2023年上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期高考一模數(shù)學(xué)試卷含詳解

2023屆楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模一、填空題1.若“”，則“”________命題．（填：真、假）2.設(shè)集合，集合，則________．3.方程的解是________．4.若，，則________.5.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是________．6.向量在向量方向上的投影為_(kāi)______．7.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為_(kāi)___________8.已知雙曲線的漸近線方程為y=±，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______.9.若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)_______．10.已知（n是正整數(shù)），，則________．11.等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，若，則中不同的數(shù)值有________個(gè)．12.已知，若方程與均恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．二、選擇題13.某校高一共有10個(gè)班，編號(hào)為01，02，…，10，現(xiàn)用抽簽法從中抽取3個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，設(shè)高一（5）班被抽到的可能性為a，高一（6）班被抽到的可能性為b，則（）A， B.，C.， D.，14.對(duì)于平面和兩條直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若與所成的角相等，則C.若，，則 D.若，，n在平面α外，則15.在中，，則“”是“是鈍角三角形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件16.已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意，都有成立且滿足（其中a為常數(shù)），關(guān)于x的方程：的解的情況．下面判斷正確的是（）A.存在常數(shù)a，使得該方程無(wú)實(shí)數(shù)解 B.對(duì)任意常數(shù)a，方程均有且僅有1解C.存在常數(shù)a，使得該方程有無(wú)數(shù)解 D.對(duì)任意常數(shù)a，方程解的個(gè)數(shù)大于2三、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c、滿足．（1）求角B的大??；（2）若，求面積的最大值．18.如圖所示圓錐中，為底面的直徑．分別為母線與的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，若，，圓錐的高為．（1）求圓錐的側(cè)面積；（2）求證：與是異面直線，并求其所成角的大小19.企業(yè)經(jīng)營(yíng)一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構(gòu)成．生產(chǎn)成本固定為每臺(tái)130元．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬(wàn)臺(tái)時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品的銷售收入為I（x）萬(wàn)元．兩者滿足關(guān)系：（1）甲企業(yè)獨(dú)家經(jīng)營(yíng)，其研發(fā)成本為60萬(wàn)元．求甲企業(yè)能獲得利潤(rùn)的最大值；（2）乙企業(yè)見(jiàn)有利可圖，也經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬(wàn)元．問(wèn)：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)獲得的利潤(rùn)最大；（假定甲企業(yè)按照原先最大利潤(rùn)生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變）（3）由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益、因此會(huì)作相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會(huì)隨之作出調(diào)整，最終雙方達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡（在對(duì)方當(dāng)前產(chǎn)量不變的情況下，已方達(dá)到利潤(rùn)最大）求動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量和利潤(rùn)分別是多少．20.已知曲線E：的左右焦點(diǎn)為，，P是曲線E上一動(dòng)點(diǎn)（1）求的周長(zhǎng)；（2）過(guò)的直線與曲線E交于AB兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率；（3）若存在過(guò)點(diǎn)的兩條直線和與曲線E都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且，求h的值.21.已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若對(duì)于任意，函數(shù)，在內(nèi)均存在唯一零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）設(shè)是函數(shù)大于0的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a使得中的部分項(xiàng)：，，，（其中時(shí)，）構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列若存在；求出a；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

2023屆楊浦區(qū)高考數(shù)學(xué)一模一、填空題1.若“”，則“”是________命題．（填：真、假）【答案】真【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，∴當(dāng)，一定有，故是真命題.故答案為：真．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)集合，集合，則________．【答案】【分析】求出集合，再求交集可得答案.【詳解】集合，則.故答案為：.3.方程的解是________．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可直接構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，解得：.故答案為：.4.若，，則________.【答案】或.【分析】根據(jù)的值以及的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求出的度數(shù).【詳解】，且或故答案為：或【點(diǎn)睛】此題考查已知函數(shù)值求角的問(wèn)題，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵.5.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是________．【答案】2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得復(fù)數(shù)，即可得的虛部.【詳解】解：復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.6.向量在向量方向上的投影為_(kāi)______．【答案】3【詳解】試題分析：由數(shù)量積的定義，所以考點(diǎn)：向量的數(shù)量積．7.一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，若用分層抽樣的方法從該隊(duì)的全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為21的樣本，則抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為_(kāi)___________【答案】12【分析】由題意知運(yùn)動(dòng)員男女比例為4:3，所以抽取容量為21的樣本，樣本比例也為4:3，從而求得結(jié)果.【詳解】由題意知運(yùn)動(dòng)員男女比例為4:3，所以抽取容量為21的樣本，樣本比例也為4:3，所以抽取男運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.8.已知雙曲線的漸近線方程為y=±，則此雙曲線的離心率為_(kāi)_______.【答案】或．【詳解】此題考查雙曲線的離心率解：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以或，故.所以離心率.答案：9.若正數(shù)x，y滿足，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】##【分析】先將變形為，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故答案為：.10.已知（n是正整數(shù)），，則________．【答案】243

【分析】根據(jù)列式即可求出，觀察原式特點(diǎn)，取，右側(cè)關(guān)于的系數(shù)全為1，從而兩邊取進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得?令得，，故，故答案為：243.11.等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，若，則中不同的數(shù)值有________個(gè)．【答案】2018【分析】等差數(shù)列前n項(xiàng)和為二次函數(shù)，根據(jù)其圖像性質(zhì)，求出對(duì)稱軸，即可求出相同數(shù)值的個(gè)數(shù)，進(jìn)而求得不同數(shù)值的個(gè)數(shù).【詳解】解：已知等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，是關(guān)于n的二次函數(shù)，若，則對(duì)稱軸為，，，，，有四組數(shù)相同，則中不同的數(shù)值有個(gè)，故答案為：2018.12.已知，若方程與均恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【分析】由題知恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記為（不妨設(shè)），進(jìn)而得，，再根據(jù)均恰有兩個(gè)不同的實(shí)根得，進(jìn)而解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榍∮袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，記為（不妨設(shè)），所以，令，即所以，，，因?yàn)榫∮袃蓚€(gè)不同的實(shí)根，所以和中共有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，即，整理得①，當(dāng)時(shí)，即，整理得②由所以，①②沒(méi)有公共實(shí)數(shù)根，因?yàn)樗苑匠挞贌o(wú)實(shí)數(shù)根，②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，不等式，故當(dāng)，不等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，，解得所以，的解集為；不等式，故當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，的解集為，所以，的解集為故答案為：二、選擇題13.某校高一共有10個(gè)班，編號(hào)為01，02，…，10，現(xiàn)用抽簽法從中抽取3個(gè)班進(jìn)行調(diào)查，設(shè)高一（5）班被抽到的可能性為a，高一（6）班被抽到的可能性為b，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，分析即可得答案.【詳解】由簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義，知每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等，故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均為.故選：C14.對(duì)于平面和兩條直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若與所成的角相等，則C.若，，則 D.若，，n在平面α外，則【答案】D【分析】根據(jù)空間線、面的位置關(guān)系即可判斷A,B,C,利用線面平行的判定定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若與所成的角相等，則相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，則相交、平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，n在平面α外，則由線面平行的判定定理得，故D正確.故選:D.15.在中，，則“”是“是鈍角三角形”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先解三角不等式，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】在中，由得：或，而，則，因此得，于是得，是鈍角三角形，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，取鈍角，，即是鈍角三角形不能推出，所以“”是“是鈍角三角形”的充分而不必要條件.故選：A16.已知定義在R上的函數(shù)對(duì)任意，都有成立且滿足（其中a為常數(shù)），關(guān)于x的方程：的解的情況．下面判斷正確的是（）A.存常數(shù)a，使得該方程無(wú)實(shí)數(shù)解 B.對(duì)任意常數(shù)a，方程均有且僅有1解C.存在常數(shù)a，使得該方程有無(wú)數(shù)解 D.對(duì)任意常數(shù)a，方程解的個(gè)數(shù)大于2【答案】B【分析】將方程的解的情況轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)的情況，然后根據(jù)得到，根據(jù)，得到，然后利用定義法得到在R上單調(diào)遞增，即可得到對(duì)任意常數(shù)，方程只有一個(gè)解.【詳解】令，則方程的解的情況可以轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)的情況，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，則，令，，因?yàn)?，所以，，即，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以對(duì)任意常數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解.故選：B.三、解答題17.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c、滿足．（1）求角B的大??；（2）若，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用余弦定理求即可；（2）利用基本不等式得到，然后利用三角形面積公式求面積的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由余弦定理得，又，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由?）得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，面積所以三角形面積的最大值為．18.如圖所示圓錐中，為底面的直徑．分別為母線與的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn)，若，，圓錐的高為．（1）求圓錐的側(cè)面積；（2）求證：與是異面直線，并求其所成角的大小【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析；【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為,因?yàn)闉橹睆?，是的中位線，所以，，所以側(cè)面積.小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谄矫媲也还簿€，在平面外所以與是異面直線，連接，由分別為的中點(diǎn)，得，所以：為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，在中，，，取中點(diǎn)為，連接,，，，在中，，所以異面直線與所成角大小為.19.企業(yè)經(jīng)營(yíng)一款節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，其成本由研發(fā)成本與生產(chǎn)成本兩部分構(gòu)成．生產(chǎn)成本固定為每臺(tái)130元．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，若該產(chǎn)品產(chǎn)量為x萬(wàn)臺(tái)時(shí)，每萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品的銷售收入為I（x）萬(wàn)元．兩者滿足關(guān)系：（1）甲企業(yè)獨(dú)家經(jīng)營(yíng)，其研發(fā)成本為60萬(wàn)元．求甲企業(yè)能獲得利潤(rùn)的最大值；（2）乙企業(yè)見(jiàn)有利可圖，也經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品，其研發(fā)成本為40萬(wàn)元．問(wèn)：乙企業(yè)產(chǎn)量多少萬(wàn)臺(tái)時(shí)獲得利潤(rùn)最大；（假定甲企業(yè)按照原先最大利潤(rùn)生產(chǎn)，并未因乙的加入而改變）（3）由于乙企業(yè)參與，甲企業(yè)將不能得到預(yù)期的最大收益、因此會(huì)作相應(yīng)調(diào)整，之后乙企業(yè)也會(huì)隨之作出調(diào)整，最終雙方達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡（在對(duì)方當(dāng)前產(chǎn)量不變的情況下，已方達(dá)到利潤(rùn)最大）求動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，兩企業(yè)各自的產(chǎn)量和利潤(rùn)分別是多少．【答案】（1）1965萬(wàn)元（2）22.5萬(wàn)臺(tái)（3）甲企業(yè)產(chǎn)量30萬(wàn)臺(tái)，乙企業(yè)產(chǎn)量30萬(wàn)臺(tái)；利潤(rùn)分別為甲企業(yè)840萬(wàn)元，乙企業(yè)860萬(wàn)元【分析】根據(jù)利潤(rùn)等于銷售收入減去成本即可得到函數(shù)關(guān)系式，用二次函數(shù)求最值的方法即可得到.【小問(wèn)1詳解】設(shè)利潤(rùn)為當(dāng)時(shí)所以，產(chǎn)量為45萬(wàn)臺(tái)時(shí)，甲企業(yè)獲利最大為1965萬(wàn)元．【小問(wèn)2詳解】設(shè)乙企業(yè)產(chǎn)量為x萬(wàn)臺(tái)，此時(shí)甲依舊按照45萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)量生產(chǎn)對(duì)于乙企業(yè)，每萬(wàn)臺(tái)產(chǎn)品的銷售收入為所以乙企業(yè)產(chǎn)量為22.5萬(wàn)臺(tái)，獲得利潤(rùn)最大．【小問(wèn)3詳解】假設(shè)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，甲企業(yè)產(chǎn)量a萬(wàn)臺(tái)，乙企業(yè)產(chǎn)量b萬(wàn)臺(tái)．甲企業(yè)：當(dāng)時(shí)利潤(rùn)最大乙企業(yè)當(dāng)時(shí)利潤(rùn)最大．聯(lián)立，解得時(shí)達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡．此時(shí)利潤(rùn)分別為：甲企業(yè)840萬(wàn)元，乙企業(yè)860萬(wàn)元．20.已知曲線E：的左右焦點(diǎn)為，，P是曲線E上一動(dòng)點(diǎn)（1）求的周長(zhǎng)；（2）過(guò)的直線與曲線E交于AB兩點(diǎn)，且，求直線AB的斜率；（3）若存在過(guò)點(diǎn)的兩條直線和與曲線E都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且，求h的值.【答案】（1）（2）（3）或或【分析】（1）先由曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再利用橢圓的定義即可得解；（2）由題意設(shè)直線AB：，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到，再由得到，從而求得的值，由此可得直線AB的斜率；（3）根據(jù)題意設(shè)直線：，聯(lián)立方程，結(jié)合判別式得到，分類討論兩條直線和與橢圓的位置情況，由即可求得h的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榍€E：，所以，則，所以，，故的周長(zhǎng)為.【小問(wèn)2詳解】依題意，知直線AB斜率存在且不為，設(shè)直線AB：，聯(lián)立，消去，得，由韋達(dá)定理得：，，因?yàn)?，，所以，則，從而有，消去，得，即，所以直線AB斜率為.【小問(wèn)3詳解】依題意，知過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè)該直線：，，聯(lián)立，消去，得，若直線或?yàn)榍芯€，則，解得，注意到該曲線，即該曲線沒(méi)有左右頂點(diǎn)，所以有三種情況：情況1：兩條直線均是切線，因?yàn)?，所以，即，解得，所以；情況2：兩條直線分別過(guò)橢圓左右頂點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，又，所以，此時(shí)，解得，所以；情況3：其中一條直線是切線，另一條過(guò)橢圓的左（或右）頂點(diǎn)，不妨設(shè)直線為切線時(shí)斜率為正，即，則，因?yàn)?，所以，解得，所以；綜上：符合條件的h的值為或或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達(dá)定理解決相應(yīng)關(guān)系，其中的計(jì)算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)，做到胸有成竹.21.已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若