數學新學案同步必修五蘇教ppt課件第二章數列章末復習

章末復習第2章

數列章末復習第2章數列學習目標1.整合知識結構，梳理知識網絡，進一步鞏固、深化所學知識.2.提高解決等差數列、等比數列問題的能力.3.依托等差數列、等比數列解決一般數列的常見通項、求和等問題.學習目標知識梳理達標檢測題型探究內容索引知識梳理達標檢測題型探究內容索引知識梳理知識梳理1.等差數列和等比數列的基本概念與公式

等差數列等比數列定義如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)遞推公式an＋1－an＝d＝q1.等差數列和等比數列的基本概念與公式

等差數列等比數列定義中項由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列.這時A叫做a與b的等差中項，并且A＝如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項，且G＝±通項公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1前n項和公式當q≠1時，Sn＝

＝

，當q＝1時，Sn＝na1中項由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列性質am，an的關系am－an＝(m－n)d＝qm－nm，n，s，t∈N*，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asat{kn}是等差數列，且kn∈N*{

}是等差數列{

}是等比數列n＝2k－1，k∈N*S2k－1＝(2k－1)·aka1a2·…·a2k－1＝性質am，an的關系am－an＝(m－n)d＝qm－nm，n判斷方法利用定義an＋1－an是同一常數是同一常數利用中項an＋an＋2＝2an＋1anan＋2＝利用通項公式an＝pn＋q，其中p，q為常數an＝abn(a≠0，b≠0)利用前n項和公式Sn＝an2＋bn(a，b為常數)Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p為非零常數)判斷方法利用定義an＋1－an是同一常數是同一常數利用中項a2.數列中的基本方法和思想(1)在求等差數列和等比數列的通項公式時，分別用到了

法和

法；(2)在求等差數列和等比數列的前n項和時，分別用到了

法和

法.(3)等差數列和等比數列各自都涉及5個量，已知其中任意

個求其余

個，用到了方程思想.(4)在研究等差數列和等比數列單調性，等差數列前n項和最值問題時，都用到了

思想.累加累乘倒序相加錯位相減三兩函數2.數列中的基本方法和思想累加累乘倒序相加錯位相減三兩函數[思考辨析判斷正誤]1.等差數列、等比數列的很多性質是相似的.()2.一般數列問題通常要轉化為等差數列、等比數列來解決.(

)

√√[思考辨析判斷正誤]√√題型探究題型探究例1設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和.已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數列.(1)求數列{an}的通項；類型一方程思想求解數列問題解答設數列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝

，a3＝2q，又S3＝7，可知

＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝

.由題意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.故數列{an}的通項為an＝2n－1.例1設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數列{bn}的前n項和Tn.解

由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數列，解答(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數列{bn反思與感悟在等比數列和等差數列中，通項公式an和前n項和公式Sn共涉及五個量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首項a1和公比q(公差d)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1，an，n，q(d)，Sn的方程組，通過方程的思想解出需要的量.反思與感悟在等比數列和等差數列中，通項公式an和前n項和公解答因此Sn＝

n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，n∈N*.跟蹤訓練1記等差數列

的前n項和為Sn，設S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比數列，求Sn.解答因此Sn＝n(3n－1)或Sn＝2n(5－n)，類型二轉化與化歸思想求解數列問題例2在數列{an}中，Sn為數列{an}的前n項和，Sn＋1＝4an＋2，a1＝1.(1)設cn＝

，求證：數列{cn}是等差數列；證明類型二轉化與化歸思想求解數列問題例2在數列{an}中，S證明

∵Sn＋1＝4an＋2，

①∴當n≥2，n∈N*時，Sn＝4an－1＋2. ②①－②得an＋1＝4an－4an－1.方法一對an＋1＝4an－4an－1兩邊同除以2n＋1，得即cn＋1＋cn－1＝2cn，∴數列{cn}是等差數列.證明∵Sn＋1＝4an＋2， ①即cn＋1＋cn－1＝方法二

∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2an－1)，令bn＝an＋1－2an，則{bn}是以a2－2a1＝4a1＋2－a1－2a1＝3為首項，2為公比的等比數列，∴bn＝3·2n－1，由Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，則a2＝3a1＋2＝5，

方法二∵an＋1－2an＝2an－4an－1＝2(an－2數學新學案同步必修五蘇教ppt課件第二章數列章末復習(2)求數列{an}的通項公式及前n項和的公式.解答(2)求數列{an}的通項公式及前n項和的公式.解答設Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n－1)·2n－2，則2Sn＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n－1)·2n－1，設Sn＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1＝2＋(3n－4)·2n－1.∴數列{an}的通項公式為an＝(3n－1)·2n－2，前n項和公式為Sn＝2＋(3n－4)·2n－1，n∈N*.∴Sn＝2Sn－Sn＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n－2)＋(3n－1)·2n－1＝－1＋3＋(3n－4)·2n－1反思與感悟由遞推公式求通項公式，要求掌握的方法有兩種，一種求法是先找出數列的前幾項，通過觀察、歸納得出，然后證明；另一種是通過變形轉化為等差數列或等比數列，再采用公式求出.反思與感悟由遞推公式求通項公式，要求掌握的方法有兩種，一種解答解

∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴當n＝1時，a1＝2×1＝2；當n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；當n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.跟蹤訓練2設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*).(1)求a2，a3的值；解答解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋證明(2)求證：數列{Sn＋2}是等比數列.證明(2)求證：數列{Sn＋2}是等比數列.證明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，

①∴當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1). ②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2).∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，證明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數列.故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數列.類型三函數思想求解數列問題命題角度1借助函數性質解數列問題例3已知等差數列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數列的第2項、第3項、第4項.(1)求數列{an}的通項公式；解

由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，d>0，∴d＝2.∴an＝2n－1(n∈N*).解答類型三函數思想求解數列問題命題角度1借助函數性質解數列問解答解答∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn∴數列{Sn}是遞增數列.又∵t∈Z，∴適合條件的t的最大值為8.∴數列{Sn}是遞增數列.又∵t∈Z，∴適合條件的t的最大值反思與感悟

數列是一種特殊的函數，在求解數列問題時，若涉及參數取值范圍、最值問題或單調性時，均可考慮采用函數的性質及研究方法指導解題.值得注意的是數列定義域是正整數集或{1,2,3，…，n}，這一特殊性對問題結果可能造成影響.反思與感悟數列是一種特殊的函數，在求解數列問題時，若涉及參跟蹤訓練3已知首項為

的等比數列{an}不是遞減數列，其前n項和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列.(1)求數列{an}的通項公式；解答解設等比數列{an}的公比為q，因為S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，跟蹤訓練3已知首項為的等比數列{an}不是遞減數列，其解答解答當n為奇數時，Sn隨n的增大而減小，當n為偶數時，Sn隨n的增大而增大，當n為奇數時，Sn隨n的增大而減小，當n為偶數時，Sn隨n的綜上，對于n∈N*，綜上，對于n∈N*，命題角度2以函數為載體給出數列例4

已知函數f(x)＝2－|x|，無窮數列{an}滿足an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)若a1＝0，求a2，a3，a4；解答解

由an＋1＝f(an)，得an＋1＝2－|an|，∵a1＝0，∴a2＝2，a3＝0，a4＝2.命題角度2以函數為載體給出數列解答解由an＋1＝f(an(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數列，求a1的值.解

∵a1，a2，a3成等比數列，∴a3＝

＝2－|a2|，∴

＝a1·(2－|a2|)，且a2＝2－|a1|，∴(2－|a1|)2＝a1(2－|2－|a1||)，即(2－a1)2＝a1(2－|2－a1|).下面分情況討論：①當2－a1≥0時，(2－a1)2＝a1[2－(2－a1)]＝

，解得a1＝1，且a1≤2；②當2－a1<0時，(2－a1)2＝a1[2－(a1－2)]＝a1(4－a1)，即

－8a1＋4＝0，即

－4a1＋4＝2，即(a1－2)2＝2，解得a1＝2＋

，且a1＞2，綜上，a1＝1或a1＝2＋

.解答(2)若a1＞0，且a1，a2，a3成等比數列，求a1的值.反思與感悟以函數為載體給出數列，只需代入函數式即可轉化為數列問題.反思與感悟以函數為載體給出數列，只需代入函數式即可轉化為數跟蹤訓練4已知函數f(x)＝

，數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f

，n∈N*.(1)求數列{an}的通項公式；解答跟蹤訓練4已知函數f(x)＝，數列(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn.解答解

Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)(2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a達標檢測達標檢測1.設數列{an}是公差不為零的等差數列，Sn是數列{an}的前n項和(n∈N*)，且

＝9S2，S4＝4S2，則數列{an}的通項公式是_______________.答案解析123an＝36(2n－1)1.設數列{an}是公差不為零的等差數列，Sn是數列{an}解析

設等差數列{an}的公差為d，由前n項和的概念及已知條件得由②得d＝2a1，代入①有

＝36a1，解得a1＝0或a1＝36.又d≠0，所以a1＝0不符合題意，舍去.因此a1＝36，d＝72，故數列{an}的通項公式為an＝36＋(n－1)·72＝72n－36＝36(2n－1).123解析設等差數列{an}的公差為d，由②得d＝2a1，代入①答案解析1233an＝3n－16所以n＝3時，nan的值最小.答案解析1233an＝3n－16所以n＝3時，nan的值最答案解析3.已知函數y＝f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數x，y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立.若數列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝

(n∈N*)，則a2018的值為________.123則a1＝f(0)＝1，4035∴an＋1＝an＋2，∴數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列，∴an＝2n－1，∴a2018＝4035.答案解析3.已知函數y＝f(x)的定義域為R，當x<0時，f1.等差數列與等比數列是高中階段學習的兩種最基本的數列，也是高考中經?？疾椴⑶抑攸c考查的內容之一，這類問題多從數列的本質入手，考查這兩種基本數列的概念、基本性質、簡單運算、通項公式、求和公式等問題.2.數列求和的方法：一般的數列求和，應從通項入手，若無通項，先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數列有關或具備某種方法適用特點的形式，從而選擇合適的方法求和.規(guī)律與方法1.等差數列與等比數列是高中階段學習的兩種最基本的數列，也是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