甘肅省酒泉市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

酒泉市普通高中2022～2023學(xué)年度第二學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則A B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：∴，∴z=，故選C.考點：復(fù)數(shù)運(yùn)算2.對于非零向量，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則的夾角為銳角【答案】C【解析】【分析】選項A：兩邊不能同時除以，應(yīng)該移項，逆用向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得出結(jié)論；選項B:根據(jù)公式可以進(jìn)行判斷；選項C:因為是非零向量，所以，可以依據(jù)這個進(jìn)行判斷；選項D：兩個數(shù)量積為負(fù)，可以得到兩個向量的夾角為鈍角或者是夾角，依此進(jìn)行判斷.【詳解】解：A：若，則，故A錯誤；B：若，則，故B錯誤；C：非零向量，，故C正確；D：若，則的夾角為銳角或0，故D錯誤．故選C．【點睛】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．3.求值：（）A.0 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式計算即可.【詳解】，故選：4.關(guān)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識：①數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程；②數(shù)學(xué)建模過程主要包括：問題描述、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應(yīng)用；③數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現(xiàn)有方法求解的合理數(shù)學(xué)模型是解決實際問題的關(guān)鍵步驟之一；④按照數(shù)學(xué)建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進(jìn)行檢驗.以上說法正確的是（）A.② B.①② C.①②③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)建模的有關(guān)知識逐個分析判斷即可【詳解】對于①，數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，正確，對于②，數(shù)學(xué)建模過程主要包括：問題描述、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應(yīng)用，正確，對于③，數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現(xiàn)有方法求解的合理數(shù)學(xué)模型是解決實際問題的關(guān)鍵步驟之一，正確，對于④，按照數(shù)學(xué)建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進(jìn)行檢驗，正確，故選：D5.給出下列四個命題，其中正確的命題是（）①平行于同一直線的兩條直線平行；②平行于同一平面的兩條直線平行；③平行于同一直線的兩個平面平行；④平行于同一平面的兩個平面平行.A.①② B.③④ C.①④ D.②③【答案】C【解析】【分析】利用正方體模型可判斷②③的正誤，利用平行線的傳遞性可判斷①的正誤，利用面面平行的性質(zhì)可判斷④的正誤.【詳解】對于①，由平行線的傳遞性可知，平行于同一直線的兩條直線平行，①對；對于②③，如下圖所示：在正方體中，平面，平面，但與相交，②錯，平面，平面，但平面與平面相交，③錯；對于④，由面面平行的性質(zhì)可知，平行于同一平面的兩個平面平行，④對.故選：C.6.在中，若，則一定是（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰三角形【答案】D【解析】【分析】由余弦定理化簡計算即可.詳解】由及余弦定理得：，即.故選：D7.“哥德巴赫猜想”被譽(yù)為數(shù)學(xué)皇冠上的一顆明珠，是數(shù)學(xué)界尚未解決的三大難題之一．其內(nèi)容是：“任意一一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個素數(shù)（質(zhì)數(shù)）之和．”若我們將10拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，在加數(shù)都大于2的條件下，兩個加數(shù)均為素數(shù)的概率是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出兩個加數(shù)都大于2的情況，即兩個加數(shù)都為素數(shù)的情況，即可得出概率.【詳解】記“兩個加數(shù)都大于2”為事件A，“兩個加數(shù)都為素數(shù)”為事件B，在加數(shù)都大于2的條件下則事件A有這5種情況事件B有這3種情況，故.故選：B.8.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.為銳角三角形C.若，則的面積是D.若外接圓半徑是R，內(nèi)切圓半徑為r，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件求出三角形三邊的比值，利用正弦定理和余弦定理可以判斷選項錯誤；對于求出三邊長后，可利用三角形面積公式求解；對于利用正弦定理和等面積法可求出外接圓半徑R，內(nèi)切圓半徑，可判斷正確.【詳解】設(shè)則對于故錯誤；對于角為鈍角，故錯誤；對于若，則所以的面積故錯誤；對于由正弦定理的周長所以內(nèi)切圓半徑故正確.故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各對事件中，為相互獨(dú)立事件的是（）A.擲一枚骰子一次，事件M“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件N“出現(xiàn)3點或6點”B.袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C.袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件M“從甲組中選出1名男生”，事件N“從乙組中選出1名女生”【答案】ABD【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的定義一一驗證即可.【詳解】在A中，樣本空間，事件，事件，事件，∴，，，即，故事件M與N相互獨(dú)立，A正確.在B中，根據(jù)事件的特點易知，事件M是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，故M與N是相互獨(dú)立事件，B正確；在C中，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨(dú)立事件，C錯誤；在D中，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事件的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件，D正確.故選：ABD.【點睛】判斷兩個事件是否相互獨(dú)立的方法：（1）直接法：利用生活常識進(jìn)行判斷；（2）定義法：利用判斷.10.若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上的投影向量為B.在上的投影向量為C.在上的投影向量為D.在上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】過作于，連接，設(shè)，由可得，求出可得，可得在上的投影向量；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，可得在上的投影向量．【詳解】過作于，連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，設(shè)，則，，由可得，所以，則，所以在上的投影向量為，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得，所以在上的投影向量為．故選：AC.11.下列選項中，與的值相等的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和三角恒等變換一一計算即可.【詳解】，對于A，，故A符合題意；對于B，，故B符合題意；對于C，，故C符合題意：對于D，，故D不符合題意．故選：ABC．12.如圖所示，在棱長為的正方體中，、分別為棱、的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與是異面直線B.直線與是平行直線C.三棱柱的外接球的表面積為D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】AD【解析】【分析】利用異面直線的定義可判斷A選項；利用反證法結(jié)合面面平行的性質(zhì)可判斷B選項；求出的外接球的表面積，可判斷C選項；分析出平面截正方體所得截面圖形為梯形，并計算出的面積，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為平面，平面，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，A對；對于B選項，假設(shè)直線與是平行直線，則、、、四點共面，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，又因為，所以，，這與矛盾，假設(shè)不成立，故與不平行，B錯；對于C選項，正方體的外接球半徑為，即三棱柱的外接球的半徑為，該球的表面積為，C錯；對于D選項，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為、分別為、的中點，所以，且，故且，故、、、四點共面，所以，平面截正方體所得截面圖形為梯形，由勾股定理可得，同理可得，故梯形為等腰梯形，過點、分別在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，在和中，，，，所以，，所以，，在梯形內(nèi)，因為，，，所以，四邊形為矩形，故，所以，，故，所以，梯形的面積為，故平面截正方體所得的截面面積為，D對.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)，則方程的解為_________.【答案】【解析】【分析】先設(shè)（為虛數(shù)單位），代入方程，得到，根據(jù)復(fù)數(shù)相等，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)（為虛數(shù)單位），則可化為，即，則，解得：，因此.故答案為：.【點睛】本題主要考查求方程解，熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件即可，屬于?？碱}型.14.若一個圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，則此圓錐的高為______.【答案】4【解析】【分析】設(shè)圓錐的高和底面圓的半徑，利用體積和線面角建立方程求解即可.【詳解】設(shè)圓錐的高為，底面圓的半徑為，因為圓錐的母線與底面所成的角為，體積為，所以，解得.故答案為：415.如圖，正方體的一個頂點A在平面內(nèi)，其余頂點均在平面的同側(cè).正方體上與頂點A相鄰的三個頂點B，D，到平面的距離分別為1，2，4，則這個正方體其余頂點到平面的距離的最大值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)B，D，到平面的距離分別為1，2，4，可求出任兩個點連線中點到平面的距離，通過中點距離轉(zhuǎn)化，可求出相關(guān)頂點到平面的距離，進(jìn)一步判斷大小即可.【詳解】因為B，D，到平面的距離分別為1，2，4，所以的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為所以到平面的距離為的中點到平面的距離為則到平面的距離為則這個正方體其余頂點到平面的距離的最大值為故答案為：16.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，且，點M為的中點，點P是內(nèi)（含邊界）一點，且，則的最大值為__________.【答案】2【解析】【分析】由題設(shè)，易得，過A作的平行線交于點Q，即可判斷P與Q重合時的值最大，進(jìn)而求最大值.【詳解】由得：，又M為的中點，所以，所以，過A作的平行線交于點Q，當(dāng)P與Q重合時，的值最大.因為M為的中點，且，所以D為的中點，此時，所以的最大值為2.故答案為：2四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量，，，（）（1）若向量與垂直，求實數(shù)的值（2）當(dāng)為何值時，向量與平行.【答案】（1）2（2）1【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式可得；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式可得.【小問1詳解】由已知可得，因為向量與垂直，所以，解得；【小問2詳解】，因為與平行，所以，解得，所以當(dāng)時，向量與平行18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于A，B兩點，且A，B兩點的橫坐標(biāo)分別為，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件求出點A，B的縱坐標(biāo)，再借助三角函數(shù)定義計算兩個角的正弦與余弦，結(jié)合差角的余弦公式，代入計算作答.(2)利用(1)求出，再利用二倍角公式化簡計算作答.【小問1詳解】因銳角和鈍角的終邊分別與單位圓交于點A，B，且點A，B的橫坐標(biāo)分別為，，顯然，點A在第一象限，點B在第二象限，則點A，B的縱坐標(biāo)分別為，，由已知及三角函數(shù)定義得，，而，，所以；【小問2詳解】由(1)得，，所以的值是.19.在復(fù)平面內(nèi)，正方形的兩個頂點、對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為、，求另外兩個頂點、對應(yīng)的復(fù)數(shù).【答案】答案見解析【解析】【分析】設(shè)點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，分析可得，，求出點的坐標(biāo)，根據(jù)求出點的坐標(biāo)，由此可得出頂點、對應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】解：由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，設(shè)點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因為四邊形為正方形，則，，且，易知點、、、，，，則，，所以，，解得或，又因為，即，所以，，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，①頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為；②頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.20.如圖，已知點是正方形所在平面外一點，平面，，、、分別是、、的中點.（1）求證：平面；（2）求證：直線平面；（3）求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，可得出，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（3）推導(dǎo)出平面，可知與平面所成角為，分析的形狀，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】取的中點，連接、，如下圖所示：因為、分別為、的中點，則且，因為四邊形為正方形，則且，因為為的中點，則且，所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面，平面平面，所以，平面.【小問2詳解】因為平面，平面，則，因為四邊形為正方形，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，則，因為，為的中點，則，因為，、平面，因此，平面.【小問3詳解】因為四邊形為正方形，則，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，所以，與平面所成角為，因，，則為等腰直角三角形，且，因此，直線與平面所成的角為.21.為了促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，某市教育局要求本市所有學(xué)校重視社團(tuán)文化建設(shè)，2020年該市某中學(xué)的某新生想通過考核選拔進(jìn)入該校的“電影社”和“心理社”，已知該同學(xué)過考核選拔進(jìn)入這兩個社團(tuán)成功與否相