平面上兩點(diǎn)間的距離小練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）選擇性必修第一冊

.5.1平面上兩點(diǎn)間的距離小練習(xí)一、單項(xiàng)選擇題1.若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，則中線AD的長為()A.eq\r(,10) B.2eq\r(,10) C.11eq\r(,2) D.3eq\r(,10)2.若點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3，4)，則AB的長為()A.10 B.5 C.8 D.63.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(0，4)，(3，3)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A.(2，0)或(4，6) B.(2，0)或(6，4)C.(4，6) D.(0，2)4.某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個(gè)正方形和兩個(gè)等腰直角三角形組成．若AB＝60km，AE＝CD＝30km，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播臺，理想方案是轉(zhuǎn)播臺距五邊形各頂點(diǎn)距離的平方和最小，圖中P1，P2，P3，P4是AC的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在()A.點(diǎn)P1處 B.點(diǎn)P2處 C.點(diǎn)P3處 D.點(diǎn)P4處二、多項(xiàng)選擇題5.某同學(xué)在研究函數(shù)的最值時(shí)，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，將函數(shù)變形為，則下列結(jié)論中正確的是()A.函數(shù)的最小值為eq\f(\r(,2),2) B.函數(shù)的最小值為eq\r(,2)C.函數(shù)沒有最大值 D.函數(shù)有最大值6.設(shè)過定點(diǎn)A的動直線x＋my＋1＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx－y－2m＋3＝0交于點(diǎn)P，則PA＋PB可能的取值有()A.2 B.5 C.6 D.7三、填空題7.已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，2)，點(diǎn)P在直線y＝eq\f(1,2)x上，則當(dāng)PA2＋PB2取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．8.已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB線段的中點(diǎn)為，則線段AB的長為________．四、解答題9.已知過點(diǎn)A(－1，1)的直線l與直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且AB＝7，求直線l的方程．10.已知點(diǎn)P(0，2)，Q(－1，1)．(1)求經(jīng)過點(diǎn)Q且與點(diǎn)P距離最遠(yuǎn)的直線l的方程；(2)若點(diǎn)M(3，1)，試在直線l上求一點(diǎn)T，使得PT＋MT最小，并求最小值．參考答案一、單項(xiàng)選擇題1.若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(2，4)，B(3，－6)，C(5，2)，則中線AD的長為()A.eq\r(,10) B.2eq\r(,10) C.11eq\r(,2) D.3eq\r(,10)【解析】由AD為中線知點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，可得D(4，－2)，所以AD＝eq\r(,（4－2）2＋（－2－4）2)＝eq\r(,4＋36)＝2eq\r(,10).故選B.2.若點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3，4)，則AB的長為()A.10 B.5 C.8 D.6【解析】設(shè)點(diǎn)A(a，0)，B(0，b)，則點(diǎn)，所以，解得a＝6，b＝8，所以A(6，0)，B(0，8)，所以AB＝eq\r(,62＋82)＝10.故選A.3.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，若點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為(0，4)，(3，3)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A.(2，0)或(4，6) B.(2，0)或(6，4)C.(4，6) D.(0，2)【解析】設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，則解得或.故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，0)或(4，6)．故選A.4.某地居民的居住區(qū)域大致呈如圖所示的五邊形，近似由一個(gè)正方形和兩個(gè)等腰直角三角形組成．若AB＝60km，AE＝CD＝30km，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個(gè)電視轉(zhuǎn)播臺，理想方案是轉(zhuǎn)播臺距五邊形各頂點(diǎn)距離的平方和最小，圖中P1，P2，P3，P4是AC的五等分點(diǎn)，則轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在()A.點(diǎn)P1處 B.點(diǎn)P2處 C.點(diǎn)P3處 D.點(diǎn)P4處【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則P4(6，6)，P3(12，12)，P2(18，18)，P1(24，24)．設(shè)轉(zhuǎn)播臺建在點(diǎn)P(x，y)處，則PA2＋PB2＋PC2＋PD2＋PE2＝x2＋y2＋(x－60)2＋y2＋(x－30)2＋(y－30)2＋(x－30)2＋(y－60)2＋x2＋(y－30)2＝5x2－(120＋60＋60)x＋5y2－(60＋120＋60)y＋2×602＋4×302＝5(x－24)2＋5(y－24)2＋5040，所以當(dāng)x＝24且y＝24時(shí)，PA2＋PB2＋PC2＋PD2＋PE2最小，所以轉(zhuǎn)播臺應(yīng)建在點(diǎn)P1處．故選A.二、多項(xiàng)選擇題5.某同學(xué)在研究函數(shù)的最值時(shí)，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，將函數(shù)變形為，則下列結(jié)論中正確的是()A.函數(shù)的最小值為eq\f(\r(,2),2) B.函數(shù)的最小值為eq\r(,2)C.函數(shù)沒有最大值 D.函數(shù)有最大值【解析】由，可理解為動點(diǎn)P(x，0)到兩個(gè)定點(diǎn)A(0，1)，B(1，0)的距離和．如圖，由三角形三邊關(guān)系可得PA＋PB≥AB＝eq\r(,2)，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，等號成立，PA＋PB無最大值，所以函數(shù)的最小值為eq\r(,2)，沒有最大值．故選BC.6.設(shè)過定點(diǎn)A的動直線x＋my＋1＝0和過定點(diǎn)B的動直線mx－y－2m＋3＝0交于點(diǎn)P，則PA＋PB可能的取值有()A.2 B.5 C.6 D.7【解析】由x＋my＋1＝0，得y＝－(x＋1)，故定點(diǎn)A(－1，0)，mx－y－2m＋3＝0，得y－3＝m(x－2)，故定點(diǎn)B(2，3)，且兩直線的斜率乘積為－1，所以兩直線垂直．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，PA＋PB＝AB＝＝3eq\r(,2)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B不重合時(shí)，由兩邊之和大于第三邊得PA＋PB>AB＝3eq\r(,2)，且由勾股定理得PA2＋PB2＝AB2＝18，由基本不等式得(PA＋PB)2＝PA2＋PB2＋2PA·PB≤2(PA2＋PB2)＝36，當(dāng)且僅當(dāng)PA＝PB時(shí)等號成立，故3eq\r(,2)≤PA＋PB≤6.故選BC.三、填空題7.已知點(diǎn)A(1，1)，B(2，2)，點(diǎn)P在直線y＝eq\f(1,2)x上，則當(dāng)PA2＋PB2取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【解析】設(shè)點(diǎn)P(2t，t)，則PA2＋PB2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋10＝10＋eq\f(19,10)，當(dāng)t＝eq\f(9,10)時(shí)，PA2＋PB2取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：.8.已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB線段的中點(diǎn)為，則線段AB的長為________．【解析】因?yàn)橹本€2x－y＝0和x＋ay＝0互相垂直，所以2×＝－1，解得a＝2，所以線段AB的中點(diǎn)為P(0，5)，所以設(shè)A(m，2m)，，則解得所以A(4，8)，B(－4，2)，所以AB＝eq\r(,82＋62)＝10.故答案為：10.四、解答題9.已知過點(diǎn)A(－1，1)的直線l與直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且AB＝7，求直線l的方程．【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為x＝－1，與直線l1相交于點(diǎn)B(－1，8)，此時(shí)AB＝7，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y－1＝k(x＋1)，聯(lián)立方程組解得，則AB＝＝7，解得k＝－eq\f(3,4)，故直線方程為y－1＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－1＝0，綜上，直線l的方程為x＝－1或3x＋4y－1＝0.10.已知點(diǎn)P(0，2)，Q(－1，1)．(1)求經(jīng)過點(diǎn)Q且與點(diǎn)P距離最遠(yuǎn)的直線l的方程；(2)若點(diǎn)M(3，1)，試在直線l上求一點(diǎn)T，使得PT＋MT最小，并求最小值．【解析】(1)直線l經(jīng)過點(diǎn)Q，將直線l沿點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PQ與l垂直時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，最大長度為PQ.因?yàn)?，＝?，所以＝－1，所以經(jīng)過點(diǎn)Q，且與點(diǎn)P距離最遠(yuǎn)的直線l的方程為y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.(2)作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′，連接P′M交直