矩陣的初等行變換與矩陣的秩

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矩陣的初等行變換與矩陣的秩矩陣的初等行變換與矩陣的秩（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）一、矩陣的初等行變換矩陣的初等行變換是指對(duì)矩陣進(jìn)行下列三種變換：1.互換矩陣兩行的位置（對(duì)換變換）；2.用非0常數(shù)遍乘矩陣的某一行（倍乘變換）；3.將矩陣的某一行遍乘一個(gè)常數(shù)k加到另一行（倍加變換）上。二、階梯形矩陣滿足下列條件的矩陣稱為階梯形矩陣1.各個(gè)非0行（元素不全為0的元素）的第一個(gè)非0元素的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴(yán)格增大；2.如果矩陣有0行，0行在矩陣的最下方。例如重要定理一任意一個(gè)矩陣經(jīng)過若干次初等行變換可以化成階梯形矩陣。例題注意：一個(gè)矩陣的階梯形矩陣不唯一例如：三、矩陣的秩矩陣A的階梯形矩陣非0行的行數(shù)稱為矩陣A的秩，記作秩（A）或r(A)例如下列矩陣的秩分別為2、3、4、、例題求矩陣秩及秩()解所以，秩(A)=3所以，可以證明：對(duì)于任意矩陣A，；矩陣的秩是唯一的。問題：矩陣：的秩等于4？對(duì)否，為什么？滿秩矩陣（非奇異矩陣、非退化矩陣）設(shè)A是n階矩陣，若秩(A)=n，則稱A為滿秩矩陣（非奇異矩陣、非退化矩陣）重要定理二定理9.2任何滿秩矩陣都能經(jīng)過初等行變換化成單位矩陣。例3階矩陣A的秩：秩(A)=3，所以A是滿秩矩陣。練習(xí)P329,練習(xí)9.54.設(shè)解：對(duì)A進(jìn)行初等行變換，化為階梯形矩陣矩陣的初等變換與應(yīng)用0922021241078一、矩陣概念線性方程組系數(shù)的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原位置可排為這就是矩陣。矩陣的定義由m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列的矩陣，簡(jiǎn)稱m×n矩陣。記作這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元，數(shù)稱為矩陣A的（i,j）元。以數(shù)為（i,j）元的矩陣可記作或，m×n矩陣A也記作元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩稱為復(fù)矩陣。行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣.n階矩陣A也記作只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量。只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量。注意：1.矩陣是數(shù)表，行列式是由其元素經(jīng)適當(dāng)定義一種運(yùn)算而得到的數(shù)。2.矩陣中行數(shù)與列數(shù)可以相等，也可以不相等。而行列式中的行數(shù)與列數(shù)必須相等。兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們?yōu)橥途仃?。如果與是同型矩陣，并且它們的對(duì)應(yīng)元素相等，即那么就稱矩陣A與矩陣B相等。記作A=B。元素都是零的元素稱為零矩陣，記作0。二、矩陣的初等變換的定義1.定義矩陣的初等變換：下面的三種變換稱為矩陣的初等變換(1；.（換行或換列）(2；（數(shù)）（倍行或倍列）(3；..（倍行加或倍列加）2.矩陣與等價(jià)：經(jīng)過有限次的初等變換變成.記作.（1）等價(jià)的性質(zhì)：反身性；對(duì)稱性若，則；傳遞性若，則.（2）任何矩陣都等價(jià)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,即．即存在有限個(gè)初等矩陣,使.且矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形惟一確定.（3）行階梯矩陣：可畫出一條階梯線，線的下方全是零；每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)為非零行的行數(shù)，階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元.例如上述兩矩陣均為行階梯矩陣.（4）行最簡(jiǎn)形矩陣：非零行的非零首元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為零的行階梯矩陣.為行最簡(jiǎn)形矩陣.例1求所給矩陣A的行階梯矩陣、行最簡(jiǎn)形矩陣以及等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣.（行階梯矩陣）.（行最簡(jiǎn)形矩陣）（等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型矩陣）3.初等矩陣的概念（1）定義初等矩陣：由單位矩陣只經(jīng)過一次初等變換得到的方陣.①或均對(duì)應(yīng)初等方陣:②或均對(duì)應(yīng)初等矩陣:③或均對(duì)應(yīng)初等矩陣:（2）初等矩陣行列式的性質(zhì).重要結(jié)論：初等矩陣是可逆矩陣，且逆矩陣仍然是初等矩陣.(3初等矩陣的逆矩陣①;②,;③.(4初等矩陣的轉(zhuǎn)置也是初等矩陣.①;②,;③.4.矩陣初等變換的重要性質(zhì)【性質(zhì)1】設(shè)A是一個(gè)的矩陣，對(duì)A實(shí)施一次初等行(列變換，相當(dāng)于在A的左邊(右邊乘以相應(yīng)的階（階）初等矩陣.【性質(zhì)2】方陣可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣，使得，即.【定理】設(shè)與為矩陣，則①存在階可逆矩陣,使.②存在階可逆矩陣,使.③分別存在、階可逆矩陣、,使.5.用初等變換求逆矩陣或解矩陣方程的方法①若可逆,則也可逆,于是存在初等矩陣,使，又即，所以,用分塊矩陣運(yùn)算表示為..②用初等變換求解矩陣方程，求解線性方程組(1解矩陣方程，其中可逆，則即.(2解線性方程組，其中可逆.則，即.(3解矩陣方程，其中可逆，則即.【定理6】矩陣方程有解的充要條件是.例2設(shè)，求線性方程組的解.解設(shè).因?yàn)?，所以可逆，且，即線性方程組都有惟一解，且解依次為.3.矩陣的秩（1）定義矩陣的階子式：在矩陣中，任取行與列，位于這些行列相交處的個(gè)元素，按原相對(duì)位置構(gòu)成的階行列式.（）.的階子式共有個(gè).例3矩陣的階子式：(11階子式如：：,共有個(gè).(22階子式如：：,共有個(gè).（2）定義矩陣的秩——設(shè)矩陣中有一個(gè)非零的階子式,而且所有階子式(如果存在的話值全為，則稱為矩陣的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩,記作,即.注：①零矩陣的秩規(guī)定為.②的最高階非零子式稱為矩陣的秩子式.例4顯然矩陣的秩為；.(3矩陣秩的性質(zhì)①.（結(jié)論顯然成立）②若可逆,則（也稱非奇異矩陣或滿秩矩陣）.此時(shí).若不可逆,，即方陣是降秩矩陣（也稱為奇異矩陣）.此時(shí)有(注意：降秩與滿秩矩陣都是對(duì)方陣而言的③.④初等變換不改變矩陣的秩,即，其中為初等矩陣.若均可逆,則.若,則.⑤.⑥.⑦若,則.結(jié)論：①將一個(gè)矩陣左乘一個(gè)列滿秩矩陣時(shí)，其秩不變.②將一個(gè)矩陣右乘一個(gè)行滿秩矩陣時(shí)，其秩不變.③矩陣的初等行變換不改變秩子式的列位置；矩陣的初等列變換不改變秩子式的行位置.二、例題1、解方程.解因?yàn)?，且，故方程的解?2、設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）（Ｄ）.【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（Ｂ）.3、設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣，，其中的逆矩陣為B，則a=______.【分析】這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】由題設(shè)，有====,于是有，即，解得由于.4、設(shè)三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩為1，則必有(.(A或.(B或.(Cab且.(Dab且.【分析】的伴隨矩陣的秩為1,說明的秩為2，由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.【詳解】根據(jù)與其伴隨矩陣*秩之間的關(guān)系知，，故有，即有或.當(dāng)時(shí)，顯然,故必有且.應(yīng)選(C.5、設(shè)階矩陣與等價(jià),則必有((A當(dāng)時(shí),.(B當(dāng)時(shí),.(C當(dāng)時(shí),.(D當(dāng)時(shí),.【分析】利用矩陣與等價(jià)的充要條件:立即可得.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又與等價(jià),故,即,故選(D.用矩陣的初等變換求逆矩陣一、問題提出在前面我們以學(xué)習(xí)了用公式求逆矩陣，但當(dāng)矩陣A的階數(shù)較大時(shí)，求A*很繁瑣，此方法不實(shí)用，因此必須找一種更簡(jiǎn)單的方法求逆矩陣，那么如何找到一種簡(jiǎn)單的方法呢？（餓了再吃）二、求逆矩陣方法的推導(dǎo)（“潤(rùn)物細(xì)無聲”“化抽象為自然”）我們已學(xué)習(xí)了矩陣初等變換的性質(zhì)，如1.定理2.4對(duì)mxn矩陣A，施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)m階初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣。2.初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣還是初等矩陣。3.定理2.5的推論A可逆的充要條件為A可表為若干初等矩陣之積。即4.推論A可逆，則A可由初等行變換化為單位矩陣。（1）由矩陣初等變換的這些性質(zhì)可知，若A可逆，構(gòu)造分塊矩陣(A︱E，其中E為與A同階的單位矩陣，那么（2）由（1）式代入（2）式左邊，上式說明分塊矩陣(A︱E經(jīng)過初等行變換，原來A的位置變換為單位陣E，原來E的位置變換為我們所要求的,即三，講解例題1.求逆矩陣方法的應(yīng)用之一例解：四，知識(shí)拓展2．求逆矩陣方法的應(yīng)用之二利用矩陣的初等行變換也可以判斷一個(gè)矩陣是否可逆，即分塊矩陣(A︱E經(jīng)過初等行變換，原來A的位置不能變換為單位陣E，那么A不可逆。例解：而上面分塊矩陣的第一塊第二行全為零，它不可能變換為單位矩陣，