廣東省清遠(yuǎn)市連州北山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

廣東省清遠(yuǎn)市連州北山中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知一元二次不等式的解集為,則的解集為

（

）A、 B、C、 D、參考答案：D略2.設(shè)集合,,則 參考答案：由交集的概念可知選.3.如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分），隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：B4.已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩?UB={1，2}，?U（A∪B）={4}，則集合B為（）A．{3} B．{3，5} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合．【分析】利用已知條件求出A∪B，通過(guò)A∩?UB={1，2}，即可求出B．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，?U（A∪B）={4}，可得A∪B={1，2，3，5}∵A∩?UB={1，2}，∴A={1，2，3}，則B={3，5}．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的基本運(yùn)算，交、并、補(bǔ)的求法，考查計(jì)算能力．5.要測(cè)量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度,在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是45°,在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是30°,并測(cè)得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,則電視塔的高度為

（

）

A．10m

B．20m

C．20m

D．40m參考答案：D6.多面體MN-ABCD的底面ABCD為矩形，其正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖，其中正（主）視圖為等腰梯形，側(cè)（左）視圖為等腰三角形，則AM的長(zhǎng)為

（

）A. B. C. D.參考答案：C試題分析：如圖，分別是和的中點(diǎn)，由正視圖可知．由側(cè)視圖可知多面體的高為2，．所以，所以．考點(diǎn)：空間幾何體的三視圖.7.設(shè).若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．

B.

C．

D.參考答案：D8.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)已知中的三視圖可分析出該幾何體的直觀圖，代入棱錐體積公式可得答案．【解答】解：幾何體如圖所示，則V=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積，正確得出直觀圖是解答的關(guān)鍵．9.已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|＜2x＜4}，則集合M∩(CRN)等于（）A．{0，1，2} B．{2，3} C． D．{0，1，2，3}參考答案：B10.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝1，，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且，則△ABC的面積為A．

B．

C．或

D．或參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△中，內(nèi)角所對(duì)的邊為，點(diǎn)是其外接圓上的任意一點(diǎn)，若，則的最大值為

.參考答案：12.設(shè)ΔABC的三邊長(zhǎng)分別為，ΔABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則R＝

.參考答案：13.設(shè)為單位向量，①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=||?；②若與平行，則=||?；③若與平行且||=1，則=．上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是．參考答案：3【考點(diǎn)】平行向量與共線向量．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】①根據(jù)向量是既有大小又有方向的量，判斷①是否正確；②根據(jù)與平行時(shí)，與同向或反向，判斷②是否正確；③根據(jù)與平行時(shí)，與同向或反向，判斷③是否正確．【解答】解：對(duì)于①，向量是既有大小又有方向的量，=||?的模相同，但方向不一定相同，∴①是假命題；對(duì)于②，若與平行時(shí)，與方向有兩種情況，一是同向，二是反向，反向時(shí)=﹣||?，∴②是假命題；對(duì)于③，若與平行且||=1時(shí)，與方向有兩種情況，一是同向，二是反向，反向時(shí)=﹣，∴③是假命題；綜上，上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的概念以及應(yīng)用的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)把握向量的基本概念是什么，是基礎(chǔ)題目．14.已知，數(shù)列{an}滿足，則

．參考答案：2018因?yàn)椋嗉拥盟裕?

15.已知、為單位向量，其夾角為60°，則（2﹣）?=

．參考答案：0【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得、、的值，可得（2﹣）?的值．【解答】解：由題意可得，=1×1×cos60°=，==1，∴（2﹣）?=2﹣=1﹣1=0，故答案為：0．16.在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)且與極軸垂直的直線交曲線于、兩點(diǎn)，則

.

參考答案：略17.設(shè)函數(shù),則＿＿＿參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)P（4，0）且不垂直于x軸直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）求的取值范圍；（3）若B點(diǎn)在于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)。參考答案：(1)解：由題意知，∴，即

又，∴

故橢圓的方程為

2分(2)解：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為

19.如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．參考答案：（1）15（百米）；（2）見(jiàn)解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）過(guò)A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長(zhǎng)；（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．解法二：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng)；（2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．【詳解】解法一：（1）過(guò)A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因?yàn)镻B⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過(guò)O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因?yàn)镻B⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)椋跃€段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

20.(本小題滿分12分)以下莖葉圖記錄了甲組3名同學(xué)寒假假期中去圖書(shū)館學(xué)習(xí)的次數(shù)和乙組4名同學(xué)寒假假期中去圖書(shū)館學(xué)習(xí)的次數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以x表示.（1）如果x=7，求乙組同學(xué)去圖書(shū)館學(xué)習(xí)次數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果x=9，從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中選兩名同學(xué)，求選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書(shū)館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20的概率.參考答案：解（1）當(dāng)x=7時(shí)，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)去圖書(shū)館學(xué)習(xí)次數(shù)是：7，8，9，12，所以平均數(shù)為

…3分方差為

……………6分（2）記甲組3名同學(xué)為A1，A2，A3，他們?nèi)D書(shū)館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，12，11；乙組4名同學(xué)為B1，B2，B3，B4，他們?nèi)D書(shū)館學(xué)習(xí)次數(shù)依次為9，8，9，12；從學(xué)習(xí)次數(shù)大于8的學(xué)生中人選兩名學(xué)生，所有可能的結(jié)果有15個(gè)，它們是：

A1A2，A1A3，A1B1，A1B3，A1B4，A2A3，A2B1，A2B3，A2B4，A3B1，A3B3，A3B4，B1B3，B1B4，B3B4.

…9分用C表示：“選出的兩名同學(xué)恰好在兩個(gè)圖書(shū)館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20”這一事件，則C中的結(jié)果有5個(gè)，它們是：A1B4，A2B4，A2B3，A2B1，A3B4，故選出的兩名同學(xué)恰好分別在兩個(gè)圖書(shū)館學(xué)習(xí)且學(xué)習(xí)的次數(shù)和大于20概率為

略21.（14分）已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+，其中a為常數(shù)．（Ⅰ）若f（x）的圖象在x=1處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，4），求a的值；（Ⅱ）若0＜a＜1，求證：；（Ⅲ）當(dāng)函數(shù)f（x）存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f'（1）=1﹣2a，又，得1﹣2a=2，求得a=；（Ⅱ）求出，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得得答案；（Ⅲ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分a≤0，a，0三種情況討論f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣ax+，∴，∴f'（1）=1﹣2a，又，∴1﹣2a=2，a=；（Ⅱ），令，則，∴x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，故x∈（0，1）時(shí)，，∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，；（Ⅲ）∵，①當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）遞增，∴f（x）至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)a時(shí)，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）遞減，∴f（x）至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；③當(dāng)0時(shí)，令f′（x）=0，得，此時(shí)，f（x）在（0，x1）上遞減，（x1，x