由圓的性質(zhì)可求出，進(jìn)而可求得的值，對(duì)于D，設(shè)，，表示弦長(zhǎng)和弦心距，可表示出面積，從而可求出其最大值詳解】對(duì)于A，由圓方程可得，故圓心，半徑，圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓的圓心為，半徑為，所求圓的方程為：，即，A正確；對(duì)于B，反射光線平分圓的周長(zhǎng)，反射光線經(jīng)過圓心，入射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)，，入射光線所在直線方程為：，即，B正確；對(duì)于C，反射光線經(jīng)過點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則圓心到直線的距離，，，則當(dāng)時(shí)，，D正確.故選：ABD.12.如圖，設(shè)E，F(xiàn)別是正方體的棱CD的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在F的左邊，且，，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是（）A.⊥平面B.三棱錐的體積為定值C.點(diǎn)到平面的距離為D.直線與直線所成角的余弦值的最大值為【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，證明出平面與平面相交，⊥平面，從而得到與平面不垂直；B選項(xiàng)，等體積法求解三棱錐體積為定值；C選項(xiàng)，等體積法求解點(diǎn)到平面的距離；D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值的最大值.【詳解】易證⊥平面，而平面，平面同一個(gè)平面，若⊥平面，即⊥平面，則可推出平面與平面平行或重合，由圖易知這兩個(gè)平面顯然是相交的，矛盾，故A錯(cuò)誤．因?yàn)?，而定值，也為定值，所以為定值，故B正確．因?yàn)?，所以∥平面．又因?yàn)辄c(diǎn)P線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離，其中，．設(shè)點(diǎn)B平面的距離為d，由，得：，解得：，即點(diǎn)P到平面的距離為，故C正確．以D原點(diǎn)，分別以方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則，，，（0≤t≤1），，．設(shè)直線與成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：BC三、填空題（每題5分，共20分）13.設(shè)，則…______．【答案】1【解析】【分析】先，可得，再令，可得答案.【詳解】由題意令，可得令，可得所以故答案為：114.九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．用表示解下個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)．若，且則解下6個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為_________．【答案】64【解析】【分析】根據(jù)已知遞推公式，利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?415.建在水資源不十分充足的地區(qū)的火電廠為了節(jié)約用水，需建造一個(gè)循環(huán)冷卻水系統(tǒng)（冷卻塔），以使水可循環(huán)使用．下圖是世界最高的電廠冷卻塔——中國國家能源集團(tuán)勝利電廠冷卻塔，該冷卻塔高225米，創(chuàng)造了“最高冷卻塔”的吉尼斯世界紀(jì)錄．該冷卻塔的外形可看作雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，如圖：已知直線，為該雙曲線的兩條漸近線，，向上的方向所成的角的正切值為，則該雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)一條漸近線向上的方向與虛軸向上的方向所成的角為，則，求得，從而可求得，從而可求的離心率.【詳解】解：設(shè)一條漸近線向上的方向與虛軸向上的方向所成的角為，則，解得或（舍），即，故，所以．故答案為：.16.已知是等腰直角三角形，點(diǎn)P在平面的同一側(cè)運(yùn)動(dòng)，P到平面的距離為6，三棱錐的體積為18且其外接球的半徑為5，則滿足上述條件的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求得外接球的球心到平面的距離為，進(jìn)而得到球心到點(diǎn)軌跡所在圓的距離為，求得點(diǎn)的軌跡所在圓的半徑為，利用圓的周長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】如圖所示，由等腰直角三角形，可得，又由到平面的距離為，三棱錐的體積為，可得，解得，所以，因?yàn)槠渫饨忧虻陌霃?，可得，解得，即圓心到平面的距離為，又因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，所以球心到點(diǎn)軌跡所在圓的距離為，設(shè)點(diǎn)的軌跡所在圓的半徑為，可得，所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：四、解答題（17題10分，其余每題12分，共70分）17.在①，②到OA的距離為，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答．問題：已知圓心角為的扇形，為弧上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，，，______，求的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】選擇見解析；．【解析】【分析】選擇條件①：由余弦定理解得扇形的半徑，由正弦定理求得，利用面積公式求出的面積；選擇條件②：先求出，由余弦定理解得扇形的半徑，由正弦定理求得利用面積公式求出的面積；選擇條件③：設(shè)該扇形的半徑為．在中，由正弦定理，求得．在中，由余弦定理，解得，利用面積公式求出的面積；【詳解】選擇條件①：設(shè)該扇形半徑為．因?yàn)?，所以．在中，由余弦定理，得，即，解得．在中，由正弦定理，得，即，得，所以的面積為．選擇條件②：因?yàn)?，所以到OA的距離等于到的距離，所以．因?yàn)?，所以為銳角，所以．設(shè)該扇形的半徑為，在中，由余弦定理，得，即，解得．在中，由正弦定理，得，即，得，所以的面積為．選擇條件③：設(shè)該扇形的半徑為．在中，由正弦定理，得，即，所以．因?yàn)?，所以為銳角，則．在中，由余弦定理，得，即，解得或．又，所以，所以的面積為．【點(diǎn)睛】正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．18.已知數(shù)列前n項(xiàng)積為，且．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知得，，兩式相除整理得，從而可證得結(jié)論，（2）由（1）可得，再利用累乘法求，從而，然后利用放縮法可證得結(jié)論【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，兩式相除，得，整理為，再整理得，．所以?shù)列為以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列．【小問2詳解】因?yàn)椋?，由?）知，，故，所以．所以．又因?yàn)椋裕?9.如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，，平面，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且平面.（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證，轉(zhuǎn)證面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，代入公式得到結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)槊?，面，所?又∵正中，，∴面，∴.（2）解：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以，由重心性質(zhì)知為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).∴，，，，，設(shè)面的法向量為，，，∴，令，則∴，平面的法向量為，，∴平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20.年國家發(fā)改委?住建部發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》規(guī)定個(gè)城市在年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收?用率要達(dá)以上.某市在實(shí)施垃圾分類之前，對(duì)該市大型社區(qū)(即人口數(shù)量在萬左右)一天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進(jìn)行了調(diào)查.已知該市這樣的大型社區(qū)有個(gè)，如圖是某天從中隨機(jī)抽取個(gè)社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖.現(xiàn)將垃圾量超過噸/天的社區(qū)稱為“超標(biāo)”社區(qū).（1）根據(jù)上述資料，估計(jì)當(dāng)天這個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值(四舍五入精確到整數(shù))；（2）若當(dāng)天該市這類大型社區(qū)的垃圾量，其中近似為（1）中的樣本平均值，請(qǐng)根據(jù)的分布估計(jì)這個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)(四舍五入精確到整數(shù))；（3）市環(huán)保部門決定對(duì)樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來源進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從這些社區(qū)中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行重點(diǎn)監(jiān)控，設(shè)為其中當(dāng)天垃圾量至少為噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：；；.【答案】（1）平均值為噸；（2）；（3）分布見解析，.【解析】【分析】（1）利用每組的中點(diǎn)值乘以該組的頻率，再相加即可得解；（2）求出，，利用可求出結(jié)果；（3）求出和內(nèi)的頻數(shù)，得到的可能取值，求出的各個(gè)取值的概率，可得分布列和期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為，，，，，，的頻率分別為，，，，，，，所以當(dāng)天這個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值為噸；（2）由（1）知，，，，所以這個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為；（3）由（1）得樣本中當(dāng)天垃圾量為的社區(qū)有個(gè)，垃圾量為的社區(qū)有個(gè)，所以的可能取值為，，，，，，，，的分布列為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握利用直方圖求平均數(shù)，掌握正態(tài)分布的幾個(gè)特殊區(qū)間的概率，掌握求離散型隨機(jī)變量的分布列和均值的方法是解題關(guān)鍵..21.已知定點(diǎn)，點(diǎn)為圓：(為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，求曲線的方程；(2)若過點(diǎn)且不與軸重合的直線與(1)中曲線交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線(為原點(diǎn))與曲線交于，兩點(diǎn)，且滿足，若存在這樣的直線，求出直線的方程，